Contracción de longitud

Contracción de longitud es el fenómeno por el cual la longitud de un objeto en movimiento se mide para ser más corta que su propia longitud, que es la longitud medida en el marco de reposo del propio objeto.. También se conoce como contracción de Lorentz o contracción de Lorentz-FitzGerald (en honor a Hendrik Lorentz y George Francis FitzGerald) y, por lo general, solo se nota a una fracción sustancial de la velocidad de la luz. La contracción de la longitud es solo en la dirección en la que se desplaza el cuerpo. Para objetos estándar, este efecto es insignificante a velocidades cotidianas y puede ignorarse para todos los propósitos regulares, y solo se vuelve significativo a medida que el objeto se acerca a la velocidad de la luz en relación con el observador.

Historia

La contracción de la longitud fue postulada por George FitzGerald (1889) y Hendrik Antoon Lorentz (1892) para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley y rescatar la hipótesis del éter estacionario (hipótesis de la contracción de Lorentz-FitzGerald). Aunque tanto FitzGerald como Lorentz aludieron al hecho de que los campos electrostáticos en movimiento estaban deformados ('Heaviside-Elipsoid' por Oliver Heaviside, quien derivó esta deformación de la teoría electromagnética en 1888), se consideró una hipótesis ad hoc, porque en ese momento no había razón suficiente para suponer que las fuerzas intermoleculares se comportan de la misma manera que las electromagnéticas. En 1897, Joseph Larmor desarrolló un modelo en el que todas las fuerzas se consideran de origen electromagnético y la contracción de la longitud parece ser una consecuencia directa de este modelo. Sin embargo, Henri Poincaré (1905) demostró que las fuerzas electromagnéticas por sí solas no pueden explicar la estabilidad del electrón. Así que tuvo que introducir otra hipótesis ad hoc: fuerzas de enlace no eléctricas (tensiones de Poincaré) que aseguran la estabilidad del electrón, dan una explicación dinámica para la contracción de la longitud y, por lo tanto, ocultan el movimiento del éter estacionario.

A Albert Einstein (1905) se le atribuye la eliminación del carácter ad hoc de la hipótesis de la contracción, al derivar esta contracción de sus postulados en lugar de datos experimentales. Hermann Minkowski dio la interpretación geométrica de todos los efectos relativistas al introducir su concepto de espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Base en relatividad

Primero es necesario considerar cuidadosamente los métodos para medir las longitudes de los objetos de reposo y movimiento. Aquí, "objeto" simplemente significa una distancia con puntos finales que siempre están mutuamente en reposo, i.e., que están en reposo en el mismo marco inercial de referencia. Si la velocidad relativa entre un observador (o sus instrumentos de medición) y el objeto observado es cero, entonces la longitud adecuada L0{displaystyle L_{0} del objeto se puede determinar simplemente superponiendo directamente una varilla de medición. Sin embargo, si la velocidad relativa es mayor que cero, se puede proceder de la siguiente manera:

El observador instala una fila de relojes sincronizados a) intercambiando señales de luz de acuerdo con la sincronización Poincaré-Einstein, o b) por "transporte de reloj bajo", es decir, un reloj se transporta a lo largo de la fila de relojes en el límite de velocidad de transporte que desaparece. Ahora, cuando se termina el proceso de sincronización, el objeto se mueve a lo largo de la fila del reloj y cada reloj almacena la hora exacta cuando pasa la izquierda o el extremo derecho del objeto. Después de eso, el observador sólo tiene que mirar la posición de un reloj A que almacenaba el tiempo cuando pasaba el extremo izquierdo del objeto, y un reloj B en el que el extremo derecho del objeto pasaba por al mismo tiempo. Está claro que la distancia AB es igual a la longitud L{displaystyle L. del objeto en movimiento. Utilizando este método, la definición de simultaneidad es crucial para medir la longitud de los objetos móviles.

Otro método es utilizar un reloj indicando su tiempo adecuado T0{displaystyle T_{0}, que está viajando desde un punto final de la varilla al otro en el tiempo T{displaystyle T} medida por relojes en el marco de descanso de la varilla. La longitud de la varilla se puede calcular multiplicando su tiempo de viaje por su velocidad, por lo tanto L0=T⋅ ⋅ v{displaystyle L_{0}=Tcdot v} en el marco de reposo de la barra o L=T0⋅ ⋅ v{displaystyle L=T_{0}cdot v} en el marco de descanso del reloj.

