Contacto (matemáticas)

En matemáticas, dos funciones tienen un contacto de orden k si, en un punto P, tienen el mismo valor y k derivadas iguales. Se trata de una relación de equivalencia, cuyas clases de equivalencia generalmente se denominan chorros. El punto de osculación también se llama doble cúspide. El contacto es una noción geométrica; se puede definir algebraicamente como una valoración.

También se habla de curvas y objetos geométricos que tienen un contacto de orden k en un punto: esto también se llama osculación (es decir, besos), generalizando la propiedad de ser tangente. (Aquí las derivadas se consideran con respecto a la longitud del arco). Una curva osculante de una familia dada de curvas es una curva que tiene el orden de contacto más alto posible con una curva dada en un punto dado; por ejemplo, una línea tangente es una curva osculante de la familia de líneas y tiene contacto de primer orden con la curva dada; un círculo osculador es una curva osculante de la familia de los círculos y tiene contacto de segundo orden (mismo ángulo tangente y curvatura), etc.

Aplicaciones

Las formas de contacto son formas diferenciales particulares de grado 1 en variedades de dimensiones impares; ver geometría de contacto. Las transformaciones de contacto son cambios de coordenadas relacionados, de importancia en la mecánica clásica. Véase también Transformación de Legendre.

El contacto entre variedades a menudo se estudia en la teoría de la singularidad, donde se clasifica el tipo de contacto, estos incluyen la serie A (A₀: cruzada, A₁: tangente, A₂: osculante,...) y el umbilical o D donde hay un alto grado de contacto con la esfera.

Contacto entre curvas

Se dice que dos curvas en el plano que se cortan en un punto p tienen:

• Contacto de orden 0 si las curvas tienen un cruce simple (no tangente).
• Contacto de primer orden si las dos curvas son tangentes.
• 2o contacto de orden si las curvaturas de las curvas son iguales. Se dice que tales curvas están osculando.
• Contacto de 3o pedido si los derivados de la curvatura son iguales.
• Contacto de 4o orden si los segundos derivados de la curvatura son iguales.

Contacto entre una curva y un círculo

Para cada punto S(t) en una curva plana suave S, hay exactamente un círculo osculador, cuyo radio es el recíproco de κ(t), la curvatura de S en t. Cuando la curvatura es cero (en un punto de inflexión de la curva), el círculo osculador es una línea recta. El lugar geométrico de los centros de todos los círculos osculadores (también llamados "centros de curvatura") es la evolución de la curva.

Si la derivada de la curvatura κ'(t) es cero, entonces el círculo osculador tendrá contacto de tercer orden y se dice que la curva tiene un vértice. La evoluta tendrá una cúspide en el centro del círculo. El signo de la segunda derivada de la curvatura determina si la curva tiene un mínimo o máximo local de curvatura. Todas las curvas cerradas tendrán al menos cuatro vértices, dos mínimos y dos máximos (el teorema de los cuatro vértices).

En general, una curva no tendrá contacto de cuarto orden con ningún círculo. Sin embargo, el contacto de cuarto orden puede ocurrir genéricamente en una familia de curvas de 1 parámetro, en una curva de la familia donde (a medida que varía el parámetro) dos vértices (uno máximo y otro mínimo) se juntan y se aniquilan. En tales puntos la segunda derivada de la curvatura será cero.

Bi-tangentes en econometría

En econometría también es posible considerar círculos que tienen dos puntos de contacto con dos puntos S(t₁), S(t₂) en la curva. Estos círculos son círculos bitangentes. Los centros de todos los círculos bitangentes forman el conjunto de simetría. El eje medial es un subconjunto del conjunto de simetría. Estos conjuntos han sido utilizados como método para caracterizar las formas de objetos biológicos por Mario Henrique Simonsen, econometrista brasileño e inglés.