Contraejemplo

Un contraejemplo es cualquier excepción a una generalización. En lógica, un contraejemplo refuta la generalización, y lo hace rigurosamente en los campos de las matemáticas y la filosofía. Por ejemplo, el hecho de que "el estudiante John Smith no es perezoso" es un contraejemplo de la generalización "los estudiantes son vagos", y tanto un contraejemplo como una refutación de la cuantificación universal "todos los estudiantes son vagos".

En matemáticas, el término "contraejemplo" también se usa (con un ligero abuso) para referirse a ejemplos que ilustran la necesidad de la hipótesis completa de un teorema. Esto se hace con mayor frecuencia considerando un caso en el que una parte de la hipótesis no se cumple y la conclusión del teorema no se cumple.

En matemáticas

En matemáticas, los contraejemplos a menudo se usan para probar los límites de posibles teoremas. Mediante el uso de contraejemplos para mostrar que ciertas conjeturas son falsas, los investigadores matemáticos pueden evitar caer en callejones sin salida y aprender a modificar las conjeturas para producir teoremas demostrables. A veces se dice que el desarrollo matemático consiste principalmente en encontrar (y demostrar) teoremas y contraejemplos.

Ejemplo de rectángulo

Supongamos que una matemática está estudiando geometría y formas, y desea probar ciertos teoremas sobre ellas. Ella conjetura que 'Todos los rectángulos son cuadrados', y está interesada en saber si esta afirmación es verdadera o falsa.

En este caso, puede intentar probar la veracidad de la afirmación mediante un razonamiento deductivo o puede intentar encontrar un contraejemplo de la afirmación si sospecha que es falsa. En este último caso, un contraejemplo sería un rectángulo que no es un cuadrado, como un rectángulo con dos lados de longitud 5 y dos lados de longitud 7. Sin embargo, a pesar de haber encontrado rectángulos que no eran cuadrados, todos los rectángulos que hizo encontrar tenía cuatro lados. Luego hace la nueva conjetura 'Todos los rectángulos tienen cuatro lados'. Esto es lógicamente más débil que su conjetura original, ya que cada cuadrado tiene cuatro lados, pero no todas las formas de cuatro lados son un cuadrado.

El ejemplo anterior explica, de manera simplificada, cómo un matemático podría debilitar su conjetura frente a los contraejemplos, pero los contraejemplos también se pueden usar para demostrar la necesidad de ciertas suposiciones e hipótesis. Por ejemplo, suponga que después de un tiempo, el matemático anterior se decidió por la nueva conjetura 'Todas las formas que son rectángulos y tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados'. Esta conjetura tiene dos partes en la hipótesis: la forma debe ser 'un rectángulo' y debe tener 'cuatro lados de igual longitud'. A la matemática le gustaría saber si puede eliminar cualquiera de las suposiciones y aún así mantener la verdad de su conjetura. Esto significa que necesita verificar la verdad de las siguientes dos afirmaciones:

1. "Todas las formas que son rectángulos son cuadrados."
2. "Todas las formas que tienen cuatro lados de igual longitud son cuadrados".

Ya se dio un contraejemplo de (1) y un contraejemplo de (2) es un rombo no cuadrado. Por lo tanto, el matemático ahora sabe que ambas suposiciones eran realmente necesarias.

Otros ejemplos matemáticos

Un contraejemplo de la afirmación "todos los números primos son números impares" es el número 2, ya que es un número primo pero no es un número impar. Ninguno de los números 7 o 10 es un contraejemplo, ya que ninguno de ellos es suficiente para contradecir el enunciado. En este ejemplo, 2 es de hecho el único contraejemplo posible del enunciado, aunque eso por sí solo es suficiente para contradecir el enunciado. De manera similar, la afirmación "Todos los números naturales son primos o compuestos" tiene el número 1 como contraejemplo, ya que 1 no es ni primo ni compuesto.

La conjetura de la suma de potencias de Euler fue refutada por un contraejemplo. Afirmó que al menos n n^th poderes eran necesarios para sumar a otro n^th poder. Esta conjetura fue refutada en 1966, con un contraejemplo que implicaba n = 5; ahora se conocen otros n = 5 contraejemplos, así como algunos n = 4 contraejemplos.

El contraejemplo de Witsenhausen muestra que no siempre es cierto (para problemas de control) que una función de pérdida cuadrática y una ecuación lineal de evolución de la variable de estado implican leyes de control óptimas que son lineales.

Otros ejemplos incluyen las refutaciones de la conjetura de Seifert, la conjetura de Pólya, la conjetura del decimocuarto problema de Hilbert, la conjetura de Tait y la conjetura de Ganea.

En filosofía

En filosofía, los contraejemplos generalmente se usan para argumentar que cierta posición filosófica es incorrecta al mostrar que no se aplica en ciertos casos. Alternativamente, el primer filósofo puede modificar su afirmación para que el contraejemplo ya no se aplique; esto es análogo a cuando un matemático modifica una conjetura debido a un contraejemplo.

Por ejemplo, en el Gorgias de Platón, Calicles, tratando de definir qué significa decir que algunas personas son "mejores" que otros, afirma que los que son más fuertes son mejores.

Pero Sócrates responde que, debido a la fuerza de sus números, la clase de la chusma común es más fuerte que la clase acaudalada de los nobles, aunque las masas son prima facie de peor carácter. Así Sócrates ha propuesto un contraejemplo para Calicles' afirman, al mirar en un área que Calicles quizás no esperaba: grupos de personas en lugar de personas individuales.

Calicles podría desafiar a Sócrates' contraejemplo, argumentando tal vez que la chusma común es realmente mejor que los nobles, o que incluso en su gran número, todavía no son más fuertes. Pero si Calicles acepta el contraejemplo, entonces debe retirar su afirmación o modificarla para que el contraejemplo ya no se aplique. Por ejemplo, podría modificar su afirmación para referirse solo a personas individuales, requiriendo que piense en la gente común como una colección de individuos en lugar de una multitud.

Da la casualidad de que modifica su afirmación para decir "más sabio" en lugar de "más fuerte", argumentando que ninguna cantidad de superioridad numérica puede hacer que las personas sean más sabias.