En la mecánica newtoniana, la simultaneidad y la duración del tiempo son absolutas y por lo tanto ambos métodos conducen a la igualdad de L{displaystyle L. y L0{displaystyle L_{0}. Sin embargo, en la teoría de la relatividad la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos inerciales en relación con la relatividad de la simultaneidad y la dilatación del tiempo destruye esta igualdad. En el primer método un observador en un marco afirma haber medido simultáneamente los puntos finales del objeto, pero los observadores en todos los otros marcos inerciales argumentarán que los puntos finales del objeto fueron no medido simultáneamente. En el segundo método, tiempos T{displaystyle T} y T0{displaystyle T_{0} no son iguales debido a la dilatación del tiempo, resultando en diferentes longitudes también.

La desviación entre las medidas en todos los marcos inerciales viene dada por las fórmulas para la transformación de Lorentz y la dilatación del tiempo (ver Derivación). Resulta que la longitud propia no cambia y siempre denota la mayor longitud de un objeto, y la longitud del mismo objeto medida en otro marco de referencia inercial es más corta que la longitud propia. Esta contracción solo ocurre a lo largo de la línea de movimiento y puede representarse mediante la relación

L=1γ γ ()v)L0{displaystyle L={frac}{gamma (v)}L_{0}

dónde

• L{displaystyle L. es la longitud observada por un observador en movimiento en relación con el objeto
• L0{displaystyle L_{0} es la longitud adecuada (la longitud del objeto en su marco de reposo)
• γ γ ()v){displaystyle gamma (v)} es Factor de Lorentz, definido como
  γ γ ()v)↑ ↑ 11− − v2/c2{displaystyle gamma (v)equiv {frac {1}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

  
  Donde
  • v{displaystyle v} es la velocidad relativa entre el observador y el objeto en movimiento
  • c{displaystyle c} es la velocidad de la luz

Reemplazar el factor de Lorentz en la fórmula original conduce a la relación

L=L01− − v2/c2{displaystyle L=L_{0}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

En esta ecuación ambos L{displaystyle L. y L0{displaystyle L_{0} se miden paralelamente a la línea de movimiento del objeto. Para el observador en movimiento relativo, la longitud del objeto se mide restando las distancias medidos simultáneamente de ambos extremos del objeto. Para conversiones más generales, vea las transformaciones de Lorentz. Un observador en reposo observando un objeto que viaja muy cerca de la velocidad de la luz observaría la longitud del objeto en la dirección del movimiento como muy cerca de cero.

Entonces, a una velocidad de 13 400 000 m/s (30 millones de mph, 0.0447 c ) La longitud contratada es el 99.9% de la longitud en reposo; a una velocidad de 42 300 000 m/s (95 millones de mph, 0.141 c ), la longitud sigue siendo del 99%. A medida que la magnitud de la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, el efecto se vuelve prominente.

simetría

El principio de relatividad (según el cual las leyes de la naturaleza son invariantes a través de marcos de referencia inerciales) requiere que la contracción de longitud es simétrica: Si una varilla está en reposo en un marco inercial S{displaystyle S., tiene su longitud adecuada S{displaystyle S. y su longitud se contrae S.{displaystyle S'. Sin embargo, si una varilla descansa en S.{displaystyle S', tiene su longitud adecuada S.{displaystyle S' y su longitud se contrae S{displaystyle S.. Esto puede ser ilustrado vívidamente usando diagramas de Minkowski simétricos, porque la transformación de Lorentz geométricamente corresponde a una rotación en tiempo espacial cuadrienal.

Fuerzas magnéticas

Las fuerzas magnéticas son causadas por una contracción relativista cuando los electrones se mueven en relación con los núcleos atómicos. La fuerza magnética sobre una carga en movimiento junto a un cable de transporte de corriente es el resultado del movimiento relativista entre electrones y protones.

