Constructivismo (filosofía de las matemáticas)

En la filosofía de las matemáticas, el constructivismo afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para probar que existe un ejemplo. Por el contrario, en las matemáticas clásicas, uno puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrar" ese objeto explícitamente, asumiendo su inexistencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivo implica una interpretación verificacional del cuantificador existencial, que está en desacuerdo con su interpretación clásica.

Hay muchas formas de constructivismo. Estos incluyen el programa de intuicionismo fundado por Brouwer, el finitismo de Hilbert y Bernays, las matemáticas recursivas constructivas de Shanin y Markov, y el programa de análisis constructivo de Bishop. El constructivismo también incluye el estudio de teorías de conjuntos constructivas como CZF y el estudio de la teoría topos.

El constructivismo a menudo se identifica con el intuicionismo, aunque el intuicionismo es solo un programa constructivista. El intuicionismo sostiene que los fundamentos de las matemáticas se encuentran en la intuición del matemático individual, por lo que convierte a las matemáticas en una actividad intrínsecamente subjetiva. Otras formas de constructivismo no se basan en este punto de vista de la intuición y son compatibles con un punto de vista objetivo de las matemáticas.

Matemáticas constructivas

Muchas matemáticas constructivas usan lógica intuicionista, que es esencialmente lógica clásica sin la ley del tercero excluido. Esta ley establece que, para cualquier proposición, o esa proposición es verdadera o su negación lo es. Esto no quiere decir que se niegue por completo la ley del tercero excluido; serán demostrables los casos especiales de la ley. Es sólo que la ley general no se asume como un axioma. La ley de no contradicción (que establece que las declaraciones contradictorias no pueden ser ambas al mismo tiempo verdaderas) sigue siendo válida.

Por ejemplo, en Heyting arithmetic, se puede probar que para cualquier propuesta p que no contiene cuantificadores, ${displaystyle forall x,y,z,ldots in mathbb {N}:pvee neg p}$ es un teorema (donde x, Sí., z... son las variables libres en la proposición p). En este sentido, las proposiciones restringidas a las finitas todavía se consideran verdaderas o falsas, ya que están en matemáticas clásicas, pero esta bivalencia no se extiende a las proposiciones que se refieren a colecciones infinitas.

De hecho, L.E.J. Brouwer, fundador de la escuela intuicionista, vio la ley del tercero excluido como abstraída de la experiencia finita y luego aplicada al infinito sin justificación. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es la afirmación de que todo número par (mayor que 2) es la suma de dos números primos. Es posible probar cualquier número par en particular si es o no la suma de dos números primos (por ejemplo, mediante una búsqueda exhaustiva), por lo que cualquiera de ellos es la suma de dos números primos o no lo es. Y hasta ahora, cada uno de los probados ha sido de hecho la suma de dos números primos.

Pero no hay ninguna prueba conocida de que todos lo sean, ni ninguna prueba conocida de que no todos lo sean; ni siquiera se sabe si debe existir ya sea una prueba o una refutación de la conjetura de Goldbach (la conjetura puede ser indecidible en el lenguaje tradicional). teoría de conjuntos ZF). Por lo tanto, para Brouwer, no estamos justificados al afirmar 'o la conjetura de Goldbach es verdadera o no lo es'. Y aunque la conjetura puede resolverse algún día, el argumento se aplica a problemas similares sin resolver; para Brouwer, la ley del tercero excluido equivalía a suponer que todo problema matemático tiene una solución.

Con la omisión de la ley del medio excluido como axioma, el sistema lógico restante tiene una propiedad de la existencia que la lógica clásica no tiene: siempre que ${displaystyle exists _{xin X}P(x)}$ es demostrado constructivamente, entonces de hecho ${displaystyle P(a)}$ se ha demostrado constructivamente para (al menos) una ${displaystyle ain X}$, a menudo llamado testigo. Así la prueba de la existencia de un objeto matemático está ligada a la posibilidad de su construcción.

Ejemplo de análisis real

En el análisis real clásico, una forma de definir un número real es como una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales.

En matemáticas constructivas, una manera de construir un número real es como una función . que toma un entero positivo ${displaystyle n}$ y produce un racional .()n), junto con una función g que toma un entero positivo n y produce un entero positivo g()n.

${displaystyle forall n\forall i,jgeq g(n)quad Silenciof(i)-f(j) eternaleq {1over n}$

para que a medida que aumenta n, los valores de ƒ(n) se acercan cada vez más. Podemos usar ƒ y g juntos para calcular una aproximación racional tan cercana como queramos al número real que representan.

