Contracción del tensor

En álgebra multilineal, una contracción tensorial es una operación sobre un tensor que surge del emparejamiento natural de un espacio vectorial de dimensión finita y su dual. En componentes, se expresa como una suma de productos de componentes escalares de los tensores causados al aplicar la convención de suma a un par de índices ficticios que están vinculados entre sí en una expresión. La contracción de un solo tensor mixto ocurre cuando un par de índices literales (uno un subíndice, el otro un superíndice) del tensor se igualan entre sí y se suman. En la notación de Einstein, esta suma está integrada en la notación. El resultado es otro tensor con orden reducido en 2.

La contracción del tensor puede verse como una generalización de la traza.

Formulación abstracta

Sea V un espacio vectorial sobre un campo k. El núcleo de la operación de contracción, y el caso más simple, es el emparejamiento natural de V con su espacio vectorial dual V^∗. El emparejamiento es la transformación lineal del producto tensorial de estos dos espacios al campo k:

C:V⊗ ⊗ VAlternativa Alternativa → → k{displaystyle C:Votimes V^{*}rightarrow k}

correspondiente a la forma bilineal

.. f,v.. =f()v){displaystyle langle f,vrangle =f(v)}

Donde f está dentro V^Alternativa y v está dentro V. El mapa C define la operación de contracción en un tensor de tipo (1, 1), que es un elemento de V⊗ ⊗ VAlternativa Alternativa {displaystyle Votimes V^{*}. Tenga en cuenta que el resultado es un escalar (un elemento de k). Usando el isomorfismo natural entre V⊗ ⊗ VAlternativa Alternativa {displaystyle Votimes V^{*} y el espacio de transformaciones lineales de V a V, se obtiene una definición sin base del rastro.

En general, un tensor de tipo (m, n) (con <span class="nowrap" m ≥ 1 y n ≥ 1) es un elemento del espacio vectorial

V⊗ ⊗ ⋯ ⋯ ⊗ ⊗ V⊗ ⊗ VAlternativa Alternativa ⊗ ⊗ ⋯ ⋯ ⊗ ⊗ VAlternativa Alternativa {displaystyle Votimes cdots otimes Votimes V^{*}otimes cdots otimes V^{*}

(donde hay m factores V y n factores V^∗). Aplicando el emparejamiento natural al factor késimo V y al factor lésimo V^∗ factor, y utilizando la identidad de todos los demás factores, define la operación de contracción (k, l), que es un mapa lineal que produce un tensor de tipo (m − 1, n − 1). Por analogía con el caso (1, 1), la operación de contracción general a veces se denomina traza.

Contracción en notación de índice

En notación de índice tensorial, la contracción básica de un vector y un vector dual se denota por

f~ ~ ()v→ → )=fγ γ vγ γ {displaystyle {tilde {f}({vec})=f_{gamma }v^{gamma} }

que es la abreviatura de la suma de coordenadas explícita

fγ γ vγ γ =f1v1+f2v2+⋯ ⋯ +fnvn{displaystyle f_{gamma. }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+cdots +f_{n}v^{n}

(donde vⁱ son los componentes de v en una base particular y f_i son los componentes de f en la base dual correspondiente).

Dado que un tensor dyadic mixto general es una combinación lineal de tensores descompuestos de la forma f⊗ ⊗ v{displaystyle fotimes v}, la fórmula explícita para el caso dyadic sigue:

T=Tjiei⊗ ⊗ ej{displaystyle mathbf {T} =T_{j} {i}mathbf {e}otimes mathbf {e} ^{j}

sea un tensor diádico mixto. Entonces su contracción es

Tjiei⋅ ⋅ ej=Tjiδ δ ij=Tjj=T11+⋯ ⋯ +Tnn{displaystyle ¿Qué? ^{j}=T_{j} {i}delta ¿Por qué? ¿Qué?.

Una contracción general se denota al etiquetar un índice covariante y un índice contravariante con la misma letra, la suma sobre ese índice está implícita en la convención de suma. El tensor contraído resultante hereda los índices restantes del tensor original. Por ejemplo, contraer un tensor T de tipo (2,2) en el segundo y tercer índice para crear un nuevo tensor U de tipo (1,1) se escribe como

Tabbc=.. bTabbc=Ta11c+Ta22c+⋯ ⋯ +Tannc=Uac.{displaystyle T^{ab}{bc}=sum ¿Qué? - Sí.

Por el contrario, dejemos

T=ei⊗ ⊗ ej{displaystyle mathbf {T} =mathbf {e}otimes mathbf {e}

sea un tensor diádico no mixto. Este tensor no se contrae; si sus vectores base están punteados, el resultado es el tensor métrico contravariante,

gij=ei⋅ ⋅ ej{displaystyle g^{ij}=mathbf {e}cdot mathbf {e},

cuyo rango es 2.

Contracción métrica

Como en el ejemplo anterior, la contracción en un par de índices que son ambos contravariantes o ambos covariantes no es posible en general. Sin embargo, en presencia de un producto interno (también conocido como métrica) g, tales contracciones son posibles. Uno usa la métrica para subir o bajar uno de los índices, según sea necesario, y luego usa la operación habitual de contracción. La operación combinada se conoce como contracción métrica.