En 1820, André-Marie Ampère mostró que los cables paralelos que tenían corrientes en la misma dirección se atraen entre sí. En los electrones ' Marco de referencia, el cable en movimiento se contrae ligeramente, lo que hace que los protones del cable opuesto sean localmente denser . A medida que los electrones en el cable opuesto también se mueven, no se contraen (tanto). Esto da como resultado un aparente desequilibrio local entre electrones y protones; Los electrones en movimiento en un cable se sienten atraídos por los protones adicionales en el otro. El reverso también se puede considerar. Para el marco de referencia del protón estático, los electrones se mueven y se contraen, lo que resulta en el mismo desequilibrio. La velocidad de deriva de electrones es relativamente muy lenta, en el orden de un metro por hora, pero la fuerza entre un electrón y protón es tan enorme que incluso a esta velocidad tan lenta, la contracción relativista causa efectos significativos.

Este efecto también se aplica a las partículas magnéticas sin corriente, y la corriente se reemplaza con giro de electrones.

verificaciones experimentales

Cualquier observador que se convierta en el movimiento con el objeto observado no puede medir la contracción del objeto, porque puede juzgarse a sí mismo y al objeto como en reposo en el mismo marco inercial de acuerdo con el principio de relatividad (como se demostró que se demostró por el experimento Trouton -Rankine). Por lo tanto, la contracción de longitud no se puede medir en el marco de descanso del objeto, sino solo en un marco en el que el objeto observado está en movimiento. Además, incluso en un marco tan no movimiento, Direct Las confirmaciones experimentales de la contracción de longitud son difíciles de lograr, porque en el estado actual de la tecnología, los objetos de extensión considerable no pueden acelerarse a las velocidades relativistas. Y los únicos objetos que viajan con la velocidad requerida son las partículas atómicas, pero cuyas extensiones espaciales son demasiado pequeñas para permitir una medición directa de la contracción.

However, there are indirect conformations of this effect in a non-co-moving frame:

• Fue el resultado negativo de un famoso experimento, que requirió la introducción de la contracción de longitud: el experimento Michelson-Morley (y más tarde también el experimento Kennedy-Thorndike). En la relatividad especial su explicación es la siguiente: En su marco de reposo el interferómetro se puede considerar como reposo de acuerdo con el principio de relatividad, por lo que el tiempo de propagación de la luz es el mismo en todas las direcciones. Aunque en un marco en el que el interferómetro está en movimiento, el haz transversal debe atravesar un camino más largo y diagonal con respecto al marco no movimiento, haciendo así su tiempo de viaje más largo, el factor por el cual el haz longitudinal se retrasaría tomando tiempos L/(c−v) y L/(c+v) para los viajes hacia adelante y hacia atrás respectivamente es aún más largo. Por lo tanto, en la dirección longitudinal se supone que el interferómetro se contrate, para restaurar la igualdad de ambos tiempos de viaje de acuerdo con el resultado(s) experimental negativo. Así, la velocidad de dos vías de luz sigue siendo constante y el tiempo de propagación del viaje redondo a lo largo de los brazos perpendiculares del interferómetro es independiente de su orientación movimiento.
• Dado el espesor de la atmósfera medido en el marco de referencia de la Tierra, la vida extremadamente corta de los muones no debería permitirles hacer el viaje a la superficie, incluso a la velocidad de la luz, pero lo hacen sin embargo. Desde el marco de referencia de la Tierra, sin embargo, esto es posible sólo por el tiempo del muón que se ralentiza por la dilatación del tiempo. Sin embargo, en el marco del muón, el efecto se explica por la atmósfera que se contrae, acortando el viaje.
• Los iones pesados que son esféricos cuando descansan deben asumir la forma de "pancakes" o discos planos cuando viajan casi a la velocidad de la luz. Y de hecho, los resultados obtenidos de las colisiones de partículas sólo se pueden explicar cuando se considera la densidad de nucleón incrementada debido a la contracción de longitud.
• La capacidad de ionización de partículas cargadas eléctricamente con grandes velocidades relativas es mayor de lo esperado. En la física pre-relativista la capacidad debe disminuir a altas velocidades, porque el tiempo en que las partículas ionizantes en movimiento pueden interactuar con los electrones de otros átomos o moléculas se disminuye. Aunque en la relatividad, la capacidad de ionización más alta de lo esperado puede explicarse por la contracción longitudinal del campo de Coulomb en marcos en los que se mueven las partículas ionizantes, lo que aumenta su fuerza de campo eléctrico normal a la línea de movimiento.
• En sincrotrones y láseres de libre electrón, se inyectaron electrones relativistas en un undulador, por lo que se genera radiación sincrotrón. En el marco adecuado de los electrones, se contrae el undulador que conduce a una mayor frecuencia de radiación. Además, para averiguar la frecuencia medida en el marco de laboratorio, hay que aplicar el efecto Doppler relativista. Así, sólo con la ayuda de la contracción de longitud y el efecto relativista Doppler, se puede explicar la longitud de onda extremadamente pequeña de la radiación undulador.

