Construcción Cayley-Dickson

En matemáticas, la construcción de Cayley-Dickson, llamada así por Arthur Cayley y Leonard Eugene Dickson, produce una secuencia de álgebras sobre el campo de los números reales, cada una con el doble de dimensión que la anterior. Las álgebras producidas por este proceso se conocen como álgebras de Cayley-Dickson, por ejemplo, números complejos, cuaterniones y octoniones. Estos ejemplos son álgebras de composición útiles que se aplican con frecuencia en la física matemática.

La construcción de Cayley-Dickson define una nueva álgebra como un producto cartesiano de un álgebra consigo misma, con la multiplicación definida de una manera específica (diferente a la multiplicación por componentes) y una involución conocida como conjugación. El producto de un elemento y su conjugado (o, a veces, la raíz cuadrada de este producto) se llama norma.

Las simetrías del campo real desaparecen a medida que se aplica repetidamente la construcción de Cayley-Dickson: primero pérdida de orden, luego conmutatividad de la multiplicación, asociatividad de la multiplicación y luego alternatividad.

De manera más general, la construcción de Cayley-Dickson lleva cualquier álgebra con involución a otra álgebra con involución del doble de la dimensión.

El teorema de Hurwitz (álgebras de composición) establece que los reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones son las únicas álgebras de división (normadas) (sobre los números reales).

Sinopsis

La construcción de Cayley-Dickson se debe a que Leonard Dickson en 1919 mostró cómo los octoniones se pueden construir como un álgebra bidimensional sobre cuaterniones. De hecho, comenzando con un campo F, la construcción produce una secuencia de F-álgebras de dimensión 2ⁿ. Para n = 2 es un álgebra asociativa llamada álgebra de cuaterniones, y para n = 3 es un álgebra alternativa llamada álgebra de octoniones. Estas instancias n = 1, 2 y 3 producen álgebras de composición como se muestra a continuación.

El caso n = 1 comienza con elementos (a, b) en F × F y define el conjugado (a, b)* como (a*, –b) donde a* = a en el caso n = 1, y posteriormente determinado por la fórmula. La esencia del F-álgebra radica en la definición del producto de dos elementos (a, b) y (c, d):

()a,b)× × ()c,d)=()ac− − dAlternativa Alternativa b,da+bcAlternativa Alternativa ).{displaystyle (a,b)times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}). }

Proposición 1: Para z=()a,b){displaystyle z=(a,b)} y w=()c,d),{displaystyle w=(c,d),} el conjugado del producto es wAlternativa Alternativa zAlternativa Alternativa =()zw)Alternativa Alternativa .{displaystyle w^{*}z^{*}=(zw)}}

prueba: ()cAlternativa Alternativa ,− − d)()aAlternativa Alternativa ,− − b)=()cAlternativa Alternativa aAlternativa Alternativa +bAlternativa Alternativa ()− − d),− − bcAlternativa Alternativa − − da)=()zw)Alternativa Alternativa .{displaystyle (c^{*},-d)(a^{*}-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}}

Proposición 2: Si F- el álgebra es asociativa y N()z)=zzAlternativa Alternativa {displaystyle N(z)=zz^{*}Entonces N()zw)=N()z)N()w).{displaystyle N(zw)=N(z)N(w). }

prueba: N()zw)=()ac− − dAlternativa Alternativa b,da+bcAlternativa Alternativa )()cAlternativa Alternativa aAlternativa Alternativa − − bAlternativa Alternativa d,− − da− − bcAlternativa Alternativa )=()aaAlternativa Alternativa +bbAlternativa Alternativa )()ccAlternativa Alternativa +ddAlternativa Alternativa ){displaystyle N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aaaaa^{*}+bb^{*}) (cc^{*}+dd^{*}) } + términos que cancelan por la propiedad asociativa.

Etapas en la construcción de álgebras reales

Los detalles de la construcción de las álgebras reales clásicas son los siguientes:

Números complejos como pares ordenados

Los números complejos se pueden escribir como pares ordenados (a, b) de números reales a y b, con el operador de suma siendo por componentes y con la multiplicación definida por

()a,b)()c,d)=()ac− − bd,ad+bc).{displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).,}

Un número complejo cuyo segundo componente es cero está asociado con un número real: el número complejo (a, 0) está asociado con el real número a.

El complejo conjugado (a, b)* de (a, b) está dada por

()a,b)Alternativa Alternativa =()aAlternativa Alternativa ,− − b)=()a,− − b){displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)}

ya que a es un número real y es su propio conjugado.

