Contribuciones de Leonhard Euler a las matemáticas

El matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler (1707–1783) es uno de los matemáticos más prolíficos y exitosos de la historia de este campo. Su obra seminal tuvo un profundo impacto en numerosas áreas de las matemáticas y se le atribuye ampliamente la introducción y popularización de la notación y la terminología modernas.

Euler introdujo gran parte de la notación matemática en uso hoy, como la notación f()x) para describir una función y la notación moderna para las funciones trigonométricas. Fue el primero en usar la carta e para la base del logaritmo natural, ahora también conocido como el número de Euler. El uso de la letra griega ${\displaystyle \pi}$ to denote the ratio of a circle's circumference to its diámetro was also popularized by Euler (although it did not originate with him). También se le atribuye por inventar la notación i to denote ${\displaystyle {\sqrt {}}$.

Euler hizo importantes contribuciones al análisis complejo. Introdujo notación científica. Descubrió lo que ahora se conoce como la fórmula de Euler, que por cualquier número real ${\displaystyle \varphi }$, la función exponencial compleja satisfies

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi.}$

Richard Feynman ha dicho muchas veces que esta fórmula es "la más notable de las matemáticas". La identidad de Euler es un caso especial de esto:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$

Esta identidad es particularmente notable ya que implica e, ${\displaystyle \pi}$, i, 1, y 0, arguiblemente las cinco constantes más importantes en las matemáticas, así como los cuatro operadores aritméticos fundamentales: adición, multiplicación, exponentiación e igualdad.

El desarrollo del cálculo estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoulli (amigos de la familia de Euler) fueron responsables de gran parte de los primeros avances en este campo. La comprensión del infinito fue el principal objetivo de la investigación de Euler. Si bien algunas de las pruebas de Euler pueden no haber sido aceptables según los estándares modernos de rigor, sus ideas fueron responsables de muchos grandes avances. En primer lugar, Euler introdujo el concepto de función e introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en las pruebas analíticas.

Euler utilizaba con frecuencia las funciones logarítmicas como una herramienta en problemas de análisis, y descubrió nuevas formas por las que podían utilizarse. Descubrió maneras de expresar diversas funciones logarítmicas en términos de serie de poder, y definió con éxito logaritmos para números complejos y negativos, ampliando así el alcance donde los logaritmos podrían aplicarse en matemáticas. La mayoría de los investigadores en el campo consideraron que ${\displaystyle \log(x)=\log(-x)}$ para cualquier real positivo ${\displaystyle x}$ desde el uso de la propiedad de aditividad de logaritmos ${\displaystyle 2\log(-x)=\log((-x)^{2}=\log(x^{2})=2\log(x)}$. En una carta de 1747 a Jean Le Rond d'Alembert, Euler definió el logaritmo natural de −1 como ${\displaystyle i\pi}$Un imaginario puro.

Euler es muy conocido en el ámbito del análisis por su frecuente uso y desarrollo de series de potencias: es decir, la expresión de funciones como sumas de un número infinito de términos, como

${\displaystyle e=\sum _{\n=0}{\infty }{1 \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1} {2}}}+\cdots +{\frac {1}}\right).}$

Cabe destacar que Euler descubrió las expansiones de series de potencias para e y la función tangente inversa

${\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}{2n+1}}}} {\2n+1}}$

Su uso de series de potencias le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac} {2}{2}}+{\frac} {1}{2}}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}} {\c} {\c}}{2}} {\c}}}} {\cdots}} {\cdot} {\cdot}}} {\c}} {\cdot}}}} {\cdot}} {\cdot}}} {\cdot} {\cdot} {\cdot} {\cdot} {\cdot\cdot} {\c} {\c}}} {\c} {\cdot} {\cdot} {\cdot} {\c}}}}} {\cdot} {\cdot} {\cdot} {\cdot}} {\cdot} {\cdot} {\cdot}} {\cdot}}}}} {\c$

Además, Euler elaboró la teoría de funciones trascendentales superiores introduciendo la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También encontró una forma de calcular integrales con límites complejos, lo que prefiguró el desarrollo del análisis complejo. Euler inventó el cálculo de variaciones, incluido su resultado más conocido, la ecuación de Euler-Lagrange.

Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Al abrir camino en este nuevo campo, Euler creó la teoría de series hipergeométricas, series q, funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de la serie armónica y utilizó métodos analíticos para comprender mejor la forma en que se distribuyen los números primos. El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos.

El gran interés de Euler por la teoría de números se remonta a la influencia de su amigo de la Academia de San Petersburgo, Christian Goldbach. Gran parte de sus primeros trabajos sobre teoría de números se basaban en las obras de Pierre de Fermat y desarrollaban algunas de las ideas de Fermat.

Uno de los objetivos del trabajo de Euler fue vincular la naturaleza de la distribución de números primos con ideas de análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge. Al hacerlo, descubrió una conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos, conocida como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados e hizo contribuciones distintivas al teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. También inventó la función totiente φ(n) que asigna a un entero positivo n el número de enteros positivos menores que n y coprimos con n. Utilizando propiedades de esta función, pudo generalizar el pequeño teorema de Fermat a lo que se conocería como el teorema de Euler. Además, contribuyó significativamente a la comprensión de los números perfectos, que habían fascinado a los matemáticos desde Euclides. Euler avanzó hacia el teorema de los números primos y conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática. Los dos conceptos se consideran los teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para Carl Friedrich Gauss.

