Continuidad absoluta

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Forma de continuidad de las funciones

En cálculo y análisis real, la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme. La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales del cálculo: diferenciación e integración. Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo) en el marco de la integración de Riemann, pero con continuidad absoluta puede formularse en términos de integración de Lebesgue. Para funciones de valor real en la recta real, aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas. Estas dos nociones se generalizan en diferentes direcciones. La derivada habitual de una función está relacionada con la derivada de Radon-Nikodym, o densidad, de una medida. Tenemos las siguientes cadenas de inclusiones para funciones sobre un subconjunto compacto de la recta real:

absolutamente continuo ⊆ uniformemente continuo

=

continuo

y, para un intervalo compacto,

continuamente diferenciable ⊆ Lipschitz continuo ⊆ absolutamente continuo ⊆ Variación de límites ⊆ diferentes casi en todas partes.

Continuidad absoluta de funciones

Una función continua no es absolutamente continua si no es uniformemente continua, lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; los ejemplos son tan(x) sobre $[0, π /2)$ , x² sobre toda la línea real y sin(1/ x) sobre (0, 1). Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua incluso en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable casi en todas partes" (como la función de Weierstrass, que no es diferenciable en ninguna parte). O puede ser diferenciable en casi todas partes y su derivada f ′ puede ser integrable de Lebesgue, pero la integral de f ′ difiere del incremento de f (cuánto cambia f en un intervalo). Esto sucede, por ejemplo, con la función de Cantor.

Definición

Vamos $I$ ser un intervalo en la línea real $mathbb {R}$ . Una función $fcolon I to R$ es absolutamente continuo on $I$ si por cada número positivo $varepsilon$ , hay un número positivo $delta$ tal que cuando una secuencia finita de subintervalos descomunales pares $(x_{k},y_{k})$ de $I$ con $<math alttext="{displaystyle x_{k}xk.Sí.k▪ ▪ I{displaystyle x_{k}traducidos Yo...<img alt="{displaystyle x_{k}$ satisfizo

<math alttext="{displaystyle sum _{k}(y_{k}-x_{k}).. k()Sí.k− − xk).δ δ {displaystyle sum _{k}(y_{k}-x_{k}) }<img alt="{displaystyle sum _{k}(y_{k}-x_{k})

entonces

<math alttext="{displaystyle sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|.. kSilenciof()Sí.k)− − f()xk)Silencio.ε ε .{displaystyle sum _{k}Principf(y_{k})-f(x_{k})<img alt="{displaystyle sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|

La colección de todas las funciones absolutamente continuas en $I$ es denotado $operatorname{AC}(I)$ .

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en una función de valor real f en un intervalo compacto [a,b] son equivalentes:

f es absolutamente continuo;
f tiene un derivado f′ casi en todas partes, el derivado es Lebesgue integradoble, y ${displaystyle f(x)=f(a)+int _{a}^{x}f'(t),dt}$ para todos x [sobre la base]a,b];
existe una función integradora de Lebesgue g [sobre la base]a,b] tal que ${displaystyle f(x)=f(a)+int _{a}^{x}g(t),dt}$ para todos x ena,b].

Si se cumplen estas condiciones equivalentes, entonces necesariamente g = f ′ en casi todas partes.

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue, debido a Lebesgue.

Para una definición equivalente en términos de medidas ver la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Propiedades

La suma y diferencia de dos funciones absolutamente continuas también son absolutamente continuas. Si las dos funciones se definen en un intervalo cerrado atado, su producto también es absolutamente continuo.
Si una función absolutamente continua se define en un intervalo cerrado atado y no es cero entonces su recíproco es absolutamente continuo.
Cada función absolutamente continua (sobre un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua. Cada función (globally) Lipschitz-continuous es absolutamente continua.
Si f[a,b] → R es absolutamente continuo, entonces es de variación atada en [a,b].
Si f[a,b] → R es absolutamente continuo, entonces se puede escribir como la diferencia de dos nondecreas monotónico absolutamente funciones continuas en [a,b].
Si f[a,b] → R es absolutamente continuo, entonces tiene la propiedad Luzin N (es decir, para cualquier ${displaystyle Nsubseteq [a,b]}$ tales que ${displaystyle lambda (N)=0}$ , sostiene que ${displaystyle lambda (f(N))=0}$ , donde $lambda$ significa la medida Lebesgue en R).
f: I → R es absolutamente continuo si y sólo si es continuo, es de variación atada y tiene el Luzin N propiedad. Esta declaración también se conoce como el teorema Banach-Zarecki Soluciones.
Si f: I → R es absolutamente continuo y g: R → R es globalmente Lipschitz-continuous, entonces la composición g ∘ f es absolutamente continuo. Por el contrario, para cada función g que no es globalmente Lipschitz continuo existe una función absolutamente continua f tales que g ∘ f no es absolutamente continuo.

