Constante de integración

En cálculo, el constante de integración, a menudo denotado por C{displaystyle C} (o c{displaystyle c}), es un término constante añadido a un antiderivativo de una función f()x){displaystyle f(x)} para indicar que la integral indefinida de f()x){displaystyle f(x)} (es decir, el conjunto de todos los antiderivados f()x){displaystyle f(x)}), en un dominio conectado, sólo se define hasta una constante aditiva. Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de antiderivativos.

Más específicamente, si una función f()x){displaystyle f(x)} se define en un intervalo, y F()x){displaystyle F(x)} es un antiderivativo de f()x){displaystyle f(x)}, entonces el conjunto de Todos antiderivados de f()x){displaystyle f(x)} es dada por las funciones F()x)+C{displaystyle F(x)+C}, donde C{displaystyle C} es una constante arbitraria (que significa que cualquiera valor C{displaystyle C} haría F()x)+C{displaystyle F(x)+C} un antiderivativo válido). Por esa razón, la integral indefinida se escribe a menudo como ∫ ∫ f()x)dx=F()x)+C{textstyle int f(x),dx=F(x)+C}, aunque la constante de la integración se puede omitir a veces en listas de integrales para la simplicidad.

Origen

El derivado de cualquier función constante es cero. Una vez que uno ha encontrado un antiderivado F()x){displaystyle F(x)} para una función f()x){displaystyle f(x)}, añadiendo o restando cualquier constante C{displaystyle C} nos dará otro antiderivativo, porque ddx()F()x)+C)=ddxF()x)+ddxC=F.()x)=f()x){fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {f} {fnMicroc} {dx}} {f}=f(x)}}. La constante es una manera de expresar que cada función con al menos un antiderivativo tendrá un número infinito de ellos.

Vamos F:R→ → R{displaystyle F:mathbb {R} to mathbb {R} y G:R→ → R{displaystyle G:mathbb {R} to mathbb {R} ser dos en todas partes diferentes funciones. Supongamos que F.()x)=G.()x){displaystyle F,'(x)=G,'(x)} para cada número real x. Entonces existe un número real C{displaystyle C} tales que F()x)− − G()x)=C{displaystyle F(x)-G(x)=C} para cada número real x.

Para probar esto, note que [F()x)− − G()x)].=0{displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}. Así que... F{displaystyle F} puede ser reemplazado por F− − G{displaystyle F-G}, y G{displaystyle G. por la función constante 0{displaystyle 0}, haciendo el objetivo de probar que una función diferenciable en todas partes cuya derivación es siempre cero debe ser constante:

Elija un número real a{displaystyle a}, y dejar C=F()a){displaystyle C=F(a)}. Para cualquier x, el teorema fundamental del cálculo, junto con la suposición de que el derivado de F{displaystyle F} desaparecidos, implicando que

0=∫ ∫ axF.()t)dt0=F()x)− − F()a)0=F()x)− − CF()x)=C{displaystyle {begin{aligned} {0=int _{a}{x}F'(t) dt\\c0=F(x)-F(a)\\cH0=F(x)-C\cH00(x)=C\end{aligned}}}}}}}}}}

mostrando así F{displaystyle F} es una función constante.

Dos hechos son cruciales en esta prueba. Primero, la línea real está conectada. Si la línea real no estuviera conectada, no siempre sería capaz de integrarse de nuestra línea fija a to any given x. Por ejemplo, si pedimos funciones definidas en la unión de intervalos [0,1] y [2,3], y si a fueron 0, entonces no sería posible integrar de 0 a 3, porque la función no se define entre 1 y 2. Aquí, habrá dos. constantes, una para cada componente conectado del dominio. En general, al reemplazar constantes con funciones locales constantes, podemos extender este teorema a dominios desconectados. Por ejemplo, hay dos constantes de integración para ∫ ∫ dx/x{textstyle int dx/x}, e infinitamente muchos para ∫ ∫ #⁡ ⁡ xdx{textstyle int tan x,dx}, por ejemplo, la forma general de la integral 1/x es:

<math alttext="{displaystyle int {frac {dx}{x}}={begin{cases}ln left|xright|+C^{-}&x0end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∫ ∫ dxx={}In⁡ ⁡ SilencioxSilencio+C− − x.0In⁡ ⁡ SilencioxSilencio+C+x■0{displaystyle int {frac {dx}={begin{cases}ln left torturaxright WordPress+C^{-}{-} {0\lnleft habitxright WordPress+C^{+} {x=0end{cases}}}<img alt="{displaystyle int {frac {dx}{x}}={begin{cases}ln left|xright|+C^{-}&x0end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98664e32a8c09dd1425d5519dca15d1938257f1" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.18ex; height:6.176ex;"/>

Segundo, F{displaystyle F} y G{displaystyle G. se suponía que estaban en todas partes diferentes. Si F{displaystyle F} y G{displaystyle G. no son diferenciables en un punto, entonces el teorema podría fallar. Como ejemplo, dejemos F()x){displaystyle F(x)} ser la función paso Heaviside, que es cero para los valores negativos de x y uno para valores no negativos x, y dejar G()x)=0{displaystyle G(x)=0}. Entonces el derivado de F{displaystyle F} es cero donde se define, y el derivado de G{displaystyle G. es siempre cero. Sin embargo, está claro que F{displaystyle F} y G{displaystyle G. no difieren por una constante, incluso si se supone que F{displaystyle F} y G{displaystyle G. están en todas partes continuas y casi en todas partes diferentes el teorema todavía falla. Como ejemplo, tome F{displaystyle F} ser la función Cantor y otra vez dejar G=0{displaystyle G=0}.

