Continuidad de Lipschitz

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Para una función continua de Lipschitz, existe un cono doble (blanco) cuyo origen se puede mover a lo largo del gráfico para que todo el gráfico permanezca siempre fuera del cono doble

En análisis matemático, la continuidad de Lipschitz, llamada así por el matemático alemán Rudolf Lipschitz, es una forma fuerte de continuidad uniforme para funciones. Intuitivamente, una función continua de Lipschitz está limitada en la rapidez con la que puede cambiar: existe un número real tal que, para cada par de puntos en el gráfico de esta función, el valor absoluto de la pendiente de la línea que los conecta no es mayor que este número real; el límite más pequeño se denomina constante de Lipschitz de la función (o módulo de continuidad uniforme). Por ejemplo, toda función que tiene derivadas primeras acotadas es continua de Lipschitz.

En la teoría de ecuaciones diferenciales, la continuidad de Lipschitz es la condición central del teorema de Picard-Lindelöf que garantiza la existencia y unicidad de la solución a un problema de valor inicial. En el teorema del punto fijo de Banach se utiliza un tipo especial de continuidad de Lipschitz, llamada contracción.

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo no trivial cerrado y acotado de la recta real:

Contínuamente diferente ⊂ Lipschitz continuo ⊂

{displaystyle alpha }

-Hölder continuo,

Donde ${displaystyle 0 realizadasalpha leq 1}$ . También tenemos

Lipschitz continuo ⊂ absolutamente continuo ⊂ uniformemente continuo.

Definiciones

Dados dos espacios métricos (X, d_X) y (Y, d_Y), donde d_X denota la métrica en el conjunto X y d_Y es la métrica en el conjunto Y, una función f: X → Y se llama Lipschitz continua si existe una constante real K ≥ 0 tal que, para todo x₁ y x₂ en X,

{displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2})leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}). }

Cualquier K se denomina constante de Lipschitz para la función f y f también puede ser denominado K-Lipschitz. La constante más pequeña a veces se denomina la (mejor) constante de Lipschitz de f o la dilatación o dilatación de f. Si K = 1 la función se denomina mapa corto, y si 0 ≤ K < 1 y f mapea un espacio métrico a sí mismo, la función se llama contracción.

En particular, una función de valor real f: R → R se llama Lipschitz continua si existe una constante real positiva K tal que, para todo real x₁ y x₂,

{displaystyle Silenciof(x_{1})-f(x_{2} ¡Koper!

En este caso, Y es el conjunto de números reales R con la métrica estándar d_Y(y₁, y₂) = |y₁ − y₂|, y X es un subconjunto de R.

En general, la desigualdad se satisface (trivialmente) si x₁ = x₂. De lo contrario, se puede definir de manera equivalente que una función sea continua de Lipschitz si y solo si existe una constante K ≥ 0 tal que, para todo x₁ ≠ x₂,

{displaystyle {frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2})}{d_{X}(x_{1},x_{2}}}leq K.}

Para funciones de valor real de varias variables reales, esto se cumple si y solo si el valor absoluto de las pendientes de todas las rectas secantes están acotadas por K. El conjunto de líneas de pendiente K que pasa por un punto en el gráfico de la función forma un cono circular, y una función es Lipschitz si y solo si el gráfico de la función se encuentra en todas partes completamente fuera de este cono (ver figura).

Una función se llama localmente continua de Lipschitz si para cada x en X existe una vecindad U de x tal que f restringida a U es continua de Lipschitz. De manera equivalente, si X es un espacio métrico localmente compacto, entonces f es localmente Lipschitz si y solo si es Lipschitz continuo en cada subconjunto compacto de X. En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria pero no suficiente.

Más generalmente, una función f definida en X se dice que es Hölder continua o que satisface una condición de Hölder de orden α > 0 en X si existe una constante M ≥ 0 tal que

{displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))leq Md_{X}(x,y)^{alpha }

para todo x e y en X. A veces, una condición de Hölder de orden α también se denomina condición de orden uniforme de Lipschitz α > 0.

Para un número real K ≥ 1, si

{displaystyle {frac {1}d_{X}(x_{1},x_{2})leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2})leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})quad {text{ for all }x_{1},x_{2}in X,}

entonces f se llama K-bilipschitz (también escrito K-bi-Lipschitz). Decimos que f es bilipschitz o bi-Lipschitz para indicar que existe tal K. Un mapeo de bilipschitz es inyectivo y, de hecho, es un homeomorfismo en su imagen. Una función bilipschitz es lo mismo que una función inyectiva de Lipschitz cuya función inversa también es Lipschitz.

Ejemplos

Lipschitz funciones continuas que son en todas partes diferentes

La función ${displaystyle f(x)={sqrt {x^{2}+5}}$ definido para todos los números reales es Lipschitz continuo con la constante Lipschitz K= 1, porque es en todas partes diferente y el valor absoluto del derivado está ligado arriba por 1. Vea la primera propiedad que aparece debajo de "Propiedades".
Asimismo, la función sine es Lipschitz continua porque su derivada, la función cosina, está ligada arriba por 1 en valor absoluto.

Lipschitz funciones continuas que no son en todas partes diferentes

La función ${displaystyle f(x)=persecuencias$ definido en los reales es Lipschitz continuo con la constante Lipschitz igual a 1, por la desigualdad del triángulo inverso. Más generalmente, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continuo con respecto a la métrica asociada, con la constante Lipschitz igual a 1.

Lipschitz funciones continuas que son en todas partes diferentes pero no continuamente diferenciables

La función ${displaystyle f(x);=;{begin{cases}x^{2}sin(1/x) limit{text{if }xneq 0$

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