El conjugado tiene la propiedad de que

()a,b)Alternativa Alternativa ()a,b)=()aa+bb,ab− − ba)=()a2+b2,0),{displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a+bb,ab-ba)=left(a^{2}+b^{2},0right),,}

que es un número real no negativo. De esta forma, la conjugación define una norma, haciendo de los números complejos un espacio vectorial normado sobre los números reales: la norma de un número complejo z es

SilenciozSilencio=()zAlternativa Alternativa z)12.{displaystyle Silencioso=left(z^{*}zright)^{frac {1}{2}.

Además, para cualquier número complejo distinto de cero z, la conjugación da un inverso multiplicativo,

z− − 1=zAlternativa Alternativa SilenciozSilencio2.{displaystyle z^{-1}={frac {f} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}fnMisigualmamf}f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}fnMisoysoysigualcansigualmamf}

Como un número complejo consta de dos números reales independientes, forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales.

Además de ser de mayor dimensión, se puede decir que los números complejos carecen de una propiedad algebraica de los números reales: un número real es su propio conjugado.

Cuaterniones

Cayley Q8 gráfico de multiplicación de cuaternión mostrando ciclos de multiplicación i (red), j (verde) and k (azul). En el archivo SVG, arrastre o haga clic en una ruta para destacarlo.

El próximo paso en la construcción es generalizar las operaciones de multiplicación y conjugación.

Formar pares ordenados (a, b) de números complejos a y b, con la multiplicación definida por

()a,b)()c,d)=()ac− − dAlternativa Alternativa b,da+bcAlternativa Alternativa ).{displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).,}

Son posibles ligeras variaciones en esta fórmula; las construcciones resultantes producirán estructuras idénticas hasta los signos de las bases.

El orden de los factores parece extraño ahora, pero será importante en el próximo paso.

Defina el conjugado (a, b)* de (a, b) por

()a,b)Alternativa Alternativa =()aAlternativa Alternativa ,− − b).{displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).,}

Estos operadores son extensiones directas de sus complejos análogos: if a y b se toman del subconjunto real de números complejos, la aparición del conjugado en las fórmulas no tiene ningún efecto, por lo que los operadores son los mismos que para los números complejos.

El producto de un elemento distinto de cero con su conjugado es un número real no negativo:

()a,b)Alternativa Alternativa ()a,b)=()aAlternativa Alternativa ,− − b)()a,b)=()aAlternativa Alternativa a+bAlternativa Alternativa b,baAlternativa Alternativa − − baAlternativa Alternativa )=()SilencioaSilencio2+SilenciobSilencio2,0).{displaystyle {begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b) {=(a^{*},-b)(a,b)\\\\\cH00}a}a+b^{*}b,ba^{*})\}\\cH00}cH00}}b}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\c]}}}}}}}}}\\\\\]}\\cH00}}}}}}}}}}}}\\\\\\cH00}}}}}}\\cH00}}}\cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\cH00}}}}}}

Como antes, el conjugado produce una norma y un inverso para cualquier par ordenado. Entonces, en el sentido que explicamos anteriormente, estos pares constituyen un álgebra algo así como los números reales. Son los cuaterniones, nombrados por Hamilton en 1843.

Como un cuaternión consta de dos números complejos independientes, forman un espacio vectorial de cuatro dimensiones sobre los números reales.

Sin embargo, la multiplicación de cuaterniones no es como la multiplicación de números reales; no es conmutativo, es decir, si p y q son cuaterniones, no siempre es cierto que pq = qp.

Octoniones

Todos los pasos para crear más álgebras son los mismos desde octonions en adelante.

Esta vez, forma pares ordenados (p, q) de cuaterniones p y q, con multiplicación y conjugación definidas exactamente como para los cuaterniones:

()p,q)()r,s)=()pr− − sAlternativa Alternativa q,sp+qrAlternativa Alternativa ).{displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).,}

Sin embargo, tenga en cuenta que debido a que los cuaterniones no son conmutativos, el orden de los factores en la fórmula de multiplicación se vuelve importante, si el último factor en la fórmula de multiplicación fuera r*q en lugar de qr*, la fórmula para la multiplicación de un elemento por su conjugado no produciría un número real.

Exactamente por las mismas razones que antes, el operador de conjugación produce una norma y un inverso multiplicativo de cualquier elemento distinto de cero.

Esta álgebra fue descubierta por John T. Graves en 1843 y se llama octoniones o "números de Cayley".

Como un octonión consta de dos cuaterniones independientes, forman un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre los números reales.