Bajo esta definición, una representación simple del número real e es:

${displaystyle f(n)=sum _{i=0}{n}{1over i!},quad g(n)=n.}$

Esta definición corresponde a la definición clásica usando sucesiones de Cauchy, excepto con un giro constructivo: para una sucesión de Cauchy clásica, se requiere que, para cualquier distancia dada, exista (en un sentido clásico) un miembro en la sucesión después de que todos los miembros están más juntos que esa distancia. En la versión constructiva, se requiere que, para cualquier distancia dada, sea posible especificar un punto en la secuencia donde esto suceda (esta especificación requerida a menudo se denomina módulo de convergencia). De hecho, la interpretación constructiva estándar del enunciado matemático

${displaystyle forall n:exists m:forall i,jgeq m: preservef(i)-f(j) {1 over n}$

es precisamente la existencia de la función que calcula el módulo de convergencia. Por lo tanto, la diferencia entre las dos definiciones de números reales se puede considerar como la diferencia en la interpretación del enunciado "para todo... existe..."

Esto abre la pregunta de qué tipo de función de un conjunto contable a un conjunto contable, como f y g arriba, se puede construir. Diferentes versiones del constructivismo divergen en este punto. Las construcciones pueden definirse tan ampliamente como secuencias de libre elección, que es la visión intuicionista, o tan estrictamente como algoritmos (o más técnicamente, las funciones computables), o incluso dejarlas sin especificar. Si, por ejemplo, se adopta el punto de vista algorítmico, entonces los reales, tal como se construyen aquí, son esencialmente lo que clásicamente se llamarían números computables.

Cardinalidad

Tomar la interpretación algorítmica anterior parecería estar en desacuerdo con las nociones clásicas de cardinalidad. Al enumerar algoritmos, podemos mostrar clásicamente que los números computables son contables. Y, sin embargo, el argumento de la diagonal de Cantor muestra que los números reales tienen una cardinalidad más alta. Además, el argumento diagonal parece perfectamente constructivo. Entonces, identificar los números reales con los números computables sería una contradicción.

Y de hecho, el argumento diagonal de Cantor es constructivo, en el sentido de que dada una biyección entre los números reales y los números naturales, se construye un número real que no encaja, y por lo tanto prueba una contradicción. De hecho, podemos enumerar algoritmos para construir una función T, sobre la cual inicialmente asumimos que es una función de los números naturales a los reales. Pero, a cada algoritmo, puede corresponder o no un número real, ya que el algoritmo puede fallar en satisfacer las restricciones, o incluso ser no terminador (T es una función parcial), entonces esto falla para producir la biyección requerida. En resumen, quien considera que los números reales son (individualmente) efectivamente computables interpreta el resultado de Cantor como una muestra de que los números reales (colectivamente) no son recursivamente enumerables.

Aún así, uno podría esperar que dado que T es una función parcial de los números naturales a los números reales, por lo tanto los números reales no son más que contables. Y, dado que todo número natural puede representarse trivialmente como un número real, los números reales son nada menos que contables. Son, por lo tanto, exactamente contables. Sin embargo, este razonamiento no es constructivo, ya que todavía no construye la biyección requerida. El teorema clásico que prueba la existencia de una biyección en tales circunstancias, a saber, el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, no es constructivo. Recientemente se ha demostrado que el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder implica la ley del tercero excluido, por lo que no puede haber una prueba constructiva del teorema.

Axioma de elección

El estado del axioma de elección en las matemáticas constructivas se complica por los diferentes enfoques de los diferentes programas constructivistas. Un significado trivial de 'constructivo', utilizado de manera informal por los matemáticos, es 'demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección'. Sin embargo, los defensores de formas más limitadas de matemáticas constructivas afirmarían que ZF en sí mismo no es un sistema constructivo.

En las teorías intuicionistas de la teoría de tipos (especialmente en la aritmética de tipo superior), se permiten muchas formas del axioma de elección. Por ejemplo, el axioma AC₁₁ se puede parafrasear para decir que para cualquier relación R en el conjunto de números reales, si ha probado que para cada número real x hay un número real y tal que R(x,y) se cumple, entonces en realidad hay una función F tal que R(x,F(x)) se cumple para todos los números reales. Se aceptan principios de elección similares para todos los tipos finitos. La motivación para aceptar estos principios aparentemente no constructivos es la comprensión intuicionista de la prueba de que "para cada número real x hay un número real y tal que R(x,y) se mantiene". De acuerdo con la interpretación de BHK, esta prueba en sí misma es esencialmente la función F que se desea. Los principios de elección que aceptan los intuicionistas no implican la ley del tercero excluido.

