Constante omega

La constante omega es una constante matemática definida como el único número real que satisface la ecuación

Ω Ω eΩ Ω =1.{displaystyle Omega e^{Omega }=1.

Es el valor de W(1), donde W es la función W de Lambert. El nombre se deriva del nombre alternativo de la función W de Lambert, la función omega.. El valor numérico de Ω viene dado por

Ω = 0.567143290409783872999968662210... (secuencia) A030178 en el OEIS).

1/Ω = 1.763222834351896710225201776951... (secuencia) A030797 en el OEIS).

Propiedades

Representación de punto fijo

La identidad definitoria se puede expresar, por ejemplo, como

In⁡ ⁡ ()1Ω Ω )=Ω Ω .{displaystyle ln({tfrac Omega.

o

− − In⁡ ⁡ ()Ω Ω )=Ω Ω {displaystyle -ln(Omega)=Omega }

así como

e− − Ω Ω =Ω Ω .{displaystyle e^{-Omega}=Omega.}

Cálculo

Did you mean:

One can calculate Ω iteratively, by starting with an initial guess Ω₀, and considering the sequence

Ω Ω n+1=e− − Ω Ω n.{displaystyle Omega _{n+1}=e^{- Omega.

Esta secuencia convergerá a Ω cuando n se acerque al infinito. Esto se debe a que Ω es un punto fijo atractivo de la función e^−x.

Es mucho más eficiente utilizar la iteración.

Ω Ω n+1=1+Ω Ω n1+eΩ Ω n,{displaystyle Omega _{n+1}={frac {1+\\Omega ¿Qué? Omega ♪♪

porque la función

f()x)=1+x1+ex,{displaystyle f(x)={frac {1+x}{1+e^{x}}}}

además de tener el mismo punto fijo, también tiene una derivada que desaparece allí. Esto garantiza la convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente con cada iteración.

Usando el método de Halley, Ω se puede aproximar con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos se triplica aproximadamente con cada iteración): (consulte también la función Lambert W § Evaluación numérica).

Ω Ω j+1=Ω Ω j− − Ω Ω jeΩ Ω j− − 1eΩ Ω j()Ω Ω j+1)− − ()Ω Ω j+2)()Ω Ω jeΩ Ω j− − 1)2Ω Ω j+2.{displaystyle Omega ¿Qué? Omega... Oh, Dios mío. Omega ¿Qué? Omega... - ¿Qué?

Representaciones integrales

Una identidad debida a Victor Adamchik viene dada por la relación

∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO dt()et− − t)2+π π 2=11+Ω Ω .{displaystyle int _{-infty ¿Qué? {1}{1+Omega }}

Otras relaciones debidas a Mező y Kalugin-Jeffrey-Corless son:

Ω Ω =1π π Re⁡ ⁡ ∫ ∫ 0π π log⁡ ⁡ ()eeit− − e− − iteeit− − eit)dt,{displaystyle Omega ={frac {1}{pi ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ Operadorname {Re} int _{0} {pi}log left {frac {e^{e^{it}-e^{-it}{e^{e^{it}-e^{it}}}right)dt,}

Ω Ω =1π π ∫ ∫ 0π π log⁡ ⁡ ()1+pecado⁡ ⁡ ttetcot⁡ ⁡ t)dt.{displaystyle Omega ={frac {1}int _{0}pi }log left(1+{frac {sin t} {t}e^{tcot t}right)dt.}

Did you mean:

The latter two identities can be extended to other values of the W function (see also Lambert W function § Representations).

Trascendencia

La constante Ω es trascendental. Esto puede verse como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass. Para una contradicción, supongamos que Ω es algebraico. Según el teorema, e^−Ω es trascendental, pero Ω = e^−Ω, lo cual es una contradicción. Por tanto, debe ser trascendental.