Control predictivo del modelo

Control predictivo modelo ()MPC) es un método avanzado de control de procesos que se utiliza para controlar un proceso mientras satisface un conjunto de limitaciones. Se ha utilizado en las industrias de procesos en plantas químicas y refinerías de petróleo desde los años 80. En los últimos años también se ha utilizado en modelos de equilibrio de sistemas eléctricos y en electrónica eléctrica. Los controladores predictivos modelo dependen de modelos dinámicos del proceso, con más frecuencia modelos empíricos lineales obtenidos por la identificación del sistema. La principal ventaja de MPC es el hecho de que permite optimizar el cronograma actual, manteniendo en cuenta los tiempos futuros. Esto se logra mediante la optimización de un tiempo-horizon finito, pero sólo la implementación del cronograma actual y luego la optimización de nuevo, repetidamente, por lo que difiere de un regulador lineal-cuadrático (LQR). También MPC tiene la capacidad de anticipar eventos futuros y puede tomar medidas de control en consecuencia. Los controladores PID no tienen esta capacidad predictiva. MPC es casi universalmente implementado como un control digital, aunque hay investigación en lograr tiempos de respuesta más rápidos con circuitos analógicos especialmente diseñados.

El control predictivo generalizado (GPC) y el control dinámico de matriz (DMC) son ejemplos clásicos del MPC.

Descripción general

Los modelos utilizados en MPC generalmente pretenden representar el comportamiento de sistemas dinámicos complejos y simples. La complejidad adicional del algoritmo de control MPC generalmente no es necesaria para proporcionar un control adecuado de sistemas simples, que a menudo están bien controlados mediante controladores PID genéricos. Las características dinámicas comunes que son difíciles para los controladores PID incluyen grandes retrasos de tiempo y dinámicas de alto orden.

Los modelos MPC predicen el cambio en las variables dependientes del sistema modelado que será causado por cambios en las variables independientes. En un proceso químico, las variables independientes que el controlador puede ajustar son a menudo los puntos de ajuste de los controladores PID regulatorios (presión, flujo, temperatura, etc.) o el elemento de control final (válvulas, compuertas, etc.). Como perturbaciones se utilizan variables independientes que el controlador no puede ajustar. Las variables dependientes en estos procesos son otras medidas que representan objetivos de control o restricciones del proceso.

MPC utiliza las mediciones actuales de la planta, el estado dinámico actual del proceso, los modelos MPC y los objetivos y límites de las variables del proceso para calcular cambios futuros en las variables dependientes. Estos cambios se calculan para mantener las variables dependientes cerca del objetivo y al mismo tiempo respetar las restricciones tanto de las variables independientes como de las dependientes. El MPC normalmente envía sólo el primer cambio en cada variable independiente que se va a implementar y repite el cálculo cuando se requiere el siguiente cambio.

Si bien muchos procesos reales no son lineales, a menudo se puede considerar que son aproximadamente lineales en un rango operativo pequeño. Los enfoques MPC lineales se utilizan en la mayoría de las aplicaciones con el mecanismo de retroalimentación del MPC compensando los errores de predicción debidos a un desajuste estructural entre el modelo y el proceso. En los controladores predictivos de modelos que constan únicamente de modelos lineales, el principio de superposición del álgebra lineal permite sumar el efecto de los cambios en múltiples variables independientes para predecir la respuesta de las variables dependientes. Esto simplifica el problema de control a una serie de cálculos de álgebra matricial directa que son rápidos y sólidos.

Cuando los modelos lineales no son lo suficientemente precisos para representar las no linealidades del proceso real, se pueden utilizar varios enfoques. En algunos casos, las variables del proceso se pueden transformar antes y/o después del modelo MPC lineal para reducir la no linealidad. El proceso se puede controlar con MPC no lineal que utiliza un modelo no lineal directamente en la aplicación de control. El modelo no lineal puede adoptar la forma de un ajuste de datos empíricos (por ejemplo, redes neuronales artificiales) o un modelo dinámico de alta fidelidad basado en equilibrios fundamentales de masa y energía. El modelo no lineal se puede linealizar para derivar un filtro de Kalman o especificar un modelo para MPC lineal.

Un estudio algorítmico realizado por El-Gherwi, Budman y El Kamel muestra que utilizar un enfoque de modo dual puede proporcionar una reducción significativa en los cálculos en línea y al mismo tiempo mantener un rendimiento comparativo con una implementación no modificada. El algoritmo propuesto resuelve N problemas de optimización convexa en paralelo basándose en el intercambio de información entre controladores.