Sin embargo, en ciertos sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos constructiva, el axioma de elección implica la ley del tercero excluido (en presencia de otros axiomas), como lo muestra el teorema de Diaconescu-Goodman-Myhill. Algunas teorías de conjuntos constructivas incluyen formas más débiles del axioma de elección, como el axioma de elección dependiente en la teoría de conjuntos de Myhill.

Teoría de la medida

La teoría de la medida clásica es fundamentalmente no constructiva, ya que la definición clásica de la medida de Lebesgue no describe cómo calcular la medida de un conjunto o la integral de una función. De hecho, si uno piensa en una función simplemente como una regla que "ingresa un número real y genera un número real" entonces no puede haber ningún algoritmo para calcular la integral de una función, ya que cualquier algoritmo solo podría llamar a una cantidad finita de valores de la función a la vez, y una cantidad finita de valores no es suficiente para calcular la integral con una precisión no trivial. La solución a este enigma, desarrollada por primera vez en Bishop (1967), es considerar solo funciones que se escriben como el límite puntual de funciones continuas (con módulo de continuidad conocido), con información sobre la tasa de convergencia. Una ventaja de construir la teoría de la medida es que si uno puede probar que un conjunto es constructivamente de medida completa, entonces hay un algoritmo para encontrar un punto en ese conjunto (ver nuevamente Bishop (1967)). Por ejemplo, este enfoque se puede usar para construir un número real que sea normal a cada base.

El lugar del constructivismo en las matemáticas

Tradicionalmente, algunos matemáticos han sido suspicaces, si no antagonistas, hacia el constructivismo matemático, en gran parte debido a las limitaciones que creían que presentaba para el análisis constructivo. Estos puntos de vista fueron expresados enérgicamente por David Hilbert en 1928, cuando escribió en Grundlagen der Mathematik, "Tomar el principio del medio excluido del matemático sería lo mismo, digamos, como proscribir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños".

Errett Bishop, en su trabajo de 1967 Fundamentos del análisis constructivo, trabajó para disipar estos temores mediante el desarrollo de una gran cantidad de análisis tradicional en un marco constructivo.

Aunque la mayoría de los matemáticos no aceptan la tesis constructivista de que solo las matemáticas basadas en métodos constructivos son sólidas, los métodos constructivos son cada vez más interesantes por motivos no ideológicos. Por ejemplo, las pruebas constructivas en el análisis pueden asegurar la extracción de testigos, de tal manera que trabajar dentro de las limitaciones de los métodos constructivos puede hacer que encontrar testigos de teorías sea más fácil que usar métodos clásicos. También se han encontrado aplicaciones para las matemáticas constructivas en el cálculo lambda mecanografiado, la teoría del topos y la lógica categórica, que son temas notables en las matemáticas fundamentales y la informática. En álgebra, para entidades como topoi y álgebras de Hopf, la estructura soporta un lenguaje interno que es una teoría constructiva; trabajar dentro de las limitaciones de ese lenguaje suele ser más intuitivo y flexible que trabajar externamente por medios tales como razonar sobre el conjunto de posibles álgebras concretas y sus homomorfismos.

El físico Lee Smolin escribe en Tres caminos hacia la gravedad cuántica que la teoría del topos es "la forma correcta de lógica para la cosmología" (página 30) y "En sus primeras formas se le llamó 'lógica intuicionista'" (página 31). “En este tipo de lógica, las declaraciones que un observador puede hacer sobre el universo se dividen en al menos tres grupos: aquellas que podemos juzgar como verdaderas, aquellas que podemos juzgar como falsas y aquellas cuya verdad no podemos decidir en este momento" (página 28).

Matemáticos que han hecho importantes contribuciones al constructivismo

• Leopold Kronecker (constructivismo antiguo, semi-intuitionismo)
• L. E. J. Brouwer (fundador de intuición)
• A. A. Markov (padre de la escuela rusa de constructivismo)
• Arend Heyting (formalizada lógica intuitionista y teorías)
• Per Martin-Löf (fundador de teorías de tipo constructivo)
• Errett Bishop (promoted a version of constructivism claimed to be consistent with classic mathematics)
• Paul Lorenzen (análisis constructivo desarrollado)

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