Controlabilidad

La controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y la propiedad de controlabilidad juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilización de sistemas inestables por retroalimentación o el control óptimo.

La controlabilidad y la observabilidad son aspectos duales del mismo problema.

A grandes rasgos, el concepto de controlabilidad denota la capacidad de mover un sistema en todo su espacio de configuración usando solo ciertas manipulaciones admisibles. La definición exacta varía ligeramente dentro del marco o el tipo de modelos aplicados.

Los siguientes son ejemplos de variaciones de las nociones de controlabilidad que se han introducido en la literatura de sistemas y control:

• Control del Estado
• Control de salida
• Controlabilidad en el marco de comportamiento

Controlabilidad del estado

El estado de un sistema determinista, que es el conjunto de valores de todas las variables de estado del sistema (aquellas variables caracterizadas por ecuaciones dinámicas), describe completamente el sistema en un momento dado. En particular, no se necesita información sobre el pasado de un sistema para ayudar a predecir el futuro, si se conocen los estados en el momento presente y todos los valores actuales y futuros de las variables de control (aquellas cuyos valores se pueden elegir).

Controlabilidad completa del estado (o simplemente controlabilidad si no se proporciona otro contexto) describe la capacidad de una entrada externa (el vector de variables de control) para mover el estado interno de un sistema de cualquier estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito.

Es decir, podemos definir informalmente la controlabilidad como sigue: Si para algún estado inicial ${displaystyle mathbf {x_{0}$ y algún estado final ${displaystyle mathbf {x_{f}$ existe una secuencia de entrada para transferir el estado del sistema ${displaystyle mathbf {x_{0}$ a ${displaystyle mathbf {x_{f}$ en un intervalo de tiempo finito, entonces el sistema modelado por la representación del espacio-estado es controlable. Para el ejemplo más simple de un sistema continuo, LTI, la dimensión de fila de la expresión espacial del estado ${fnMicrosoft Sans Serif} }=mathbf {A} mathbf {x} (t)+mathbf {B} mathbf {u} (t)}$ determina el intervalo; cada fila aporta un vector en el espacio estatal del sistema. Si no hay suficientes vectores para abarcar el espacio estatal de ${displaystyle mathbf {x}$, entonces el sistema no puede alcanzar la controlabilidad. Puede ser necesario modificar ${displaystyle mathbf {A}$ y ${displaystyle mathbf {B}$ para aproximar mejor las relaciones diferenciales subyacentes que calcula para lograr control.

La controlabilidad no significa que se pueda mantener un estado alcanzado, simplemente que se puede alcanzar cualquier estado.

La controlabilidad no significa que se puedan realizar caminos arbitrarios a través del espacio de estados, solo que existe un camino dentro del intervalo de tiempo finito prescrito.

Sistemas lineales continuos

Considere el sistema lineal continuo

${fnMitbf {x}(t)=A(t)mathbf {x} (t)+B(t)mathbf {u}(t)}$

${displaystyle mathbf {y} (t)=C(t)mathbf {x} (t)+D(t)mathbf {u} (t).}$

Existe un control ${displaystyle u}$ del estado ${displaystyle x_{0}$ a la vez ${displaystyle T_{0}$ al estado ${displaystyle x_{1}}$ a la vez ${displaystyle t_{1} {0}$ si ${displaystyle x_{1}-fi (t_{0},t_{1})x_{0}$ está en el espacio de la columna

${displaystyle W(t_{0},t_{1}=int ¿Por qué?$

Donde ${displaystyle phi }$ es la matriz de transición estatal, y ${displaystyle W(t_{0},t_{1}}$ es el Gramian de Control.

De hecho, si ${displaystyle eta ¿Qué?$ es una solución ${displaystyle W(t_{0},t_{1})eta =x_{1}-phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ entonces un control dado por ${displaystyle u(t)=-B(t)}phi (t_{0},t)^{T}eta ¿Qué?$ haría la transferencia deseada.

