Controversia del cálculo de Leibniz-Newton

En la historia del cálculo, la controversia del cálculo (alemán: Prioritätsstreit, lit. 'disputa de prioridades') fue una discusión entre los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz sobre quién había inventado el cálculo por primera vez. La cuestión fue una importante controversia intelectual, que comenzó a gestarse a fuego lento en 1699 y estalló con toda su fuerza en 1711. Leibniz había publicado su trabajo primero, pero los partidarios de Newton lo acusaron de plagiar las ideas inéditas de Newton. Leibniz murió en 1716, poco después de que la Royal Society, de la que Newton era miembro, fallara a favor de Newton. El consenso moderno es que los dos hombres desarrollaron sus ideas de forma independiente.

Newton dijo que había comenzado a trabajar en una forma de cálculo (al que llamó "el método de las fluxiones y los flujos") en 1666, a la edad de 23 años, pero no lo publicó excepto como estudiante menor. anotación en la parte posterior de una de sus publicaciones décadas después (un manuscrito relevante de Newton de octubre de 1666 se publica ahora entre sus artículos matemáticos). Gottfried Leibniz comenzó a trabajar en su variante del cálculo en 1674 y en 1684 publicó su primer artículo empleándolo, "Nova Methodus pro Maximis et Minimis". L'Hôpital publicó un texto sobre el cálculo de Leibniz en 1696 (en el que reconocía que los Principia de 1687 se trataba "casi todo sobre este cálculo". Mientras tanto, Newton, aunque explicó su forma (geométrica) de cálculo en la Sección I del Libro I de los Principia de 1687, no explicó su eventual notación fluxional para el cálculo impresa hasta 1693 (en parte) y 1704 (en su totalidad).

La opinión predominante en el siglo XVIII estaba contra Leibniz (en Gran Bretaña, no en el mundo de habla alemana). Hoy en día, el consenso es que Leibniz y Newton inventaron y describieron de forma independiente el cálculo en Europa en el siglo XVII.

Fue sin duda Isaac Newton quien primero diseñó un nuevo cálculo infinitesimal y lo elaboró en un algoritmo ampliamente extensible, cuyas potencialidades comprendió completamente; de igual certeza, cálculo diferencial e integral, la fuente de grandes desarrollos que fluyen continuamente de 1684 a la actualidad, fue creado independientemente por Gottfried Leibniz.

—Hall 1980: 1

Un autor ha identificado la disputa como sobre temas "profundamente diferentes" métodos:

A pesar de... puntos de parecido, los métodos [de Newton y Leibniz] son profundamente diferentes, por lo que la fila prioritaria es una tontería.

—Grattan-Guinness 1997: 247

Por otro lado, otros autores han enfatizado las equivalencias y la traducibilidad mutua de los métodos: aquí N Guicciardini (2003) parece confirmar a L'Hôpital (1696) (ya citado):

las escuelas Newtonian y Leibnizian compartieron un método matemático común. Adoptaron dos algoritmos, el método analítico de las fluxiones, y el cálculo diferencial e integral, que fueron traducibles uno en el otro.

—Guicciardini 2003, página 250

Prioridad científica en el siglo XVII

En el siglo XVII, como en la actualidad, la cuestión de la prioridad científica era de gran importancia para los científicos. Sin embargo, durante este período, las revistas científicas apenas comenzaban a aparecer y aún no se había formado el mecanismo generalmente aceptado para fijar la prioridad mediante la publicación de información sobre el descubrimiento. Entre los métodos utilizados por los científicos se encontraban los anagramas, sobres cerrados y colocados en un lugar seguro, correspondencia con otros científicos o un mensaje privado. Una carta al fundador de la Academia Francesa de Ciencias, Marin Mersenne para un científico francés, o al secretario de la Royal Society de Londres, Henry Oldenburg para un inglés, tenía prácticamente el estatus de un artículo publicado. El descubridor podría "marcar el tiempo" el momento de su descubrimiento, y demostrar que lo sabía en el momento en que se selló la carta y que no la había copiado de nada publicado posteriormente. Sin embargo, cuando una idea se publicó posteriormente junto con su uso en un contexto particularmente valioso, esto podría tener prioridad sobre el trabajo de un descubridor anterior, que no tenía una aplicación obvia. Además, la afirmación de un matemático podría verse socavada por contrademandas de que en realidad no había inventado una idea, sino que simplemente había mejorado la idea de otra persona, una mejora que requería poca habilidad y se basaba en hechos que ya eran conocidos.

