Constante de Rydberg

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Constantes físicas de energía y número de onda

In spectroscopy, the Rydberg constante, símbolo ${displaystyle R_{infty }}$ para átomos pesados o $R_{text{H}}$ para el hidrógeno, llamado por el físico sueco Johannes Rydberg, es una constante física relacionada con el espectro electromagnético de un átomo. La primera aparición constante surgió como un parámetro empírico de ajuste en la fórmula Rydberg para la serie espectral de hidrógeno, pero Niels Bohr más tarde mostró que su valor podría calcularse a partir de constantes más fundamentales según su modelo del átomo.

Antes de la redefinición 2019 de las unidades base SI, ${displaystyle R_{infty }}$ y el electron spin g-factor fueron las constantes físicas más precisamente medidas.

La constante se expresa por hidrógeno como $R_{text{H}}$ , o al límite de la masa nuclear infinita ${displaystyle R_{infty }}$ . En cualquier caso, la constante se utiliza para expresar el valor límite del número de onda más alto (longitud de onda inversa) de cualquier fotón que pueda ser emitido a partir de un átomo de hidrógeno, o, alternativamente, el número de onda del foton de menor energía capaz de ionizar un átomo de hidrógeno de su estado de tierra. La serie espectral de hidrógeno se puede expresar simplemente en términos de la constante Rydberg para hidrógeno $R_{text{H}}$ y la fórmula Rydberg.

En física atómica, la unidad de energía de Rydberg, de símbolo Ry, corresponde a la energía del fotón cuyo número de onda es la constante de Rydberg, es decir, la energía de ionización del átomo de hidrógeno en un modelo simplificado de Bohr.

Valor

Constante de Rydberg

El valor CODATA es

{displaystyle R_{infty }={frac {m_{text{e}}e^{4}}{8varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}

{displaystyle R_{infty }=109737,{text{cm}}^{-1}}

dónde

$m_{text{e}}$ es la masa restante del electrón (es decir, la masa electrones),
$e$ es la carga primaria,
$varepsilon _{0}$ es la autorización del espacio libre,
$h$ es la constante Planck, y
$c$ es la velocidad de la luz en vacío.

La constante de Rydberg para el hidrógeno se puede calcular a partir de la masa reducida del electrón:

{displaystyle R_{text{H}}=R_{infty }{frac {m_{text{p}}}{m_{text{e}}+m_{text{p}}}}approx 1.09678times 10^{7}{text{ m}}^{-1},}

dónde

$m_{text{e}}$ es la masa del electrón,
$m_text{p}$ es la masa del núcleo (un protón).

Unidad Rydberg de energía

La unidad de energía Rydberg es equivalente a julios y electronvoltios de la siguiente manera:

{displaystyle 1 {text{Ry}}equiv hcR_{infty }={frac {m_{text{e}}e^{4}}{8varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}={frac {e^{2}}{8pi varepsilon _{0}a_{0}}}=2.179;872;361;1035(42)times 10^{-18} {text{J}} =13.605;693;122;994(26) {text{eV}}.}

Frecuencia Rydberg

{displaystyle cR_{infty }=3.289;841;960;2508(64)times 10^{15} {text{Hz}}.}

Longitud de onda Rydberg

{displaystyle {frac {1}{R_{infty }}}=9.112;670;505;824(17)times 10^{-8} {text{m}}}

La longitud de onda angular es

{displaystyle {frac {1}{2pi R_{infty }}}=1.450;326;555;7696(28)times 10^{-8} {text{m}}}

Ocurrencia en el modelo de Bohr

El modelo de Bohr explica el espectro atómico del hidrógeno (consulte la serie espectral del hidrógeno), así como varios otros átomos e iones. No es perfectamente preciso, pero es una aproximación notablemente buena en muchos casos, e históricamente desempeñó un papel importante en el desarrollo de la mecánica cuántica. El modelo de Bohr postula que los electrones giran alrededor del núcleo atómico de manera análoga a los planetas que giran alrededor del sol.

En la versión más simple del modelo Bohr, la masa del núcleo atómico se considera infinita en comparación con la masa del electrón, de modo que el centro de masa del sistema, el barícentro, se encuentra en el centro del núcleo. Esta aproximación de masa infinita es a lo que se alude con la $infty$ subscript. El modelo Bohr predice entonces que las longitudes de onda de las transiciones atómicas de hidrógeno son (ver fórmula Rydberg):

{displaystyle {frac {1}{lambda }}=mathrm {Ry} cdot {1 over hc}left({frac {1}{n_{1}^{2}}}-{frac {1}{n_{2}^{2}}}right)={frac {m_{text{e}}e^{4}}{8varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}left({frac {1}{n_{1}^{2}}}-{frac {1}{n_{2}^{2}}}right)}

Donde n₁ y n₂ son dos enteros positivos diferentes (1, 2, 3,...) y $lambda$ es la longitud de onda (en vacío) de la luz emitida o absorbida.

