Constante de propagación

La constante de propagación de una onda electromagnética sinusoidal es una medida del cambio que sufre la amplitud y la fase de la onda a medida que se propaga en una dirección determinada. La cantidad que se mide puede ser el voltaje, la corriente en un circuito o un vector de campo, como la intensidad del campo eléctrico o la densidad de flujo. La constante de propagación en sí misma mide el cambio por unidad de longitud, pero por lo demás es adimensional. En el contexto de las redes de dos puertos y sus cascadas, la constante de propagación mide el cambio que experimenta la cantidad fuente a medida que se propaga de un puerto al siguiente.

El valor de la constante de propagación se expresa logarítmicamente, casi universalmente en la base e, en lugar de la base 10 más habitual que se usa en telecomunicaciones en otras situaciones. La cantidad medida, como el voltaje, se expresa como un fasor sinusoidal. La fase de la sinusoide varía con la distancia, lo que da como resultado que la constante de propagación sea un número complejo, siendo la parte imaginaria causada por el cambio de fase.

Nombres alternativos

El término "constante de propagación" es algo así como un nombre inapropiado, ya que por lo general varía mucho con ω. Es probablemente el término más utilizado, pero hay una gran variedad de nombres alternativos utilizados por varios autores para esta cantidad. Estos incluyen parámetro de transmisión, función de transmisión, parámetro de propagación, coeficiente de propagación y constante de transmisión. Si se usa el plural, sugiere que se hace referencia a α y β por separado pero de forma colectiva como en parámetros de transmisión, parámetros de propagación< /b>, etc. En la teoría de líneas de transmisión, α y β se cuentan entre los "coeficientes secundarios", el término secundario se utiliza para contrastar con los coeficientes de línea primaria. Los coeficientes primarios son las propiedades físicas de la línea, a saber, R, C, L y G, a partir de las cuales se pueden derivar los coeficientes secundarios utilizando la ecuación del telegrafista. Tenga en cuenta que en el campo de las líneas de transmisión, el término coeficiente de transmisión tiene un significado diferente a pesar de la similitud del nombre: es el compañero del coeficiente de reflexión.

Definición

La constante de propagación, símbolo γ, para un sistema dado se define por la relación de la amplitud compleja en la fuente de la onda a la amplitud compleja a cierta distancia x, tal que,

${displaystyle {frac {f} {fnK}}=e^{gamma x}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {fn}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Dado que la constante de propagación es una cantidad compleja, podemos escribir:

$${displaystyle gamma =alpha +ibeta}$$

dónde

• α, la parte real, se llama la constante de atenuación
• β, la parte imaginaria, se llama constante de fase
• ${fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft {fn}fnMicrosoft Sans Serif}$ más a menudo j se utiliza para circuitos eléctricos.

Que β sí representa la fase se puede ver en la fórmula de Euler:

${displaystyle e^{itheta }= 'cos {theta }+isin {theta }$

que es una sinusoide que varía en fase como θ varía pero no varía en amplitud porque

${displaystyle left habite^{itheta } 'justo de la vida={sqrt {cos } {theta }sin ^{2}{theta }=1}$

La razón para el uso de la base e ahora también se aclara. La constante de fase imaginaria, iβ, se puede agregar directamente a la constante de atenuación, α, para formar un solo número complejo que se puede manejar en una operación matemática siempre que tengan la misma base. Los ángulos medidos en radianes requieren base e, por lo que la atenuación también está en base e.

La constante de propagación para líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de la línea primaria por medio de la relación

${displaystyle gamma = {ZY}}$

dónde

${displaystyle Z=R+i omega L.$ la impedancia de la serie por la longitud de la unidad y,

${displaystyle Y=G+i omega C}$ la admisión de la línea por longitud de unidad.

Onda plana

El factor de propagación de una onda plana que viaja en un medio lineal en la dirección x viene dado por

$${displaystyle P=e^{-gamma x}$$

• ${textstyle gamma =alpha +ibeta ={sqrt {i\omega \mu (sigma +iomega varepsilon)} }$
• ${displaystyle x=}$ distancia viajada en x dirección
• ${displaystyle alpha = }$ constante de atenuación en las unidades de nepers/meter
• ${displaystyle beta = }$ constante de fase en las unidades de radio/metro
• ${displaystyle omega = }$ frecuencia en radios/segundo
• ${displaystyle sigma = }$ conductividad de los medios de comunicación
• ${displaystyle varepsilon =varepsilon '-ivarepsilon ' }$ = la permitividad compleja de los medios de comunicación
• ${displaystyle mu =mu '-i\mu';}$ = permeabilidad compleja de los medios
• ${displaystyle iequiv {sqrt {-1}}$

La convención de signos se elige por coherencia con la propagación en medios con pérdidas. Si la constante de atenuación es positiva, la amplitud de la onda disminuye a medida que la onda se propaga en la dirección x.