Ejemplos

Las siguientes funciones son uniformemente continuas pero no absolutamente continuas:

la función Cantor en [0, 1] (es de variación atada pero no absolutamente continua);
la función ${displaystyle f(x)={begin{cases}0,&{text{if }}x=0\xsin(1/x),&{text{if }}xneq 0end{cases}}}$ en un intervalo finito que contiene el origen.

Las siguientes funciones son absolutamente continuas pero no α-Hölder continuas:

la función f()x)x^β [0,c], para cualquier 0 β. α 1

Las siguientes funciones son absolutamente continuas y α-Hölder continuas pero no Lipschitz continuas:

la función f()x)√x [0,c], para α≤ 1/2.

Generalizaciones

Vamos.X, d) ser un espacio métrico y dejar I ser un intervalo en la línea real R. Una función f: I → X es absolutamente continuo on I si por cada número positivo $epsilon$ , hay un número positivo $delta$ tal que cuando una secuencia finita de subintervalos descomunales pares [x_k, Sí._k] of I satisfizo

<math alttext="{displaystyle sum _{k}left|y_{k}-x_{k}right|.. kSilencioSí.k− − xkSilencio.δ δ {displaystyle sum _{k}left pacienciay_{k}-x_{k}right sobrevivir }<img alt="sum _{k}left|y_{k}-x_{k}right|

entonces

<math alttext="{displaystyle sum _{k}dleft(f(y_{k}),f(x_{k})right).. kd()f()Sí.k),f()xk)).ε ε .{displaystyle sum _{k}dleft(f(y_{k}),f(x_{k})right) 0epsilon.}<img alt="sum_{k} d left(f(y_k), f(x_k) right)

La colección de todas las funciones absolutamente continuas de I a X se denota AC(I; X).

Otra generalización es el espacio AC^p(I; X) de curvas f : I → X tal que

{displaystyle dleft(f(s),f(t)right)leq int _{s}^{t}m(tau),dtau {text{ for all }}[s,t]subseteq I}

para algunos m en el espacio Lp L^p(I).

Propiedades de estas generalizaciones

Cada función absolutamente continua (sobre un intervalo compacto) es uniformemente continua y, por lo tanto, continua. Cada función contínua de Lipschitz es absolutamente continua.
Si f[a,b] → X es absolutamente continuo, entonces es de variación atada en [a,b].
Para f Alternativa^p()I; X), el derivado métrico de f existe para λ- casi todo el tiempo I, y el derivado métrico es el más pequeño m ▪ L^p()I; R. ${displaystyle dleft(f(s),f(t)right)leq int _{s}^{t}m(tau),dtau {text{ for all }}[s,t]subseteq I.}$

Continuidad absoluta de medidas

Definición

Medida $mu$ en los subconjuntos Borel de la línea real es absolutamente continuo con respecto a la medida Lebesgue $lambda$ si por cada $lambda$ - set mensurable $A,$ $lambda(A) = 0$ implicación ${displaystyle mu (A)=0.}$ Esto está escrito como ${displaystyle mu ll lambda.}$ Dijimos $mu$ es dominado por $lambda.$

En la mayoría de las aplicaciones, si simplemente se dice que una medida en la línea real es absolutamente continua, sin especificar con respecto a qué otra medida es absolutamente continua, entonces se quiere decir continuidad absoluta con respecto a la medida de Lebesgue.