La multiplicación de octoniones es aún más extraña que la de cuaterniones; además de no ser conmutativo, no es asociativo, es decir, si p, q y r son octoniones, no siempre es cierto que (pq)r = p(qr).

Por la razón de esta no asociatividad, los octoniones no tienen representación matricial.

Más álgebras

El álgebra que sigue inmediatamente a los octoniones se llama sedeniones. Conserva una propiedad algebraica llamada asociatividad de potencia, lo que significa que si s es un sedenion, sⁿs^m = s^n + m, pero pierde la propiedad de ser un álgebra alternativa y por lo tanto no puede ser un álgebra de composición.

La construcción de Cayley-Dickson se puede realizar ad infinitum, produciendo en cada paso un álgebra asociativa de potencias cuya dimensión es el doble que la del álgebra del paso anterior. Todas las álgebras así generadas sobre un campo son cuadráticas: es decir, cada elemento satisface una ecuación cuadrática con coeficientes del campo.

En 1954, R. D. Schafer examinó las álgebras generadas por el proceso de Cayley-Dickson sobre un campo F y demostró que satisfacen la flexibilidad identidad. También demostró que cualquier álgebra de derivación de un álgebra de Cayley-Dickson es isomorfa al álgebra de derivación de los números de Cayley, un álgebra de Lie de 14 dimensiones sobre F .

Construcción Cayley-Dickson modificada

La construcción Cayley-Dickson, a partir de los números reales R{displaystyle mathbb {R}, genera la composición álgebras C{displaystyle mathbb {C} (los números complejos), H{displaystyle mathbb {H} (las quaternions), y O{displaystyle mathbb {O} (las octoniones). También hay álgebras de composición cuya norma es una forma cuadrática isotrópica, que se obtienen a través de una ligera modificación, reemplazando el signo menos en la definición del producto de pares ordenados con un signo más, como sigue:

()a,b)()c,d)=()ac+dAlternativa Alternativa b,da+bcAlternativa Alternativa ).{displaystyle (a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}). }

Cuando se aplica esta construcción modificada R{displaystyle mathbb {R}, se obtienen los números del complejo de división, que son de anillo-isómorfo al producto directo R× × R;{displaystyle mathbb {R} times mathbb {R};} a continuación, se obtiene la división-cuaternions, un álgebra asociativa isomorfa a la de las matrices reales 2 × 2; y las fracturas-octoniones, que son isomorfos a Zorn(R). Aplicar la construcción original de Cayley-Dickson a los complejos divididos también resulta en las cuartas partes y luego en las divisiones.

Construcción General Cayley–Dickson

Albert (1942, p. 171) dio una ligera generalización, definiendo el producto y la involución en B = A ⊕ A para A un álgebra con involución (con (xy)* = y*x*) para ser

()p,q)()r,s)=()pr− − γ γ sAlternativa Alternativa q,sp+qrAlternativa Alternativa )()p,q)Alternativa Alternativa =()pAlternativa Alternativa ,− − q){displaystyle {begin{aligned}(p,q)(r,s) sensible=(pr-gamma s^{*}q,sp+qr^{*}),(p,q)^{*} {==(p^{*},-q)end{aligned}}}}}}}}} {

para γ un mapa aditivo que conmuta con * e izquierda y multiplicación correcta por cualquier elemento. (Sobre los reales, todas las opciones de γ son equivalentes a −1, 0 o 1). En esta construcción, A es un álgebra con involución, lo que significa:

• A es un grupo abeliano bajo +
• A tiene un producto que se deja y distribuye derecho sobre +
• A tiene una involución *, con ()x*)* = x, ()x + Sí.)* x* Sí.*, ()xy)* Sí.*x*.

El álgebra B = A ⊕ A producida por la construcción de Cayley-Dickson es también un álgebra con involución.

B hereda las propiedades de A sin cambios de la siguiente manera.

• Si A tiene una identidad 1_A, entonces B tiene una identidad (1_A, 0).
• Si A tiene la propiedad x + x*, xx* asociar y comunicarse con todos los elementos, entonces lo hace B. Esta propiedad implica que cualquier elemento genera un álgebra asociativa conmutativa *, así que en particular el álgebra es el poder asociativo.

Otras propiedades de A solo inducen propiedades más débiles de B:

• Si A es comunicativo y tiene involución trivial, entonces B es comunicativo.
• Si A es comunicativo y asociativo entonces B es asociativo.
• Si A es asociativo y x + x*, xx* asociar y comunicarse con todo, entonces B es un álgebra alternativa.