La longitud de onda, la velocidad de fase y la profundidad de la piel tienen relaciones simples con los componentes de la constante de propagación:

$${displaystyle lambda ={frac {2pi}{beta }qquad v_{p}={frac {omega }{beta }qquad delta ={frac {1}{alpha }$$

Constante de atenuación

En telecomunicaciones, el término constante de atenuación, también llamado parámetro de atenuación o coeficiente de atenuación, es la atenuación de una onda electromagnética que se propaga a través de un medio por unidad de distancia a la fuente. Es la parte real de la constante de propagación y se mide en nepers por metro. Un neper es de aproximadamente 8,7 dB. La constante de atenuación se puede definir mediante la relación de amplitud

${displaystyle left forever{frac {A_{0}{A_{x}}right imper=e^{alpha x}}$

La constante de propagación por unidad de longitud se define como el logaritmo natural de la relación entre la corriente o el voltaje del extremo de envío y la corriente o el voltaje del extremo de recepción.

Líneas conductoras

La constante de atenuación de las líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de la línea principal, como se muestra arriba. Para una línea que cumple la condición sin distorsión, con una conductancia G en el aislador, la constante de atenuación viene dada por

${displaystyle alpha ={sqrt {R},!}$

Sin embargo, es poco probable que una línea real cumpla con esta condición sin la adición de bobinas de carga y, además, existen algunos efectos dependientes de la frecuencia que operan en las "constantes" que causan una dependencia de la frecuencia de la pérdida. Hay dos componentes principales en estas pérdidas, la pérdida de metal y la pérdida dieléctrica.

La pérdida de la mayoría de las líneas de transmisión está dominada por la pérdida de metal, que provoca una dependencia de la frecuencia debido a la conductividad finita de los metales y el efecto de piel dentro de un conductor. El efecto pelicular hace que R a lo largo del conductor dependa aproximadamente de la frecuencia de acuerdo con

${displaystyle Rpropto {sqrt {omega }$

Las pérdidas en el dieléctrico dependen de la tangente de pérdida (tan δ) del material dividida por la longitud de onda de la señal. Por lo tanto, son directamente proporcionales a la frecuencia.

${displaystyle alpha ¿Qué? }{sqrt {varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{tan delta }$

Fibra óptica

La constante de atenuación para un modo de propagación particular en una fibra óptica es la parte real de la constante de propagación axial.

Constante de fase

En teoría electromagnética, la constante de fase, también llamada constante de cambio de fase, parámetro o coeficiente es el componente imaginaria de la constante de propagación de una onda plana. Representa el cambio de fase por unidad de longitud a lo largo del camino recorrido por la onda en cualquier instante y es igual a la parte real del número de onda angular de la onda. Se representa con el símbolo β y se mide en unidades de radianes por unidad de longitud.

De la definición de número de onda (angular) para ondas TEM en medios sin pérdidas:

${displaystyle k={frac {2ccH00} ♫{lambda }=beta }$

Para una línea de transmisión, la condición de Heaviside de la ecuación del telegrafista nos dice que el número de onda debe ser proporcional a la frecuencia para que la transmisión de la onda no se distorsione en el dominio del tiempo. Esto incluye, entre otros, el caso ideal de una línea sin pérdidas. La razón de esta condición se puede ver si se considera que una señal útil se compone de muchas longitudes de onda diferentes en el dominio de la frecuencia. Para que no haya distorsión de la forma de onda, todas estas ondas deben viajar a la misma velocidad para que lleguen al otro extremo de la línea al mismo tiempo como un grupo. Dado que la velocidad de fase de la onda está dada por

${displaystyle v_{p}={frac {fnMicrode ♫ ¿Qué? - Sí.$

Se demuestra que se requiere que β sea proporcional a ω. En términos de los coeficientes primarios de la línea, de la ecuación del telegrafista para una línea sin distorsión se obtiene la condición

${displaystyle beta =omega {sqrt {LC}}$

donde L y C son, respectivamente, la inductancia y la capacitancia por unidad de longitud de la línea. Sin embargo, sólo se puede esperar que las líneas prácticas cumplan aproximadamente esta condición en una banda de frecuencia limitada.