Aplicación a campos tensoriales

La contracción a menudo se aplica a campos tensoriales sobre espacios (por ejemplo, espacio euclidiano, variedades o esquemas). Dado que la contracción es una operación puramente algebraica, se puede aplicar puntualmente a un campo tensorial, p. si T es un campo tensorial (1,1) en el espacio euclidiano, entonces en cualquier coordenada, su contracción (un campo escalar) U en un punto x está dada por

U()x)=.. iTii()x){displaystyle U(x)=sum _{i}T_{i}(x)}

Dado que el papel de x no es complicado aquí, a menudo se suprime y la notación de los campos tensoriales se vuelve idéntica a la de los tensores puramente algebraicos.

Sobre una variedad de Riemann, está disponible una métrica (campo de productos internos), y tanto las contracciones métricas como las no métricas son cruciales para la teoría. Por ejemplo, el tensor de Ricci es una contracción no métrica del tensor de curvatura de Riemann, y la curvatura escalar es la contracción métrica única del tensor de Ricci.

También se puede ver la contracción de un campo tensorial en el contexto de módulos sobre un anillo apropiado de funciones en la variedad o el contexto de haces de módulos sobre el haz de estructura; ver la discusión al final de este artículo.

Divergencia del tensor

Como aplicación de la contracción de un campo de tensor, deja V ser un campo vectorial en un manifold Riemanniano (por ejemplo, espacio Euclideano). Vamos Vα α β β {displaystyle V^{alpha } {beta } ser el derivado covariante de V (en alguna elección de coordenadas). En el caso de coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano, se puede escribir

Vα α β β =∂ ∂ Vα α ∂ ∂ xβ β .{displaystyle V^{alpha } {beta }={partial V^{alpha } over partial x^{beta }}

Entonces, cambiar el índice β a α hace que el par de índices se unan entre sí, de modo que la derivada se contrae consigo misma para obtener la siguiente suma:

Vα α α α =V00+⋯ ⋯ +Vnn{displaystyle V^{alpha {fnMicrosoft Sans Serif} }=V^{0}{0}+cdots ¿Qué?

que es la divergencia div V. Entonces

div⁡ ⁡ V=Vα α α α =0{displaystyle operatorname {div} V=V^{alpha {fnMicrosoft Sans Serif} }=0}

es una ecuación de continuidad para V.

En general, se pueden definir varias operaciones de divergencia en campos tensoriales de rango superior, de la siguiente manera. Si T es un campo tensorial con al menos un índice contravariante, tomar el diferencial covariante y contraer el índice contravariante elegido con el nuevo índice covariante correspondiente al diferencial da como resultado un nuevo tensor de rango uno más bajo que ese de T.

Contracción de un par de tensores

Uno puede generalizar la operación de contracción del núcleo (vector con doble vector) de una manera ligeramente diferente, considerando un par de tensores T y U. El producto tensor T⊗ ⊗ U{displaystyle Totimes U} es un nuevo tensor, que, si tiene al menos un covariante y un índice contravariante, puede ser contratado. El caso donde T es un vector y U es un vector dual es exactamente la operación central introducida primero en este artículo.

En la notación de índice tensorial, para contraer dos tensores entre sí, uno los coloca uno al lado del otro (yuxtapuestos) como factores del mismo término. Esto implementa el producto tensorial, produciendo un tensor compuesto. Contraer dos índices en este tensor compuesto implementa la contracción deseada de los dos tensores.

Por ejemplo, las matrices pueden ser representadas como tensores de tipo (1,1), siendo el primer índice contravariante y el segundo índice covariante. Vamos ▪ ▪ α α β β {displaystyle Lambda ^{alpha } {beta } ser los componentes de una matriz y dejar Mβ β γ γ {displaystyle mathrm {} {beta} } {} {gamma } ser los componentes de una segunda matriz. Entonces su multiplicación es dada por la siguiente contracción, un ejemplo de la contracción de un par de tensores:

▪ ▪ α α β β Mβ β γ γ =Nα α γ γ {displaystyle Lambda ^{alpha } {beta }mathrm {M} {beta }{} {gamma }=mathrm {N} } {} {gamma }.

Además, el producto interior de un vector con forma diferencial es un caso especial de la contracción de dos tensores entre sí.

Contextos algebraicos más generales

Sea R un anillo conmutativo y sea M un módulo libre finito sobre R. Entonces la contracción opera en el álgebra tensorial completa (mixta) de M exactamente de la misma manera que lo hace en el caso de espacios vectoriales sobre un campo. (El hecho clave es que la combinación natural sigue siendo perfecta en este caso).

Más generalmente, sea O_X un haz de anillos conmutativos sobre un espacio topológico X, p. O_X podría ser el haz de estructura de una variedad compleja, espacio analítico o esquema. Sea M un haz localmente libre de módulos sobre O_X de rango finito. Entonces el dual de M todavía se comporta bien y las operaciones de contracción tienen sentido en este contexto.