El mismo principio establece medidas en los subconjuntos de Borel ${displaystyle mathbb {R} ^{n},ngeq 2.}$

Definiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en una medida finita $mu$ en los subconjuntos Borel de la línea real son equivalentes:

$mu$ es absolutamente continuo;
para cada número positivo $varepsilon$ hay un número positivo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tales que $<math alttext="{displaystyle mu (A)μ μ ()A).ε ε {displaystyle mu (A) interpretadovarepsilon } <img alt="{displaystyle mu (A)$ para todos los juegos de Borel $A$ de la medida de Lebesgue menos que $delta;$
existe una función integradora de Lebesgue $g$ en la línea real tal que ${displaystyle mu (A)=int _{A}g,dlambda }$ para todos los subconjuntos de Borel $A$ de la línea real.

Para una definición equivalente en términos de funciones ver la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta.

Cualquier otra función satisfactoria (3) es igual a $g$ casi en todas partes. Tal función se llama Radon-Nikodym derivativo, o densidad, de la medida absolutamente continua $mu.$

La equidad entre (1), (2) y (3) también se mantiene en $mathbb {R} ^{n}$ para todos ${displaystyle n=1,2,3,ldots.}$

Así pues, las medidas absolutamente continuas sobre $mathbb {R} ^{n}$ son precisamente aquellos que tienen densidades; como un caso especial, las medidas de probabilidad absolutamente continua son precisamente las que tienen funciones de densidad de probabilidad.

Generalizaciones

Si $mu$ y $nu$ dos medidas sobre el mismo espacio mensurable ${displaystyle (X,{mathcal {A}}),}$ $mu$ se dice que absolutamente continuo con respecto a $nu$ si ${displaystyle mu (A)=0}$ para cada conjunto $A$ para la cual ${displaystyle nu (A)=0.}$ Esto está escrito como " ${displaystyle mu ll nu }$ ". Es decir:

{displaystyle mu ll nu qquad {text{ if and only if }}qquad {text{ for all }}Ain {mathcal {A}},quad (nu (A)=0 {text{ implies }} mu (A)=0).}

Cuando ${displaystyle mu ll nu}$ entonces $nu$ se dice que dominando $mu.$

La continuidad absoluta de las medidas es reflexiva y transitiva, pero no es antisimétrica, por lo que es un preorden en lugar de un orden parcial. En su lugar, si ${displaystyle mu ll nu }$ y ${displaystyle nu ll mu}$ las medidas adoptadas $mu$ y $nu$ se dice que son equivalentes. Así la continuidad absoluta induce un orden parcial de tales clases de equivalencia.

Si $mu$ es una medida firmada o compleja, se dice que $mu$ es absolutamente continuo con respecto a $nu$ si su variación $|mu|$ satisfizo ${displaystyle |mu |ll nu;}$ equivalentemente, si cada conjunto $A$ para la cual ${displaystyle nu (A)=0}$ es $mu$ - Null.

El teorema Radon-Nikodym afirma que si $mu$ es absolutamente continuo con respecto a ${displaystyle nu}$ y ambas medidas son σ-finite, entonces $mu$ tiene una densidad, o "Radon-Nikodym derivativo", con respecto a ${displaystyle nu}$ que significa que existe $nu$ - Función mensurable $f$ tomar valores en ${displaystyle [0,+infty),}$ denotado por ${displaystyle f=dmu /dnu}$ tal que para cualquier $nu$ - set mensurable $A$ tenemos

{displaystyle mu (A)=int _{A}f,dnu.}

Medidas singulares

Mediante el teorema de descomposición de Lebesgue, cada medida σ-finita se puede descomponer en la suma de una medida absolutamente continua y una medida singular con respecto a otra medida σ-finita. Ver medida singular para ejemplos de medidas que no son absolutamente continuas.

Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta

Una medida finita μ en los subconjuntos de Borel de la línea real es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue si y solo si la función de punto

F(x)=mu((-infty,x])

es una función real absolutamente continua. De manera más general, una función es localmente (es decir, en cada intervalo acotado) absolutamente continua si y solo si su derivada distribucional es una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.

Si se mantiene la continuidad absoluta, la derivada Radon-Nikodym de μ es igual en casi todas partes a la derivada de F.

Más generalmente, se supone que la medida μ es localmente finita (en lugar de finita) y F(x) se define como μ((0,x]) para x > 0, 0 para x = 0, y −μ((x,0]) para x < 0. En este caso, μ es la medida de Lebesgue-Stieltjes generada por F. La relación entre las dos nociones de continuidad absoluta aún se mantiene.

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