Realidad de la contracción de longitud

En 1911, Vladimir Varićak afirmó que uno ve la longitud de la contracción de una manera objetiva, según Lorentz, mientras que es " solo un fenómeno aparente y subjetivo, causado por la forma de nuestra regulación del reloj y la medición de longitud y la longitud y #34;, según Einstein. Einstein publicó una refutación:

El autor declaró injustificadamente una diferencia de opinión de Lorentz y de la mía sobre los hechos físicos. La cuestión de si la contracción de longitud Realmente existe o no es engañoso. No existe "realmente", en la medida en que no existe para un observador que se asemeja; aunque "realmente" existe, i.e. de tal manera que pueda ser demostrado en principio por medios físicos por un observador no residente.

—Albert Einstein, 1911

Einstein también argumentó en ese documento que la contracción de la longitud no es simplemente el producto de definiciones arbitrarias relacionadas con la forma en que se realizan las regulaciones del reloj y las mediciones de longitud. Presentó el siguiente experimento mental: Sea A'B' y A"B" sean los extremos de dos varillas de la misma longitud propia L₀, medidas en x' y x" respectivamente. Que se muevan en direcciones opuestas a lo largo del eje x*, considerado en reposo, a la misma velocidad con respecto a él. Puntos finales A'A" luego reunirse en el punto A*, y B'B" se encuentran en el punto B*. Einstein señaló que la longitud A*B* es más corta que A'B' o A"B", lo que también se puede demostrar llevando una de las varillas al reposo con respecto a ese eje.

Paradojas

Debido a la aplicación superficial de la fórmula de contracción pueden ocurrir algunas paradojas. Algunos ejemplos son la paradoja de la escalera y la paradoja de la nave espacial de Bell. Sin embargo, esas paradojas pueden resolverse mediante una correcta aplicación de la relatividad de la simultaneidad. Otra paradoja famosa es la paradoja de Ehrenfest, que prueba que el concepto de cuerpos rígidos no es compatible con la relatividad, reduciendo la aplicabilidad de la rigidez de Born y mostrando que para un observador corrotante la geometría es, de hecho, no euclidiana.

Efectos visuales

La contracción de longitud se refiere a las mediciones de posición realizadas en tiempos simultáneos según un sistema de coordenadas. Esto podría sugerir que si uno pudiera tomar una fotografía de un objeto que se mueve rápidamente, la imagen mostraría el objeto contraído en la dirección del movimiento. Sin embargo, tales efectos visuales son medidas completamente diferentes, ya que dicha fotografía se toma desde la distancia, mientras que la contracción de la longitud solo se puede medir directamente en la ubicación exacta de los puntos finales del objeto. Varios autores, como Roger Penrose y James Terrell, demostraron que los objetos en movimiento generalmente no aparecen contraídos en una fotografía. Este resultado fue popularizado por Victor Weisskopf en un artículo de Physics Today. Por ejemplo, para un diámetro angular pequeño, una esfera en movimiento sigue siendo circular y gira. Este tipo de efecto de rotación visual se llama rotación de Penrose-Terrell.