Una serie de disputas de alto perfil sobre la prioridad científica del siglo XVII, la era que el historiador científico estadounidense D. Meli llamó "la edad de oro de las disputas sobre prioridades enlodadas"— está asociada con el nombre de Leibniz. El primero de ellos se produjo a principios de 1673, durante su primera visita a Londres, cuando en presencia del célebre matemático John Pell presentó su método de aproximación de series por diferencias. A la observación de Pell de que este descubrimiento ya había sido realizado por François Regnaud y publicado en 1670 en Lyon por Gabriel Mouton, Leibniz respondió al día siguiente. En una carta a Oldenburg, escribió que, después de haber leído el libro de Mouton, admite que Pell tenía razón, pero en su defensa puede proporcionar sus notas preliminares, que contienen matices que Renault y Mouton no encontraron. De esta manera se demostró la integridad de Leibniz, pero en este caso fue destituido más tarde. En la misma visita a Londres, Leibniz se encontraba en la posición opuesta. El 1 de febrero de 1673, en una reunión de la Royal Society de Londres, hizo una demostración de su calculadora mecánica. El curador de experimentos de la Sociedad, Robert Hooke, examinó cuidadosamente el dispositivo e incluso quitó la cubierta trasera. Unos días más tarde, en ausencia de Leibniz, Hooke criticó la máquina del científico alemán, diciendo que podía hacer un modelo más simple. Leibniz, que se enteró de esto, regresó a París y rechazó categóricamente la afirmación de Hooke en una carta a Oldenburg y formuló principios de comportamiento científico correcto: "Sabemos que la gente respetable y modesta prefiere esto cuando piensa en algo". que sea coherente con lo que alguien ha hecho con otros descubrimientos, atribuya sus propias mejoras y adiciones al descubridor, para no despertar sospechas de deshonestidad intelectual, y el deseo de verdadera generosidad debe perseguirlos, en lugar de la sed mentirosa de ganancia deshonesta." Para ilustrar el comportamiento adecuado, Leibniz pone el ejemplo de Nicolas-Claude Fabri de Peiresc y Pierre Gassendi, quienes realizaron observaciones astronómicas similares a las realizadas anteriormente por Galileo Galilei y Johannes Hevelius, respectivamente. Al enterarse de que no habían hecho sus descubrimientos primero, los científicos franceses transmitieron sus datos a los descubridores.

El enfoque de Newton al problema de prioridad puede ilustrarse con el ejemplo del descubrimiento de la ley del cuadrado inverso aplicada a la dinámica de los cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad. Basándose en el análisis de las leyes de Kepler y en sus propios cálculos, Robert Hooke supuso que el movimiento en tales condiciones debería producirse a lo largo de órbitas similares a las elípticas. Incapaz de probar rigurosamente esta afirmación, se la informó a Newton. Sin entrar más en correspondencia con Hooke, Newton resolvió este problema, así como su inverso, demostrando que la ley de los cuadrados inversos se deriva de la elipticidad de las órbitas. Este descubrimiento fue expuesto en su famosa obra Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica sin indicar el nombre de Hooke. Ante la insistencia del astrónomo Edmund Halley, a quien se entregó el manuscrito para su edición y publicación, se incluyó en el texto la frase de que la conformidad de la primera ley de Kepler con la ley de los cuadrados inversos era "independiente". aprobado por Wren, Hooke y Halley."

Según la observación de Vladimir Arnold, Newton, eligiendo entre la negativa a publicar sus descubrimientos y la lucha constante por la prioridad, eligió ambos.

Fondo

Invención del cálculo diferencial e integral

En la época de Newton y Leibniz, los matemáticos europeos ya habían hecho una contribución significativa a la formación de las ideas del análisis matemático. El holandés Simon Stevin (1548-1620), el italiano Luca Valerio (1553-1618), el alemán Johannes Kepler (1571-1630) participaron en el desarrollo del antiguo "método de agotamiento" para calcular áreas y volúmenes. Las ideas de este último, aparentemente, influyeron –directamente o a través de Galileo Galilei– en el "método de los indivisibles" desarrollado por Bonaventura Cavalieri (1598-1647).