Teoría detrás de MPC

MPC se basa en la optimización iterativa, finita-horizona de un modelo de planta. At time ${displaystyle t}$ el estado de planta actual se muestra y una estrategia de control de minimización de costos se calcula (a través de un algoritmo de minimización numérico) para un horizonte de tiempo relativamente corto en el futuro: ${displaystyle [t,t+T]$. Específicamente, se utiliza un cálculo en línea o on-the-fly para explorar las trayectorias estatales que emanan del estado actual y encontrar (a través de la solución de ecuaciones Euler-Lagrange) una estrategia de control que minimiza costos hasta el tiempo ${displaystyle t+T}$. Sólo el primer paso de la estrategia de control se implementa, luego el estado de planta se muestra de nuevo y los cálculos se repiten a partir del nuevo estado actual, dando un nuevo control y nuevo camino estatal predicho. El horizonte de predicción sigue siendo cambiado hacia adelante y por esta razón MPC también se llama control del horizonte. Aunque este enfoque no es óptimo, en la práctica ha dado muy buenos resultados. Se ha realizado mucha investigación académica para encontrar métodos rápidos de solución de ecuaciones de tipo Euler-Lagrange, para entender las propiedades de estabilidad global de la optimización local de MPC, y en general para mejorar el método MPC.

Principios de MPC

El control predictivo de modelo es un algoritmo de control multivariable que utiliza:

• un modelo dinámico interno del proceso
• a la función de costo J sobre el horizonte recedante
• un algoritmo de optimización minimizando la función de coste J usando la entrada de control u

Un ejemplo de una función de costo cuadrática para optimización viene dado por:

${displaystyle J=sum ¿Por qué? ¿Qué? Delta.$

sin violar las restricciones (límites bajo/alto) con

${displaystyle x_{i}}$: ${displaystyle i}$^T variable controlada (por ejemplo, temperatura medida)

${displaystyle R_{i}$: ${displaystyle i}$^T variable de referencia (por ejemplo, temperatura requerida)

${displaystyle U_{i}$: ${displaystyle i}$^T variable manipulada (por ejemplo, válvula de control)

${displaystyle ¿Qué?$: coeficiente de ponderación que refleja la importancia relativa de ${displaystyle x_{i}}$

${displaystyle ¿Qué?$: coeficiente de ponderación penalizando cambios relativos grandes ${displaystyle U_{i}$

etc.

MPC no lineal

El control predictivo de modelos no lineales, o NMPC, es una variante del control predictivo de modelos que se caracteriza por el uso de modelos de sistemas no lineales en la predicción. Al igual que en MPC lineal, NMPC requiere la solución iterativa de problemas de control óptimo en un horizonte de predicción finito. Si bien estos problemas son convexos en MPC lineal, en MPC no lineal ya no son necesariamente convexos. Esto plantea desafíos tanto para la teoría de estabilidad de NMPC como para la solución numérica.

La solución numérica de los problemas de control óptimo NMPC se basa típicamente en métodos de control óptimo directo que utilizan esquemas de optimización de tipo Newton, en una de las variantes: disparo único directo, métodos de disparo múltiple directo o colocación directa. Los algoritmos NMPC normalmente aprovechan el hecho de que los problemas de control óptimo consecutivos son similares entre sí. Esto permite inicializar el procedimiento de solución de tipo Newton de manera eficiente mediante una suposición desplazada adecuadamente de la solución óptima previamente calculada, ahorrando cantidades considerables de tiempo de cálculo. La similitud de los problemas posteriores se explota aún más mediante algoritmos de seguimiento de ruta (o "iteraciones en tiempo real") que nunca intentan iterar ningún problema de optimización hasta la convergencia, sino que solo realizan unas pocas iteraciones hacia la solución del problema. problema NMPC más actual, antes de pasar al siguiente, que está adecuadamente inicializado; ver, por ejemplo,... Otro candidato prometedor para el problema de optimización no lineal es utilizar un método de optimización aleatorio. Las soluciones óptimas se encuentran generando muestras aleatorias que satisfacen las restricciones en el espacio de soluciones y encontrando la óptima en función de la función de costos.

Si bien en el pasado las aplicaciones NMPC se utilizaban principalmente en las industrias química y de procesos con tasas de muestreo comparativamente lentas, NMPC se aplica cada vez más, con avances en el hardware del controlador y los algoritmos computacionales, por ejemplo, el preacondicionamiento, para aplicaciones con altas tasas de muestreo., por ejemplo en la industria del automóvil o incluso cuando los estados están distribuidos en el espacio (sistemas de parámetros distribuidos). Como aplicación en el sector aeroespacial, recientemente, NMPC se ha utilizado para rastrear trayectorias óptimas de seguimiento/evitación del terreno en tiempo real.

MPC explícita

El MPC explícito (eMPC) permite una evaluación rápida de la ley de control para algunos sistemas, en marcado contraste con el MPC en línea. MPC explícito se basa en la técnica de programación paramétrica, donde la solución al problema de control MPC formulado como problema de optimización se calcula previamente fuera de línea. Esta solución fuera de línea, es decir, la ley de control, a menudo tiene la forma de una función afín por partes (PWA), por lo tanto, el controlador eMPC almacena los coeficientes de la PWA para cada subconjunto (región de control) del espacio de estados, donde la PWA es constante, así como coeficientes de algunas representaciones paramétricas de todas las regiones. Cada región resulta ser geométricamente un politopo convexo para MPC lineal, comúnmente parametrizado por coeficientes para sus caras, lo que requiere un análisis de precisión de cuantificación. La obtención de la acción de control óptima se reduce entonces a determinar primero la región que contiene el estado actual y, en segundo lugar, una simple evaluación de PWA utilizando los coeficientes de PWA almacenados para todas las regiones. Si el número total de regiones es pequeño, la implementación del eMPC no requiere recursos computacionales significativos (en comparación con el MPC en línea) y es especialmente adecuado para sistemas de control con dinámica rápida. Un serio inconveniente de eMPC es el crecimiento exponencial del número total de regiones de control con respecto a algunos parámetros clave del sistema controlado, por ejemplo, el número de estados, aumentando así dramáticamente los requisitos de memoria del controlador y dando el primer paso de la evaluación de PWA, es decir. buscar la región de control actual, computacionalmente costoso.

Robusta MPC

Las variantes robustas del control predictivo del modelo son capaces de tener en cuenta las perturbaciones acotadas establecidas y, al mismo tiempo, garantizar que se cumplan las restricciones estatales. A continuación se detallan algunos de los principales enfoques para un MPC robusto.

• Min-max MPC. En esta formulación se realiza la optimización con respecto a todas las posibles evoluciones de la perturbación. Esta es la solución óptima para problemas de control robusto lineal, sin embargo tiene un alto costo computacional. La idea básica detrás del enfoque min/max MPC es modificar la optimización "min" en línea a un problema "min-max", minimizando el peor caso de la función objetiva, maximizado sobre todas las plantas posibles del conjunto de incertidumbre.
• Constraint Tightening MPC. Aquí las limitaciones del estado se agrandan por un margen dado para que se pueda garantizar una trayectoria bajo cualquier evolución de la perturbación.
• Tube MPC. Esto utiliza un modelo nominal independiente del sistema, y utiliza un controlador de retroalimentación para asegurar que el estado real converge al estado nominal. La cantidad de separación requerida de las restricciones estatales se determina por el sólido conjunto de invariantes positivos (RPI), que es el conjunto de todas las posibles desviaciones estatales que pueden introducirse por perturbación con el controlador de retroalimentación.
• MPC multietapa. Esto utiliza una formulación de árbol de escenarios aproximando el espacio de incertidumbre con un conjunto de muestras y el enfoque no es conservador porque tiene en cuenta que la información de medición está disponible en cada etapa de la predicción y las decisiones en cada etapa pueden ser diferentes y pueden actuar como recurso para contrarrestar los efectos de las incertidumbres. Sin embargo, el inconveniente del enfoque es que el tamaño del problema crece exponencialmente con el número de incertidumbres y el horizonte de predicción.
• Tube-enhanced multietapa MPC. Este enfoque sinergiza MPC multietapa y MPC a base de tubo. Proporciona altos grados de libertad para elegir el intercambio deseado entre la óptima y la simplicidad por la clasificación de incertidumbres y la elección de leyes de control en las predicciones.

Software MPC disponible comercialmente

Hay paquetes MPC comerciales disponibles que normalmente contienen herramientas para la identificación y análisis de modelos, diseño y ajuste de controladores, así como evaluación del rendimiento del controlador.

S.J. ha proporcionado una encuesta sobre los paquetes disponibles comercialmente. Qin y T.A. Badgwell en Práctica de ingeniería de control 11 (2003) 733–764.

MPC frente a LQR

El control predictivo de modelos y los reguladores cuadráticos lineales son expresiones de control óptimo, con diferentes esquemas para establecer costos de optimización.

Mientras que un controlador predictivo de modelo a menudo analiza conjuntos de funciones de error de longitud fija, a menudo ponderadas gradualmente, el regulador lineal-cuadrático analiza todas las entradas del sistema lineal y proporciona la función de transferencia que reducirá el error total en todo el espectro de frecuencia, intercambiando Error de estado apagado contra la frecuencia de entrada.

Debido a estas diferencias fundamentales, LQR tiene mejores propiedades de estabilidad global, pero MPC a menudo tiene un rendimiento localmente más óptimo[?] y complejo.

Las principales diferencias entre MPC y LQR son que LQR optimiza en toda la ventana de tiempo (horizonte), mientras que MPC optimiza en una ventana de tiempo que retrocede, y que con MPC se calcula a menudo una nueva solución, mientras que LQR usa la misma solución única (óptima). solución para todo el horizonte temporal. Por lo tanto, MPC normalmente resuelve el problema de optimización en una ventana de tiempo más pequeña que todo el horizonte y, por lo tanto, puede obtener una solución subóptima. Sin embargo, debido a que MPC no hace suposiciones sobre la linealidad, puede manejar restricciones estrictas, así como la migración de un sistema no lineal fuera de su punto de operación linealizado, los cuales son inconvenientes importantes para LQR.

Esto significa que LQR puede debilitarse cuando se opera lejos de puntos fijos estables. MPC puede trazar un camino entre estos puntos fijos, pero la convergencia de una solución no está garantizada, especialmente si se ha descuidado la convexidad y la complejidad del espacio del problema.