Constantes de Feigenbaum
En matemáticas, específicamente en la teoría de la bifurcación, las constantes de Feigenbaum son dos constantes matemáticas que expresan proporciones en un diagrama de bifurcación para un mapa no lineal. Llevan el nombre del físico Mitchell J. Feigenbaum.
Historia
Feigenbaum originalmente relacionó la primera constante con las bifurcaciones que duplican el período en el mapa logístico, pero también demostró que se cumple para todos los mapas unidimensionales con un único máximo cuadrático. Como consecuencia de esta generalidad, todo sistema caótico que corresponda a esta descripción se bifurcará al mismo ritmo. Feigenbaum hizo este descubrimiento en 1975 y lo publicó oficialmente en 1978.
La primera constante
La primera constante de Feigenbaum δ es la relación límite de cada intervalo de bifurcación al siguiente entre cada período que se duplica, de uno -mapa de parámetros
- xi+1=f()xi),{displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}
donde f(x) es una función parametrizada por el parámetro de bifurcación a.
Está dado por el límite
- δ δ =limn→ → JUEGO JUEGO an− − 1− − an− − 2an− − an− − 1=4.669201609...... ,{displaystyle delta =lim _{nto infty }{frac {a_{n-1}-a_{n-2}{a_{n}=4.669,201,609,ldots}
donde an son valores discretos de a en la duplicación del nésimo período.
Nombres
- Feigenbaum Constant
- Velocidad de bifurcación Feigenbaum
- delta
Valor
- 30 lugares decimales: δ = 4.669201609102990671853203820466...
- (secuencia) A006890 en el OEIS)
- Una simple aproximación racional es: 621/133, que es correcto a 5 valores significativos (cuando redondea). Para un uso más preciso 1228/263, que es correcto a 7 valores significativos.
- Es aproximadamente igual a 10(1/π − 1), con un error de 0.0015%
Ilustración
Mapas no lineales
Para ver cómo surge este número, considere el mapa real de un parámetro
- f()x)=a− − x2.{displaystyle f(x)=a-x^{2}
Aquí a es el parámetro de bifurcación, x es La variable. Los valores de a para los cuales el período se duplica (por ejemplo, el valor más grande para a sin órbita de período 2, o el mayor a sin órbita de período 4), son <span class="texhtml" a1, a2 etc. Estos se tabulan a continuación:
n Período Parámetro de bifurcación ()an) Ratio an−1 − an−2/an − an−1 1 2 0,75 — 2 4 1.25 — 3 8 1.3680989 4.2337 4 16 1.3940462 4.5515 5 32 1.3996312 4.6458 6 64 1.4008286 4.6639 7 128 1.4010853 4.6682 8 256 1.4011402 4.6689
La razón de la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum. El mismo número surge para el mapa logístico.
- f()x)=ax()1− − x){displaystyle f(x)=ax(1-x)}
con parámetro real a y variable x. Tabulando los valores de bifurcación de nuevo:
n Período Parámetro de bifurcación ()an) Ratio an−1 − an−2/an − an−1 1 2 3 — 2 4 3.4494897 — 3 8 3.5440903 4.7514 4 16 3.5644073 4.6562 5 32 3.5687594 4.6683 6 64 3.5696916 4.6686 7 128 3.5698913 4.6692 8 256 3.5699340 4.6694
Fractales
En el caso del conjunto de Mandelbrot para polinomio cuadrático complejo
- f()z)=z2+c{displaystyle f(z)=z^{2}+c}
la constante de Feigenbaum es la relación entre los diámetros de círculos sucesivos en el eje real en el plano complejo (ver animación a la derecha).
n Período = 2n Parámetro de bifurcación ()cn) Ratio =cn− − 1− − cn− − 2cn− − cn− − 1{displaystyle ={dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}{c_{n}-c_{n-1}}} 1 2 −0,75 — 2 4 −1.25 — 3 8 −1.3680989 4.2337 4 16 −1.3940462 4.5515 5 32 −1.3996312 4.6458 6 64 1.4008287 4.6639 7 128 −1.4010853 4.6682 8 256 −1.4011402 4.6689 9 512 −1.401151982029 10 1024 −1.401154502237 JUEGO −1.4011551890...
El parámetro de bifurcación es un punto raíz del componente de período-2n. Esta serie converge al punto de Feigenbaum c = −1.401155...... La relación en la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum.
Otros mapas también reproducen esta relación, en este sentido la constante de Feigenbaum en la teoría de la bifurcación es análoga a π en geometría y e en cálculo.
La segunda constante
La segunda constante de Feigenbaum o la constante alfa de Feigenbaum (secuencia A006891 en el OEIS),
- α α =2.502907875095892822283902873218...,{displaystyle alpha =2.502,907,875,892,822,283,902,873,218...}
es la relación entre el ancho de un diente y el ancho de uno de sus dos subdientes (excepto el diente más cercano al pliegue). Se aplica un signo negativo a α cuando se mide la relación entre el subtino inferior y el ancho del diente.
Estas cifras se aplican a una amplia clase de sistemas dinámicos (por ejemplo, grifos que gotean para el crecimiento de la población).
Una aproximación racional simple es 13/ 11 × 17/11 × 37/27 = 8177/3267.
Propiedades
Se cree que ambos números son trascendentales, aunque no se ha demostrado que lo sean. Tampoco hay pruebas conocidas de que cualquiera de las constantes sea irracional.
La primera prueba de la universalidad de las constantes de Feigenbaum fue realizada por Oscar Lanford, con la ayuda de una computadora, en 1982 (con una pequeña corrección de Jean-Pierre Eckmann y Peter Wittwer de la Universidad de Ginebra en 1987). A lo largo de los años, se descubrieron métodos no numéricos para diferentes partes de la prueba, lo que ayudó a Mikhail Lyubich a producir la primera prueba no numérica completa.
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