En 1736 Euler resolvió, o más bien demostró que no se podía resolver, un problema conocido como los siete puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, en el Reino de Prusia (hoy Kaliningrado, Rusia), está situada a orillas del río Pregel e incluye dos grandes islas que se conectan entre sí y con el continente mediante siete puentes. La cuestión es si es posible caminar siguiendo una ruta que cruce cada puente exactamente una vez y regresar al punto de partida. La solución de Euler al problema del puente de Königsberg se considera el primer teorema de la teoría de grafos. Además, su reconocimiento de que la información clave era el número de puentes y la lista de sus puntos finales (en lugar de sus posiciones exactas) presagiaba el desarrollo de la topología.

Euler también hizo contribuciones a la comprensión de los grafos planos. Introdujo una fórmula que rige la relación entre el número de aristas, vértices y caras de un poliedro convexo. Dado un poliedro de este tipo, la suma alternada de vértices, aristas y caras es igual a una constante: V − E + F = 2. Esta constante, χ, es la característica de Euler del plano. El estudio y generalización de esta ecuación, especialmente por Cauchy y Lhuillier, está en el origen de la topología. La característica de Euler, que puede generalizarse a cualquier espacio topológico como la suma alternada de los números de Betti, surge naturalmente de la homología. En particular, es igual a 2 − 2g para una superficie orientada cerrada con género g y a 2 − k para una superficie no orientable con k crosscaps. Esta propiedad condujo a la definición de sistemas de rotación en la teoría de grafos topológicos.

La mayoría de los mayores éxitos de Euler se dieron en la aplicación de métodos analíticos a problemas del mundo real, describiendo numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, los números de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a los problemas físicos. En particular, hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de las integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular introduciendo la constante de Euler-Mascheroni:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}+{\frac} {1}{3}+{\frac} {1}{4}+\cdots +{\frac {1} {n}-\ln(n)\right).}$

Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas a la música. En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae, con la esperanza de integrar la teoría musical como parte de las matemáticas. Sin embargo, esta parte de su obra no recibió mucha atención y en algún momento se la describió como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.

Las obras que Euler publicó por separado son:

• Dissertatio physica de sono (Disertación sobre la física del sonido) (Basel, 1727, en quarto)
• Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita (St Petersburg, 1736, en 2 vols. quarto)
• Einleitung in die Arithmetik (St Petersburg, 1738, en 2 vols. octavo), en alemán y ruso
• Tentamen novae theoriae musicaae (St Petersburg, 1739, en quarto)
• Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive proprietate gaudentes (Lausanne, 1744, en quarto)
  • Additamentum II (traducción al inglés)
• Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlín, 1744, en quarto)
• Beantwortung, &c. o Respuestas a Diferentes Preguntas respecto de Cometas (Berlín, 1744, en octavo)
• Neue Grundsatze, &c. o Nuevos Principios de Artillería, traducidos del inglés de Benjamin Robins, con notas e ilustraciones (Berlín, 1745, en octavo)
• Opuscula varii argumenti (Berlín, 1746-1751, en 3 vols. quarto)
• Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (Berlín, 1746, en quarto)
• Tabulae astronomicae solis et lunae (Berlín, en cuarto)
• Gedanken, c. o Pensamientos sobre los Elementos de los Cuerpos (Berlín, en cuarto)
• Rettung der gall-lichen Offenbarung, &c., Defensa de la Revelación Divina contra los Pensadores Libres (Berlín, 1747, en cuarto)
• Introductio in analysin infinitorum (Introducción al análisis de los infinitos)(Lausanne, 1748, en 2 vols. quarto)
• Introducción al Análisis del Infinito, Transl. J. Blanton (Nueva York, 1988-1990 en 2 vols.)
• Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus (San Petersburgo, 1749, en 2 vols. quarto)
• Una teoría completa de la construcción y las propiedades de los buques, con conclusiones prácticas para la gestión de los barcos, hizo fácil a los navegantes. Traducido de Théorie complette de la construction et de la maniobra des vaissaux, del célebre Leonard EulerPor Hen Watson, Esq. Cornihill, 1790)
• Exposé concernant l’examen de la lettre de M. de Leibnitz (1752, its English translation)
• Theoria motus lunae (Berlín, 1753, en quarto)
• Dissertatio de principio mininiae actionis, una cum examine objectionum cl. prof. Koenigii (Berlín, 1753, en octavo)
• Instituciones calculi differentialis, cum ejus usu en analysi Intuitorum ac doctrina serierum (Berlín, 1755, en quarto)
• Constructio lentium objectivarum, &c. (St Petersburg, 1762, en quarto)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Rostock, 1765, en quarto)
• Instituciones, calculi integralis (San Petersburgo, 1768-1770, en 3 vols. quarto)
• Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de physique et de philosophie (San Petersburgo, 1768-1772, en 3 vols. octavo)
• Cartas de Euler a una princesa alemana sobre diferentes temas de la Física y la Filosofía (Londres, 1795, en 2 vols.)
• Álgebra Anleitung zur Elementos de álgebra (San Petersburgo, 1770, en octavo); Dioptrica (San Petersburgo, 1767-1771, en 3 vols. quarto)
• Theoria motuum lunge nova methodo pertr. arctata (St Petersburg, 1772, en quarto)
• Novae tabulae lunares (San Petersburgo, en octavo); La théorie complete de la construction et de la manteuvre des vaisseaux (San Petersburgo, 1773, en octavo).
• Eclaircissements svr etablissements en favor taut des veuves que des marts, sin fecha
• Opuscula analytica (St Petersburg, 1783-1785, en 2 vols. quarto). F. Rudio, Leonhard Euler (Basel, 1884).
• Christian Goldbach, Leonhard Euler und Christian Goldbach, Briefwechsel, 1729-1764. A. P. Juskevic und E. Winter. [Übersetzungen aus dem Russischen und redaktionelle Bearbeitung der Ausgabe: P. Hoffmann] (Berlín: Akademie-Verlag, 1965).

• Lista de cosas llamadas por Leonhard Euler