Derivación

La contracción de longitud se puede derivar de varias maneras:

Longitud de movimiento conocida

En un marco de referencia inercial S, dejar x1{displaystyle x_{1}} y x2{displaystyle x_{2} denota los puntos finales de un objeto en movimiento. En este marco la longitud del objeto L{displaystyle L. se mide, según las convenciones anteriores, determinando las posiciones simultáneas de sus puntos finales en t1=t2{displaystyle T_{1}=t_{2}. Mientras tanto, la longitud adecuada de este objeto, medida en su marco de reposo S', se puede calcular utilizando la transformación de Lorentz. Transformar las coordenadas de tiempo de S en S' resulta en diferentes tiempos, pero esto no es problemático, ya que el objeto está en reposo en S' donde no importa cuando se miden los puntos finales. Por lo tanto, la transformación de las coordenadas espaciales basta, lo que da:

x1.=γ γ ()x1− − vt1)yx2.=γ γ ()x2− − vt2).{displaystyle x'_{1}=gammaleft(x_{1}-vt_{1}right)quad {text{and}quad x'_{2}=gamma left(x_{2}-vt_{2}right) .}

Desde t1=t2{displaystyle T_{1}=t_{2}, y por configuración L=x2− − x1{displaystyle L=x_{2}-x_{1} y L0.=x2.− − x1.{displaystyle ¿Qué?, la longitud adecuada en S' es dada por

L0.=L⋅ ⋅ γ γ .{displaystyle L_{0}=Lcdot gamma .}

()1)

Por lo tanto la longitud del objeto, medida en el marco S, se contrae por un factor γ γ {displaystyle gamma }:

L=L0./γ γ .{displaystyle L=L_{0} {'}/gamma \}

()2)

Así mismo, según el principio de relatividad, un objeto que está en reposo en S también estará contraído en S'. Al intercambiar los signos y números primos anteriores simétricamente, se sigue que

L0=L.⋅ ⋅ γ γ .{displaystyle L_{0}=L'cdot gamma \}

()3)

Thus an object at rest in S, when measured in S ', will have the contracted length

L.=L0/γ γ .{displaystyle L'=L_{0}/gamma .}

()4)

Longitud adecuada conocida

Por el contrario, si el objeto descansa en S y se conoce su longitud adecuada, la simultaneidad de las mediciones en los puntos finales del objeto debe considerarse en otro marco S ', ya que el objeto cambia constantemente su posición allá. Por lo tanto, las coordenadas espaciales y temporales deben transformarse:

x1.=γ γ ()x1− − vt1)andx2.=γ γ ()x2− − vt2)t1.=γ γ ()t1− − vx1/c2)andt2.=γ γ ()t2− − vx2/c2){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c} {cH0} {ccH0} {cH0} {cH0} {c} {ccH0} {ccH00}cH0}} {ccccH0}cH0}cH0}cc}cH0}ccccH0}ccH0}cccH00}cccH00}cH00}cH00}cccccH00}ccH00}cH0}ccH00}cH00cH00}cH00}cH00}}}cH00}ccH00}ccH00}ccH00}}ccc

Intervalo de longitud de computación Δ Δ x.=x2.. − − x1.. {displaystyle Delta x'=x_{2}{prime }-x_{1} así como suponiendo la medición simultánea del tiempo Δ Δ t.=t2.. − − t1.. =0{displaystyle Delta t'=t_{2}{prime }-t_{1} {prime }=0}, y enchufar la longitud adecuada L0=x2− − x1{displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}, sigue:

Δ Δ x.=γ γ ()L0− − vΔ Δ t)()1)Δ Δ t.=γ γ ()Δ Δ t− − vL0c2)=0()2){displaystyle {begin{aligned}Delta x'iéndose=gammaleft(L_{0}-vDelta tright) implica(1)\Delta t' limit=gammaleft(Delta t-{frac) {vL_{0} {c^{2}}right)=0 golpe(2)end{aligned}}

La ecuación (2) da

Δ Δ t=vL0c2{displaystyle Delta t={frac {fnK}} {c}}} {c}}} {c}}} {c}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}} {c}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c} {c}}}}}} {c}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}} {c}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

que, cuando se conecta a (1), demuestra que Δ Δ x.{displaystyle Delta x'} se convierte en la longitud contractual L.{displaystyle Yo...:

L.=L0/γ γ {displaystyle L'=L_{0}/gamma }.

Del mismo modo, el mismo método proporciona un resultado simétrico para un objeto en reposo en S ':

L=L0./γ γ {displaystyle L=L_{0} {}/gamma}.