Por ejemplo, supongamos que uno quiere encontrar antiderivados de #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)}. Uno de esos antiderivados es pecado⁡ ⁡ ()x){displaystyle sin(x)}. Otro es pecado⁡ ⁡ ()x)+1{displaystyle sin(x)+1}. Un tercio pecado⁡ ⁡ ()x)− − π π {displaystyle sin(x)-pi }. Cada uno de estos tiene derivados #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)}, así que todos son antiderivativos #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)}.

Resulta que añadir y restar constantes es la única flexibilidad que tenemos en encontrar diferentes antiderivativos de la misma función. Es decir, todos los antiderivados son iguales a una constante. Para expresar este hecho #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)}, escribimos:

∫ ∫ #⁡ ⁡ ()x)dx=pecado⁡ ⁡ ()x)+C.{displaystyle int cos(x),dx=sin(x)+ C.}

Replacing C{displaystyle C} por un número producirá un antiderivativo. Por escrito C{displaystyle C} en lugar de un número, sin embargo, una descripción compacta de todos los posibles antiderivativos #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)} se obtiene. C{displaystyle C} se llama constante de integración. Se determina fácilmente que todas estas funciones son en realidad antiderivativas de #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)}:

ddx[pecado⁡ ⁡ ()x)+C]=ddxpecado⁡ ⁡ ()x)+ddxC=#⁡ ⁡ ()x)+0=#⁡ ⁡ ()x){displaystyle {begin{aligned}{dx}[sin(x)+C] limit={frac {dx}sin(x)+{frac}frac {d} {dx}C\\fnMicrosoft Sans Serif}}}

Necesidad

A primera vista, puede parecer que la constante no es necesaria, ya que se puede establecer en cero. Además, al evaluar integrales definidas utilizando el teorema fundamental del cálculo, la constante siempre se cancelará consigo misma.

Sin embargo, tratar de establecer la constante a cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, 2pecado⁡ ⁡ ()x)#⁡ ⁡ ()x){displaystyle 2sin(x)cos(x)} puede integrarse en al menos tres formas diferentes:

∫ ∫ 2pecado⁡ ⁡ ()x)#⁡ ⁡ ()x)dx=pecado2⁡ ⁡ ()x)+C=− − #2⁡ ⁡ ()x)+1+C=− − 12#⁡ ⁡ ()2x)+12+C∫ ∫ 2pecado⁡ ⁡ ()x)#⁡ ⁡ ()x)dx=− − #2⁡ ⁡ ()x)+C=pecado2⁡ ⁡ ()x)− − 1+C=− − 12#⁡ ⁡ ()2x)− − 12+C∫ ∫ 2pecado⁡ ⁡ ()x)#⁡ ⁡ ()x)dx=− − 12#⁡ ⁡ ()2x)+C=pecado2⁡ ⁡ ()x)+C=− − #2⁡ ⁡ ()x)+C{displaystyle {begin{alignedat}{4}int 2sin(x)cos(x),dx= limitadasin ^{2}(x)+C= limitante-cos ^{2}(x)+1+C= simultáneamente-{2}}cos(2x)+{frac {1}{2}}+C\int 2sin(x)cos(x),dx= lentamente-cos ^{2}(x)+C= limitándosesin ^{2}(x)-1+C= limite-{1}{2}cos(2x)-{frac] {1}{2}}+C\int 2sin(x)cos(x),dx= limitada-{frac {1}{2}}cos(2x)+C= limitándosesin ^{2}(x)+C= limite-cos ^{2}(x)+C\end{alignedat}}}}}}}}}}}}}}}}}

Así que... C{displaystyle C} a cero todavía puede dejar una constante. Esto significa que, para una función dada, no hay "simplest antiderivativo".

Otro problema con el ajuste C{displaystyle C} igual a cero es que a veces queremos encontrar un antiderivativo que tenga un valor dado en un punto dado (como en un problema de valor inicial). Por ejemplo, para obtener el antiderivativo de #⁡ ⁡ ()x){displaystyle cos(x)} que tiene el valor 100 en x = π, entonces sólo un valor C{displaystyle C} trabajará (en este caso C=100{displaystyle C=100}).

Esta restricción se puede reformular en el lenguaje de ecuaciones diferenciales. Encontrar un integral indefinido de una función f()x){displaystyle f(x)} es lo mismo que resolver la ecuación diferencial dSí.dx=f()x){fnMicrosoft}=f(x)}. Cualquier ecuación diferencial tendrá muchas soluciones, y cada constante representa la solución única de un problema de valor inicial bien propuesto. Imposiendo la condición de que nuestro antiderivativo tome el valor 100 a x = π es una condición inicial. Cada condición inicial corresponde a un único valor C{displaystyle C}Así que sin C{displaystyle C} Sería imposible resolver el problema.

Hay otra justificación, proveniente del álgebra abstracta. El espacio de todas (apropiado) funciones de valor real en los números reales es un espacio vectorial, y el operador diferencial ddx{textstyle {frac {dx}} es un operador lineal. El operador ddx{textstyle {frac {dx}} mapea una función a cero si y sólo si esa función es constante. En consecuencia, el núcleo de ddx{textstyle {frac {dx}} es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de integración indefinida equivale a encontrar una imagen previa de una función determinada. No hay preimage canónico para una función determinada, pero el conjunto de todas estas preimágenes forma un conjunto. Elegir una constante es el mismo que elegir un elemento del conjunto. En este contexto, la solución de un problema de valor inicial se interpreta como una mentira en el hiperplano dado por las condiciones iniciales.