Los últimos años de la vida de Leibniz, 1710-1716, estuvieron amargados por una larga controversia con John Keill, Newton y otros sobre si Leibniz había descubierto el cálculo independientemente de Newton o si simplemente había inventado otro. notación para ideas que eran fundamentalmente de Newton. Ningún participante dudó de que Newton ya había desarrollado su método de fluxiones cuando Leibniz comenzó a trabajar en el cálculo diferencial, pero aparentemente no había pruebas más allá de la palabra de Newton. Había publicado un cálculo de una tangente con la nota: "Este es sólo un caso especial de un método general mediante el cual puedo calcular curvas y determinar máximos, mínimos y centros de gravedad". Cómo se hizo esto, le explicó a un alumno veinte años más tarde, cuando los artículos de Leibniz ya eran muy leídos. Los manuscritos de Newton salieron a la luz sólo después de su muerte.

El cálculo infinitesimal puede expresarse ya sea en la notación de fluxiones o en la de diferenciales, o, como se señaló anteriormente, también fue expresado por Newton en forma geométrica, como en los Principia de 1687. Newton empleó fluxiones ya en 1666, pero no publicó un informe de su notación hasta 1693. El primer uso de diferenciales en los cuadernos de notas de Leibniz se remonta a 1675. Empleó esta notación en una carta de 1677 a Newton. La notación diferencial también apareció en las memorias de Leibniz de 1684.

La afirmación de que Leibniz inventó el cálculo independientemente de Newton se basa en que Leibniz:

1. publicó una descripción de su método algunos años antes de que Newton imprimiera cualquier cosa en fluxions,
2. siempre alabado al descubrimiento como su propia invención (esta declaración fue indiscutible durante algunos años),
3. disfrutó de la fuerte presunción de que actuó de buena fe, y
4. demostró en sus documentos privados su desarrollo de las ideas del cálculo de una manera independiente del camino que Newton tomó.

Según los detractores de Leibniz, el hecho de que la afirmación de Leibniz no haya sido cuestionada durante algunos años es irrelevante. Para rebatir este caso basta demostrar que:

• vio algunos de los papeles de Newton sobre el tema en o antes de 1675 o al menos 1677, y
• obtuvo las ideas fundamentales del cálculo de esos documentos.

No se hizo ningún intento de refutar el número 4, que no se conocía en ese momento, pero que proporciona la evidencia más sólida de que Leibniz llegó al cálculo independientemente de Newton. Esta evidencia, sin embargo, sigue siendo cuestionable debido al descubrimiento, en la investigación y después, de que Leibniz retrocedió y cambió los fundamentos de su libro "original". observa, no sólo en este conflicto intelectual, sino en varios otros. También publicó publicaciones "anónimas" calumnias de Newton sobre su controversia, de la que intentó, inicialmente, afirmar que no era autor.

Sin embargo, si se asume la buena fe, las notas de Leibniz tal como fueron presentadas en la investigación se referían primero a la integración, que él veía como una generalización de la suma de series infinitas, mientras que Newton comenzó a partir de derivadas. Sin embargo, considerar el desarrollo del cálculo como completamente independiente entre el trabajo de Newton y Leibniz pasa por alto el punto de que ambos tenían cierto conocimiento de los métodos del otro (aunque Newton desarrolló la mayoría de los fundamentos antes de que Leibniz comenzara) y de hecho trabajaron juntos en un algunos aspectos, en particular las series de potencias, como se muestra en una carta a Henry Oldenburg fechada el 24 de octubre de 1676, donde Newton comenta que Leibniz había desarrollado varios métodos, uno de los cuales era nuevo para él. Tanto Leibniz como Newton pudieron ver por este intercambio de cartas que el otro estaba muy avanzado en el cálculo (Leibniz en particular lo menciona), pero sólo Leibniz fue impulsado a publicarlo.