Uso de la dilatación del tiempo

La contracción de la longitud también puede derivarse de la dilatación del tiempo, según la cual la tasa de un reloj "movido" único (indicando su tiempo adecuado T0{displaystyle T_{0}) es menor con respecto a dos relojes sincronizados "resting" (indicando T{displaystyle T}). La dilatación temporal fue confirmada experimentalmente varias veces, y está representada por la relación:

T=T0⋅ ⋅ γ γ {displaystyle T=T_{0}cdot gamma }

Suponga una barra de la longitud adecuada L0{displaystyle L_{0} descansa en S{displaystyle S. y un reloj en reposo S.{displaystyle S' se mueven unos a otros con velocidad v{displaystyle v}. Puesto que, según el principio de relatividad, la magnitud de la velocidad relativa es la misma en el marco de referencia, los respectivos tiempos de viaje del reloj entre los puntos finales de la varilla son dados por T=L0/v{displaystyle T=L_{0}/v} dentro S{displaystyle S. y T0.=L./v{displaystyle T'_{0}=L'/v} dentro S.{displaystyle S', por lo tanto L0=Tv{displaystyle L_{0}=Tv} y L.=T0.v{displaystyle L'=T'_{0}v}. Al insertar la fórmula de dilatación del tiempo, la relación entre esas longitudes es:

L.L0=T0.vTv=1/γ γ {displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}}} {fnMicroc}}}}} {fnMicroc}} {T_{0} {Tv}=1/gamma }.

Por lo tanto, la longitud medida en S.{displaystyle S' es dado por

L.=L0/γ γ {displaystyle L'=L_{0}/gamma }

Así que ya que el tiempo de viaje del reloj a través de la varilla es más largo S{displaystyle S. que en S.{displaystyle S' (dilatación en el tiempo S{displaystyle S.), la longitud de la barra es también más larga en S{displaystyle S. que en S.{displaystyle S' (Contracción de longitud en S.{displaystyle S'). Del mismo modo, si el reloj estaba en reposo S{displaystyle S. y la vara en S.{displaystyle S', el procedimiento anterior daría

L=L0./γ γ {displaystyle L=L'_{0}/gamma }

Consideraciones geométricas

Consideraciones geométricas adicionales muestran que la contracción de la longitud se puede considerar como un fenómeno trigonométrico, con analogía con los cortes paralelos a través de un paralelepípedo antes y después de una rotación en E ³ (ver la mitad de la figura izquierda a la derecha). Este es el análogo euclidiano de impulsar un cuboide en E^1,2. En el último caso, sin embargo, podemos interpretar el paralelepípedo reforzado como la losa mundial de una placa en movimiento.

Imagen: Izquierda: un cuboide rotado en el espacio euclidiano tridimensional E³. La sección transversal es más larga en la dirección de la rotación de lo que era antes de la rotación. Derecha: la losa mundial de una placa delgada en movimiento en el espacio-tiempo de Minkowski (con una dimensión espacial suprimida) E^1,2, que es un cuboide reforzado. La sección transversal es más delgada en la dirección del impulso de lo que era antes del impulso. En ambos casos, las direcciones transversales no se ven afectadas y los tres planos que se encuentran en cada esquina de los paralelepípedos son mutuamente ortogonales (en el sentido de E^1,2 a la derecha, y en el sentido de E³ a la izquierda).

En relatividad especial, las transformaciones de Poincaré son una clase de transformaciones afines que se pueden caracterizar como transformaciones entre gráficos de coordenadas cartesianas alternativas en el espacio-tiempo de Minkowski correspondientes a estados alternativos de movimiento inercial (y diferentes elecciones de un origen). Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de Poincaré que son transformaciones lineales (preservan el origen). Las transformaciones de Lorentz juegan el mismo papel en la geometría de Minkowski (el grupo de Lorentz forma el grupo de isotropía de las auto-isometrías del espacio-tiempo) que juegan las rotaciones en la geometría euclidiana. De hecho, la relatividad especial se reduce en gran medida al estudio de una especie de trigonometría no euclidiana en el espacio-tiempo de Minkowski, como sugiere la siguiente tabla: