Control proporcional

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Sistema de control de retroalimentación lineal

Control proporcional, en ingeniería y control de procesos, es un tipo de sistema de control de retroalimentación lineal en el que se aplica una corrección a la variable controlada, y el tamaño de la corrección es proporcional a la diferencia entre el valor deseado (punto de ajuste, SP) y el valor medido (variable de proceso, PV). Dos ejemplos mecánicos clásicos son la válvula dosificadora de flotador de la taza del inodoro y el regulador de bola volante.

El concepto de control proporcional es más complejo que un sistema de control de encendido y apagado, como un termostato doméstico bimetálico, pero más simple que un sistema de control proporcional-integral-derivado (PID) utilizado en algo como el control de crucero de un automóvil. El control de encendido y apagado funcionará cuando el sistema general tenga un tiempo de respuesta relativamente largo, pero puede provocar inestabilidad si el sistema que se controla tiene un tiempo de respuesta rápido. El control proporcional supera esto modulando la salida al dispositivo de control, tal como una válvula de control, a un nivel que evita la inestabilidad, pero aplica la corrección lo más rápido posible aplicando la cantidad óptima de ganancia proporcional.

Un inconveniente del control proporcional es que no puede eliminar el error residual SP − PV en procesos con compensación, p.e. control de temperatura, ya que requiere un error para generar una salida proporcional. Para superar esto, se ideó el controlador PI, que utiliza un término proporcional (P) para eliminar el error bruto y un término integral (I) para eliminar el error de compensación residual integrando el error en el tiempo para producir un "I&. #34; componente para la salida del controlador.

Teoría

En el algoritmo de control proporcional, la salida del controlador es proporcional a la señal de error, que es la diferencia entre el punto de ajuste y la variable de proceso. En otras palabras, la salida de un controlador proporcional es el producto multiplicador de la señal de error y la ganancia proporcional.

Esto se puede expresar matemáticamente como

{displaystyle P_{mathrm {out} }=K_{p},{e(t)+p0}}

dónde

${displaystyle p0}$ : Salida del controlador con cero error.
${displaystyle P_{mathrm {out} }}$ : Producto del controlador proporcional
${displaystyle K_{p}}$ : Ganancia proporcional
${displaystyle e(t)}$ : Error de proceso instantáneo a tiempo t. ${displaystyle e(t)=SP-PV}$
${displaystyle SP}$ : Punto de juego
${displaystyle PV}$ : Variable de proceso

Constraints: En una planta real, los actuadores tienen limitaciones físicas que pueden expresarse como limitaciones ${displaystyle P_{mathrm {out} }}$ . Por ejemplo, ${displaystyle P_{mathrm {out} }}$ puede estar vinculado entre −1 y +1 si son los límites máximos de salida.

Calificaciones: Es preferible expresar ${displaystyle K_{p}}$ como número sin unidad. Para hacer esto, podemos expresar ${displaystyle e(t)}$ como relación con el alcance del instrumento. Este lapso está en las mismas unidades que el error (por ejemplo, C grados) por lo que la relación no tiene unidades.

Desarrollo de diagramas de bloques de control

El control proporcional dicta ${displaystyle {mathit {g_{c}=k_{c}}}}$ . Desde el diagrama de bloques mostrado, asuma que r, el punto, es el flujo en un tanque y e es error, que es la diferencia entre el punto de ajuste y la salida del proceso medido. ${displaystyle {mathit {g_{p}}},}$ es la función de transferencia de proceso; la entrada en el bloque es la velocidad de flujo y la salida es el nivel del tanque.

La salida como función del punto, r, es conocido como función de transferencia cerrada. ${displaystyle {mathit {g_{cl}}}={frac {mathit {g_{p}g_{c}}}{1+g_{p}g_{c}}},}$ Si los polos de ${displaystyle {mathit {g_{cl}}},}$ son estables, entonces el sistema de cierre cerrado es estable.

Proceso de primer orden

Para un proceso de primera orden, una función de transferencia general es ${displaystyle g_{p}={frac {k_{p}}{tau _{p}s+1}}}$ . Combinando esto con la función de transferencia cerrada por encima de las devoluciones ${displaystyle g_{CL}={frac {frac {k_{p}k_{c}}{tau _{p}s+1}}{1+{frac {k_{p}k_{c}}{tau _{p}s+1}}}}}$ . Simplificar esta ecuación resulta en ${displaystyle g_{CL}={frac {k_{CL}}{tau _{CL}s+1}}}$ Donde ${displaystyle k_{CL}={frac {k_{p}k_{c}}{1+k_{p}k_{c}}}}$ y ${displaystyle tau _{CL}={frac {tau _{p}}{1+k_{p}k_{c}}}}$ . Para la estabilidad en este sistema, $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">τ τ CL■0{displaystyle tau _{CL}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55eece904d33a9071518fe59eb6041ab68c0cada" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.878ex; height:2.509ex;"/>$ ; por consiguiente, ${displaystyle tau _{p}}$ debe ser un número positivo, y $-1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">kpkc■− − 1{displaystyle k_{p}k_{c}-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd1e08278a63cc2cbaa3c2220883f338557d6a0" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.495ex; height:2.843ex;"/>$ (la práctica estándar es asegurarse de que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">kpkc■0{displaystyle k_{p}k_{c}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb4d29ddd61e0c5527d39559b51f7b0f072319f" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.687ex; height:2.843ex;"/>$ ).