En particular, la constante de fase ${displaystyle beta }$ no siempre equivale al número de onda ${displaystyle k}$. En términos generales, la siguiente relación

${displaystyle beta =k}$

es compatible con la onda TEM (onda electromagnética transversal) que viaja en el espacio libre o dispositivos TEM como el cable coaxial y las líneas de transmisión de dos cables paralelos. Sin embargo, no es válido para la onda TE (onda eléctrica transversal) y la onda TM (onda magnética transversal). Por ejemplo, en una guía de onda hueca donde la onda TEM no puede existir pero las ondas TE y TM pueden propagarse,

${displaystyle k={frac {omega } {c}}$

${displaystyle beta =k{sqrt {1-{frac {omega {c} {c}} {c}}}} {c}}}} {c}}} {c}} {c}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Aquí. ${displaystyle omega _{c}$ es la frecuencia de corte. En una guía de onda rectangular, la frecuencia de corte es

${displaystyle omega ¿Por qué? - Sí.$

Donde ${displaystyle m,ngeq 0}$ son los números de modo para los lados de longitud del rectángulo ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ respectivamente. Para los modos TE, ${displaystyle m,ngeq 0}$ (pero) ${displaystyle m=n=0}$ no está permitido), mientras que para los modos TM ${displaystyle m,ngeq 1}$.

La velocidad de fase es igual a

${displaystyle v_{p}={frac {omega }{beta - Sí. {1-{frac {omega _{mathrm {c} } {2}{omega - ¿Qué?$

La constante de fase es también un concepto importante en la mecánica cuántica porque el impulso ${displaystyle p}$ de un cuántico es directamente proporcional a él, es decir,

${displaystyle p=hbar beta }$

donde ħ se denomina constante de Planck reducida (pronunciado "h-bar"). Es igual a la constante de Planck dividida por 2π.

Filtros y redes de dos puertos

El término constante de propagación o función de propagación se aplica a filtros y otras redes de dos puertos que se utilizan para el procesamiento de señales. En estos casos, sin embargo, los coeficientes de atenuación y de fase se expresan en términos de nepers y radianes por sección de red en lugar de por unidad de longitud. Algunos autores hacen una distinción entre medidas por unidad de longitud (para las que se usa "constante") y medidas por sección (para las que se usa "función").

La constante de propagación es un concepto útil en el diseño de filtros que invariablemente usa una topología de sección en cascada. En una topología en cascada, la constante de propagación, la constante de atenuación y la constante de fase de las secciones individuales pueden simplemente sumarse para encontrar la constante de propagación total, etc.

Redes en cascada

Tres redes con constantes de propagación arbitraria e impedancias conectadas en cascada. El Z_i términos representan impedancia de imagen y se supone que las conexiones son entre impedancias de imagen coincidentes.

La relación entre el voltaje de salida y el de entrada para cada red viene dada por

${fnMicroc} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}}} {\fn}}} {fn}}} {fnfnfn}}}} {fn}}}}} {fnf}}}}}}} {\fnfnfnfnfnfnfn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\fnH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\cH {fnMicroc {Z_{I1} {fnK}} {fnMicroc {fn}} {fn}} {fnK}}} {fn}}}}}}}}} {fnfnK}} {fnK}}}} {fnK}}}}}}}} ¿Qué?$

${fnMicroc} [V_{2} {V_{3}}={sqrt {fnMicroc {Z_{I2}{Z_{I3}}e^{gamma} ¿Qué?$

${fnMicroc} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}}} {fn}}} {fnfn}}} {fnfn}}} {fnfn}}}} {fnf}}}}} {fnfnf}}}}}}}} {\\fn\\\\\\\\fnfn\fnH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}\\\\\\\fn {fnMicroc {Z_{I3}{Z_{I4}}e^{gamma} ¿Qué?$

Los términos ${fnMicroc} {Z_{In} {Z_{Im}}}} {Z_} {fn}} {fn}}} {f}}}}}}}}} {f}}}} {f}}} {fn}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {Z_}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$ son términos de escalada de impedancia y su uso se explica en el artículo de impedancia de imagen.

La relación de voltaje general está dada por

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Por lo tanto, para n secciones en cascada, todas con impedancias coincidentes una frente a la otra, la constante de propagación general viene dada por

${displaystyle gamma _{mathrm {total} }= _{1}+gamma _{2}+gamma _{3}+cdots ¿Qué?$