Control de volumen

En mecánica continua y termodinámica, una volumen de control ()CV) es una abstracción matemática empleada en el proceso de crear modelos matemáticos de procesos físicos. En un marco de referencia inercial, es una región ficticia de un volumen determinado fijo en el espacio o en movimiento con velocidad de flujo constante a través de la cual continuuum (un medio continuo como flujos de gas, líquido o sólido). La superficie cerrada que encierra la región se conoce como la superficie de control.

En estado constante, se puede considerar un volumen de control como un volumen arbitrario en el que la masa del continuo permanece constante. A medida que un continuo pasa por el volumen de control, la masa que entra en el volumen de control es igual a la masa que deja el volumen de control. En estado constante, y en ausencia de trabajo y transferencia de calor, la energía dentro del volumen de control sigue siendo constante. Es análogo al concepto de mecánica clásica del diagrama de cuerpo libre.

Descripción general

Por lo general, para comprender cómo se aplica una ley física determinada al sistema bajo consideración, primero se comienza considerando cómo se aplica a un volumen de control pequeño o "volumen representativo". No hay nada especial en un volumen de control particular, simplemente representa una pequeña parte del sistema al que se pueden aplicar fácilmente las leyes físicas. Esto da lugar a lo que se denomina una formulación volumétrica o volumétrica del modelo matemático.

Entonces se puede argumentar que, dado que las leyes físicas se comportan de cierta manera en un volumen de control particular, se comportan de la misma manera en todos esos volúmenes, ya que ese volumen de control particular no era especial de ninguna manera. De esta manera, se puede desarrollar la correspondiente formulación puntual del modelo matemático para que pueda describir el comportamiento físico de un sistema completo (y tal vez más complejo).

En mecánica continua, las ecuaciones de conservación (por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes) están en forma integral. Por tanto, se aplican a los volúmenes. Encontrar formas de la ecuación que sean independientes de los volúmenes de control permite simplificar los signos integrales. Los volúmenes de control pueden ser estacionarios o pueden moverse con una velocidad arbitraria.

Derivada sustantiva

Las computaciones en mecánicos continuos a menudo requieren que el operador de derivación del tiempo regular d/dt{displaystyle d/dt;} es reemplazado por el operador derivado sustantivo D/Dt{displaystyle D/Dt}. Esto se puede ver como sigue.

Considere un error que se mueve a través de un volumen donde hay algún escalar, por ejemplo, presión, que varía con el tiempo y la posición: p=p()t,x,Sí.,z){displaystyle p=p(t,x,y,z);}.

Si el error durante el intervalo de tiempo desde t{displaystyle t;} a t+dt{displaystyle t+dt;} movimientos de ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)} a ()x+dx,Sí.+dSí.,z+dz),{displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),;}entonces el error experimenta un cambio dp{displaystyle dp;} en el valor del escalar,

dp=∂ ∂ p∂ ∂ tdt+∂ ∂ p∂ ∂ xdx+∂ ∂ p∂ ∂ Sí.dSí.+∂ ∂ p∂ ∂ zdz{displaystyle dp={frac {partial p}{partial t}dt+{frac {partial p}{partial x}dx+{frac {partial p}{partial p}{partial p}{ Y...

(el diferencial total). Si el fallo se mueve con una velocidad v=()vx,vSí.,vz),{displaystyle mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),} el cambio en la posición de partículas es vdt=()vxdt,vSí.dt,vzdt),{displaystyle mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),} y podemos escribir

dp=∂ ∂ p∂ ∂ tdt+∂ ∂ p∂ ∂ xvxdt+∂ ∂ p∂ ∂ Sí.vSí.dt+∂ ∂ p∂ ∂ zvzdt=()∂ ∂ p∂ ∂ t+∂ ∂ p∂ ∂ xvx+∂ ∂ p∂ ∂ Sí.vSí.+∂ ∂ p∂ ∂ zvz)dt=()∂ ∂ p∂ ∂ t+v⋅ ⋅ Silencio Silencio p)dt.{displaystyle {begin{alignedat}{2}dp caer={frac} {partial p}{partial t}dt+{frac {partial p}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc}{partial p}{partial ¿Y? {fnMicroc {fnh} {fnMicrosoft} {fnMicroc {fnMicrosoft} {f} {fnMicroc} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}\f}fnfn\fnMicrocfn}\fn}\fnfn\fn}fnMicrocfn}fn}\\\\fn}fnfn}fn}fn}\fn\fn}fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}fnK}f} Y}v_{y}+{frac {partial p}{partial z}v_{z}right)dt=left({frac {partial p}{partial t}+mathbf {v} cdot nabla pright)dt.\end{alignedat}}}}}}}}}}} {

Donde Silencio Silencio p{displaystyle nabla p} es el gradiente del campo de escalar p. Entonces:

ddt=∂ ∂ ∂ ∂ t+v⋅ ⋅ Silencio Silencio.{displaystyle {frac {}{}={frac} {partial }{partial t}+mathbf {v} cdot nabla.}

Si el insecto simplemente se mueve con el flujo, se aplica la misma fórmula, pero ahora el vector de velocidad, v, es el del flujo, u. La última expresión entre paréntesis es la derivada sustantiva de la presión escalar. Dado que la presión p en este cálculo es un campo escalar arbitrario, podemos abstraerlo y escribir el operador derivado sustantivo como

DDt=∂ ∂ ∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio.{displaystyle {frac {f}{frac {partial }{f} {f} {f} {fn}}} {fn}} {fnMicroc {fnK}}} {fn}}} {f}fnf}}fnfnKf}}}}}}f}f} {f}f}f}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnf}fnfnfnfnKfnKfnKfnh}fnf}fnfnfnh}fnfnfnKfnfnfnfnfnKfnfnh}}}}}}} t}+mathbf {u} cdot nabla.}