Siempre había sido probable que Leibniz viera algunos de los manuscritos de Newton. En 1849, C. I. Gerhardt, mientras revisaba los manuscritos de Leibniz, encontró extractos del De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas de Newton (publicado en 1704 como parte del De Quadratura Curvarum pero también circuló anteriormente entre los matemáticos (desde que Newton entregó una copia a Isaac Barrow en 1669 y Barrow se la envió a John Collins) con la letra de Leibniz, cuya existencia hasta entonces no se había sospechado, junto con notas que reexpresan el contenido de estos extractos en la notación diferencial de Leibniz. Por lo tanto, cuándo se hicieron estos extractos se vuelve de suma importancia. Se sabe que una copia del manuscrito de Newton había sido enviada a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en mayo de 1675, época en la que él y Leibniz colaboraban; No es imposible que estos extractos se hicieran entonces. También es posible que hayan sido realizados en 1676, cuando Leibniz discutió el análisis por series infinitas con Collins y Oldenburg. Es probable que le hubieran mostrado entonces el manuscrito de Newton sobre ese tema, copia del cual seguramente uno o ambos poseían. Por otro lado, se puede suponer que Leibniz hizo los extractos de la copia impresa en 1704 o después. Poco antes de su muerte, Leibniz admitió en una carta al Abbé Antonio Schinella Conti, que en 1676 Collins Le había mostrado algunos de los artículos de Newton, pero Leibniz también dio a entender que tenían poco o ningún valor. Presumiblemente se refería a las cartas de Newton del 13 de junio y 24 de octubre de 1676, y a la carta del 10 de diciembre de 1672, sobre el método de las tangentes, cuyos extractos acompañaban a la carta del 13 de junio.

Si Leibniz hizo uso del manuscrito del que había copiado extractos, o si había inventado previamente el cálculo, son cuestiones sobre las cuales no hay evidencia directa disponible en la actualidad. Sin embargo, vale la pena señalar que los documentos inéditos de Portsmouth muestran que cuando Newton analizó detenidamente toda la disputa en 1711, eligió este manuscrito como el que probablemente de alguna manera había caído en manos de Leibniz. En ese momento no había evidencia directa de que Leibniz hubiera visto el manuscrito de Newton antes de su impresión en 1704; por tanto, la conjetura de Newton no fue publicada. Pero el descubrimiento de Gerhardt de una copia hecha por Leibniz tiende a confirmar su exactitud. Quienes cuestionan la buena fe de Leibniz alegan que, para un hombre de su capacidad, el manuscrito, especialmente si se complementaba con la carta del 10 de diciembre de 1672, era suficiente para darle una pista sobre los métodos de cálculo. Dado que el trabajo de Newton en cuestión empleó la notación fluxional, cualquiera que se basara en ese trabajo tendría que inventar una notación, pero algunos lo niegan.

Desarrollo

La pelea fue un asunto retrospectivo. En 1696, ya algunos años después de los acontecimientos que fueron objeto de la disputa, la situación todavía parecía potencialmente pacífica: Newton y Leibniz habían hecho reconocimientos limitados del trabajo del otro, y L'Hôpital' El libro de Newton de 1696 sobre el cálculo desde un punto de vista leibniziano también había reconocido que el trabajo publicado por Newton en la década de 1680 era "casi todo sobre este cálculo". ("presque tout de ce calcul"), al tiempo que expresa preferencia por la conveniencia de la notación de Leibniz.

Al principio, no había motivos para sospechar de la buena fe de Leibniz. En 1699, Nicolas Fatio de Duillier, un matemático suizo conocido por su trabajo sobre el problema de la luz zodiacal, acusó públicamente a Leibniz de plagiar a Newton, aunque en privado lo había acusado de plagio dos veces en cartas a Christiaan Huygens en 1692. No fue hasta el 1704 publicación de una reseña anónima del tratado de Newton sobre cuadratura, una reseña que implicaba que Newton había tomado prestada la idea del cálculo fluxional de Leibniz, que cualquier matemático responsable dudaba de que Leibniz hubiera inventado el cálculo independientemente de Newton. Respecto a la revisión del trabajo de cuadratura de Newton, todos admiten que no había justificación ni autoridad para las afirmaciones allí hechas, que fueron atribuidas correctamente a Leibniz. Pero la discusión posterior condujo a un examen crítico de toda la cuestión y surgieron dudas. ¿Leibniz había derivado la idea fundamental del cálculo de Newton? El caso contra Leibniz, tal como lo vieron los amigos de Newton, se resumió en el Commercium Epistolicum de 1712, que hacía referencia a todas las acusaciones. Este documento fue elaborado minuciosamente por Newton.

Sus amigos no publicaron tal resumen (con hechos, fechas y referencias) del caso de Leibniz; pero Johann Bernoulli intentó debilitar indirectamente la evidencia atacando el carácter personal de Newton en una carta fechada el 7 de junio de 1713. Cuando se le presionó para que diera una explicación, Bernoulli negó solemnemente haber escrito la carta. Al aceptar la negación, Newton añadió en una carta privada a Bernoulli los siguientes comentarios, las razones alegadas por Newton por las que participó en la controversia. Dijo: "Nunca me he aferrado a la fama entre las naciones extranjeras, pero estoy muy deseoso de preservar mi carácter de honestidad, que el autor de esa epístola, como por la autoridad de un gran juez, había tratado de arrebatar". de mi parte. Ahora que soy viejo, tengo poco placer en los estudios matemáticos y nunca he intentado propagar mis opiniones por el mundo, sino que más bien he tenido cuidado de no involucrarme en disputas a causa de ellas."