La introducción de un cambio gradual en el sistema da la respuesta de salida ${displaystyle y(s)=g_{CL}times {frac {Delta R}{s}}}$ .

Usando el teorema de valor final,

${displaystyle lim _{tto infty }y(t)=lim _{s,searrow ,0}left(stimes {frac {k_{CL}}{tau _{CL}s+1}}times {frac {Delta R}{s}}right)=k_{CL}times Delta R=y(t)|_{t=infty }}$

lo que demuestra que siempre habrá una compensación en el sistema.

Proceso de integración

Para un proceso integrador, una función de transferencia general es ${displaystyle g_{p}={frac {1}{s(s+1)}}}$ , que, cuando se combina con la función de transferencia de circuito cerrado, se convierte ${displaystyle g_{CL}={frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}}$ .

La introducción de un cambio gradual en el sistema da la respuesta de salida ${displaystyle y(s)=g_{CL}times {frac {Delta R}{s}}}$ .

Usando el teorema de valor final,

${displaystyle lim _{tto infty }y(t)=lim _{s,searrow ,0}left(stimes {frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}times {frac {Delta R}{s}}right)=Delta R=y(t)|_{t=infty }}$

significa que no hay compensación en este sistema. Este es el único proceso que no tendrá compensación al usar un controlador proporcional.

Error de compensación

El error de compensación es la diferencia entre el valor deseado y el valor real, error $SP - PV$ . En una variedad de condiciones operativas, el control proporcional por sí solo no puede eliminar el error de compensación, ya que requiere un error para generar un ajuste de salida. Si bien se puede ajustar un controlador proporcional (mediante un ajuste $p0$ , si es posible) para eliminar el error de compensación para las condiciones esperadas, cuando ocurre una perturbación (desviación del estado existente o ajuste del punto de ajuste) en el proceso, la acción de control correctivo, basada puramente en el control proporcional, dará como resultado un error de compensación.

Considere un objeto suspendido por un resorte como un control proporcional simple. El resorte intentará mantener el objeto en un lugar determinado a pesar de las perturbaciones que puedan desplazarlo temporalmente. La ley de Hooke nos dice que el resorte aplica una fuerza correctiva que es proporcional al desplazamiento del objeto. Si bien esto tenderá a mantener el objeto en una ubicación particular, la ubicación de reposo absoluto del objeto variará si se cambia su masa. Esta diferencia en la ubicación de reposo es el error de compensación.

Banda proporcional

La banda proporcional es la banda de salida del controlador sobre la cual el elemento de control final (una válvula de control, por ejemplo) se moverá de un extremo a otro. Matemáticamente se puede expresar como:

${displaystyle PB={frac {100}{K_{p}}} }$

Así que si ${displaystyle K_{p}}$ , la ganancia proporcional, es muy alta, la banda proporcional es muy pequeña, lo que significa que la banda de salida del controlador sobre la cual el elemento de control final va de mínimo a máximo (o viceversa) es muy pequeña. Este es el caso de los controladores de encendido, donde ${displaystyle K_{p}}$ es muy alto y, por lo tanto, para un pequeño error, la salida del controlador se impulsa de un extremo a otro.

Ventajas

La clara ventaja del control proporcional sobre el control on-off puede demostrarse mediante el control de velocidad del automóvil. Una analogía con el control de encendido y apagado es conducir un automóvil aplicando potencia total o nula y variando el ciclo de trabajo para controlar la velocidad. La energía estaría encendida hasta que se alcance la velocidad objetivo, y luego se quitaría la energía, por lo que el automóvil reduciría la velocidad. Cuando la velocidad cae por debajo del objetivo, con una cierta histéresis, se aplicará nuevamente toda la potencia. Se puede ver que esto obviamente daría como resultado un control deficiente y grandes variaciones de velocidad. Cuanto más potente es el motor, mayor es la inestabilidad; cuanto más pesado es el coche, mayor es la estabilidad. La estabilidad puede expresarse en correlación con la relación potencia-peso del vehículo.

En el control proporcional, la potencia de salida siempre es proporcional al error (velocidad real versus velocidad objetivo). Si el automóvil está a la velocidad objetivo y la velocidad aumenta ligeramente debido a una pendiente descendente, la potencia se reduce ligeramente, o en proporción al cambio en el error, de modo que el automóvil reduce la velocidad gradualmente y alcanza el nuevo punto objetivo con muy poco. si lo hay, "sobrepaso", que es un control mucho más suave que el control de encendido y apagado. En la práctica, los controladores PID se utilizan para este y un gran número de otros procesos de control que requieren un control con mayor capacidad de respuesta que el uso proporcional únicamente.

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