{displaystyle {frac {1}{lambda }}=R_{M}left({frac {1}{n_{1}^{2}}}-{frac {1}{n_{2}^{2}}}right)}

Donde ${displaystyle R_{M}={frac {R_{infty }}{1+{frac {m_{text{e}}}{M}}}},}$ y M es la masa total del núcleo. Esta fórmula proviene de sustituir la masa reducida del electrón.

Medición de precisión

La constante de Rydberg es una de las constantes físicas determinadas con mayor precisión, con una incertidumbre estándar relativa de menos de 2 partes en 10¹². Esta precisión restringe los valores de las demás constantes físicas que la definen.

Puesto que el modelo Bohr no es perfectamente preciso, debido a la estructura fina, la división hiperfina y otros efectos de este tipo, la constante Rydberg $R_{{infty }}$ no puede ser directamente medido a muy alta precisión de las frecuencias de transición atómica de hidrógeno solo. En cambio, la constante Rydberg se infiere de mediciones de frecuencias de transición atómica en tres átomos diferentes (hidrógeno, deuterioomio y helio antiprotónico). Los cálculos teóricos detallados en el marco de la electrodinámica cuántica se utilizan para contabilizar los efectos de la masa nuclear finita, la estructura fina, la división hiperfinante, etc. Finalmente, el valor de $R_{{infty }}$ se determina desde el mejor ajuste de las mediciones a la teoría.

Expresiones alternativas

La constante de Rydberg también se puede expresar como en las siguientes ecuaciones.

R_{infty }={frac {alpha ^{2}m_{{text{e}}}c}{4pi hbar }}={frac {alpha ^{2}}{2lambda _{{{text{e}}}}}}={frac {alpha }{4pi a_{0}}}

y en unidades de energía

{displaystyle {text{Ry}}=hcR_{infty }={frac {1}{2}}m_{text{e}}c^{2}alpha ^{2}={frac {1}{2}}{frac {e^{4}m_{text{e}}}{(4pi varepsilon _{0})^{2}hbar ^{2}}}={frac {1}{2}}{frac {m_{text{e}}c^{2}r_{text{e}}}{a_{0}}}={frac {1}{2}}{frac {hcalpha ^{2}}{lambda _{text{e}}}}={frac {1}{2}}hf_{text{C}}alpha ^{2}={frac {1}{2}}hbar omega _{text{C}}alpha ^{2}={frac {1}{2m_{text{e}}}}left({dfrac {hbar }{a_{0}}}right)^{2}={frac {1}{2}}{frac {e^{2}}{(4pi varepsilon _{0})a_{0}}}.}

dónde

$m_{text{e}}$ es la masa de reposo de electrones,
$e$ es la carga eléctrica del electrón,
$h$ es la constante Planck,
$hbar =h/2pi$ es la reducción Planck constante,
$c$ es la velocidad de la luz en el vacío,
$varepsilon _{0}$ es la constante del campo eléctrico (permittividad) del espacio libre,
${displaystyle alpha ={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {e^{2}}{hbar c}}}$ es la constante de la estructura fina,
$lambda _{{{text{e}}}}=h/m_{{text{e}}}c$ es la longitud de onda Compton del electrón,
$f_{{{text{C}}}}=m_{{{text{e}}}}c^{2}/h$ es la frecuencia Compton del electrón,
$omega _{{{text{C}}}}=2pi f_{{{text{C}}}}$ es la frecuencia angular Compton del electrón,
$a_{0}={frac {4pi varepsilon _{0}hbar ^{2}}{e^{2}m_{{{text{e}}}}}}$ es el radio Bohr,
$r_{{mathrm {e}}}={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}{frac {e^{2}}{m_{{{mathrm {e}}}}c^{2}}}$ es el radio de electrones clásico.

La última expresión de la primera ecuación muestra que la longitud de onda de la luz necesaria para ionizar un átomo de hidrógeno es 4π/α veces el radio de Bohr del átomo.

La segunda ecuación es relevante porque su valor es el coeficiente para la energía de las órbitas atómicas de un átomo de hidrógeno: $E_{n}=-hcR_{infty }/n^{2}$ .

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