Leibniz explicó su silencio de la siguiente manera, en una carta a Conti fechada el 9 de abril de 1716:

Para responder punto por punto a todo el trabajo publicado en mi contra, tendría que entrar en muchas minutias que ocurrieron hace treinta, cuarenta años, de las cuales recuerdo poco: Tendría que buscar mis cartas viejas, de las cuales muchos están perdidos. Además, en la mayoría de los casos, no guardé una copia, y cuando lo hice, la copia está enterrada en un gran montón de papeles, que podría resolver sólo con el tiempo y la paciencia. He disfrutado poco de ocio, siendo tan ponderado hasta tarde con ocupaciones de una naturaleza totalmente diferente.

Para los partidarios acérrimos de Newton, este fue un caso de la palabra de Leibniz contra una serie de detalles contrarios y sospechosos. Su posesión no reconocida de una copia de parte de uno de los manuscritos de Newton puede ser explicable; pero parece que en más de una ocasión Leibniz alteró o añadió deliberadamente documentos importantes (por ejemplo, la carta del 7 de junio de 1713 en la Charta Volans, y la del 8 de abril de 1716 en la Acta Eruditorum), antes de publicarlos, y falsificó una fecha en un manuscrito (1675 fue alterado a 1673). Todo esto pone en duda su testimonio.

Teniendo en cuenta la destreza intelectual de Leibniz, demostrada por sus otros logros, tenía más que la capacidad necesaria para inventar el cálculo. Lo que supuestamente recibió fue una serie de sugerencias más que una explicación de cálculo; Es posible, dado que no publicó sus resultados de 1677 hasta 1684 y que la notación diferencial fue su invención, que Leibniz minimizó, 30 años después, cualquier beneficio que pudiera haber obtenido al leer el manuscrito de Newton. Además, es posible que haya considerado irrelevante la cuestión de quién originó el cálculo si se la compara con el poder expresivo de su notación.

En cualquier caso, un sesgo a favor de Newton manchó todo el asunto desde el principio. La Royal Society, de la que Isaac Newton era entonces presidente, creó un comité para pronunciarse sobre la disputa de prioridad, en respuesta a una carta que había recibido de Leibniz. Ese comité nunca pidió a Leibniz que diera su versión de los hechos. El informe del comité, que falló a favor de Newton, fue escrito y publicado como "Commercium Epistolicum" (mencionado anteriormente) por Newton a principios de 1713. Pero Leibniz no lo vio hasta el otoño de 1714.

Muerte de Leibniz y fin de la disputa

Leibniz nunca aceptó reconocer la prioridad de Newton en la invención del cálculo. También intentó escribir su propia versión de la historia del cálculo diferencial, pero, como en el caso de la historia de los gobernantes de Braunschweig, no completó el asunto. A finales de 1715, Leibniz aceptó la oferta de Johann Bernoulli de organizar otro concurso de matemáticos, en el que diferentes enfoques debían demostrar su valor. Esta vez el problema se tomó del área que luego se llamó cálculo de variaciones: era necesario construir una línea tangente a una familia de curvas. El 25 de noviembre se escribió una carta con el texto y se transmitió en Londres a Newton a través de Abate Conti. El problema se formuló en términos no muy claros, y solo más tarde quedó claro que era necesario encontrar una solución general, y no particular, como entendió Newton. Después de que la parte británica publicó su decisión, Leibniz publicó la suya, de manera más general, y así ganó formalmente esta competencia. Por su parte, Newton buscó obstinadamente destruir a su oponente. Al no haber logrado esto con el “Informe”, continuó su minuciosa investigación, dedicándole cientos de horas. Su siguiente estudio, titulado "Observaciones sobre la epístola anterior", se inspiró en una carta de Leibniz a Conti en marzo de 1716, en la que criticaba las opiniones filosóficas de Newton; No se proporcionaron nuevos hechos en este documento. Con la muerte de Leibniz en noviembre de 1716, la controversia fue amainando gradualmente. Según A. Rupert Hall, después de 1722 esta cuestión dejó de interesar al propio Newton.