Note que la matriz ${displaystyle W.$ definida como arriba tiene las siguientes propiedades:

• ${displaystyle W(t_{0},t_{1}}$ es simétrico
• ${displaystyle W(t_{0},t_{1}}$ es semidefinido positivo para ${displaystyle T_{1}geq T_{0}$
• ${displaystyle W(t_{0},t_{1}}$ satisfice la ecuación diferencial de matriz lineal

${displaystyle {frac {d}{dt}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)^{T},;W(t_{1},t_{1})=0}$

• ${displaystyle W(t_{0},t_{1}}$ satisfice la ecuación

${displaystyle W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+phi (t_{0},t)W(t,t_{1})phi (t_{0},t)^{T}}$

Condición de rango para controlabilidad

El Gramian de controlabilidad implica la integración de la matriz de transición de estado de un sistema. Una condición más simple para la controlabilidad es una condición de rango análoga a la condición de rango de Kalman para sistemas invariantes en el tiempo.

Considere un sistema lineal continuo ${displaystyle Sigma }$ variar suavemente en un intervalo ${displaystyle [t_{0},t]$ de ${displaystyle mathbb {R}$:

${fnMitbf {x}(t)=A(t)mathbf {x} (t)+B(t)mathbf {u}(t)}$

${displaystyle mathbf {y} (t)=C(t)mathbf {x} (t)+D(t)mathbf {u} (t).}$

La matriz de transición estatal ${displaystyle phi }$ también es suave. Introducir la función valorada en matriz n x m ${displaystyle M_{0}(t)=phi (t_{0},t)B(t)}$ y definir

${displaystyle M_{k}(t)}$ = ${displaystyle {frac {mathrm} {d^{k} M_{0}{mathrm {d} t}(t),kgeqslant 1}$.

Considere la matriz de funciones valoradas por matriz obtenidas mediante la inclusión de todas las columnas de las ${displaystyle M_{i}$, ${displaystyle i=0,1,ldotsk}$:

${displaystyle M^{(k)}(t):=left[M_{0}(t),ldotsM_{k}(t)right]}$.

Si existe ${displaystyle {bar {}in [t_{0},t]}$ y un entero no negativo k tal que ${displaystyle operatorname {rank} M^{(k)}({bar {t})=n}$, entonces ${displaystyle Sigma }$ es controlable.

Si ${displaystyle Sigma }$ también varia analíticamente en un intervalo ${displaystyle [t_{0},t]$, entonces ${displaystyle Sigma }$ es controlable en cada subintervalo notrivial de ${displaystyle [t_{0},t]$ y sólo si existe ${displaystyle {bar {}in [t_{0},t]}$ y un entero no negativo k tal que ${displaystyle operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i}=n}$.

Los métodos anteriores todavía pueden ser complejos para comprobar, ya que implica la computación de la matriz estatal-transición ${displaystyle phi }$. Otra condición equivalente se define como sigue. Vamos ${displaystyle B_{0}(t)=B(t)}$, y para cada ${displaystyle igeq 0}$, definir

${displaystyle B_{i+1}(t)}$= ${displaystyle A(t)B_{i}(t)-{frac {mathrm {d} ¿Qué?$

En este caso, cada uno ${displaystyle B_{i}$ se obtiene directamente de los datos ${displaystyle (A(t),B(t)). }$ El sistema es controlable si existe ${displaystyle {bar {}in [t_{0},t]}$ y un entero no negativo ${displaystyle k}$ tales que ${displaystyle {textrm {}(left[B_{0}({bar {t}}),B_{1}({bar {t}}),ldotsB_{k}({bar {t})right])=n}$.

Ejemplo

Considerar un sistema que varía analíticamente ${displaystyle (-inftyinfty)}$ y matrices

${displaystyle A(t)={begin{bmatrix}t tendría un doble0$