Constante de Euler

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Relatos logaritmo y serie armónica

La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni) es una constante matemática, generalmente denotada por la letra griega gamma minúscula ( $γ$ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural, indicada aquí por $log$ :

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=lim _{nto infty }left(-log n+sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}right)\[5px]&=int _{1}^{infty }left(-{frac {1}{x}}+{frac {1}{lfloor xrfloor }}right),dx.end{aligned}}}

Aquí, $⌊ ⌋$ representa la función de suelo.

El valor numérico de la constante de Euler, con 50 decimales, es:

0.57721566490153286060651209008240243104215933593992...

Problema no resuelto en matemáticas:

¿Es irracional constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?

(Problemas más no resueltos en matemáticas)

Historia

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler, titulado De Progressionibus harmonicis observes (Eneström Index 43). Euler usó las notaciones $C$ y $O$ para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones $A$ y $a$ para la constante. La notación $γ$ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior quizás debido a la conexión de la constante a la función gamma. Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider usó la notación $γ$ en 1835 y Augustus De Morgan la usó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842..

Apariciones

La constante de Euler aparece, entre otros lugares, en lo siguiente (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

Expresiones relativas a la integral exponencial*
El Laplace transforma* del logaritmo natural
El primer término de la expansión de la serie Laurent para la función Riemann zeta*, donde es el primero de las constantes Stieltjes*
Cálculos de la función digamma
Una fórmula de producto para la función gamma
La expansión asintotica de la función gamma para pequeños argumentos.
Una desigualdad para la función totiente de Euler
La tasa de crecimiento de la función divisor
En la regularización dimensional de los diagramas Feynman en la teoría del campo cuántico
El cálculo de la constante Meissel-Mertens
El tercero de los teoremas de Mertens*
Solución del segundo tipo a la ecuación de Bessel
En la regularización/renormalización de la serie armónica como valor finito
La media de la distribución Gumbel
La información entropía de las distribuciones Weibull y Lévy, y, implícitamente, de la distribución entre chiscuas para uno o dos grados de libertad.
La respuesta al problema del coleccionista de cupones*
En algunas formulaciones de la ley de Zipf
Una definición de la integral cosina*
Los límites inferiores a una brecha principal
Un límite superior en la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica
Modelo Fisher-Orr para genética de adaptación en biología evolutiva

Propiedades

El número $γ$ no ha sido probado algebraico o trascendental. De hecho, ni siquiera se sabe si $γ$ es irracional. Utilizando un análisis de fracciones continuas, Papanikolaou demostró en 1997 que si $γ$ es racional, su denominador debe ser mayor que 10²⁴⁴⁶⁶³. La ubicuidad de $γ$ revelada por la gran cantidad de ecuaciones a continuación hace que la irracionalidad de $γ$ una gran pregunta abierta en matemáticas.

Sin embargo, se lograron algunos progresos. Kurt Mahler mostró en 1968 que el número ${displaystyle {frac {pi }{2}}{frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-gamma }$ es trascendental (aquí, $J_{alpha }(x)$ y ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ son funciones Bessel). En 2009 Alexander Aptekarev demostró que al menos una de las constantes de Euler $γ$ y la constante Euler–Gompertz $δ$ es irracional; Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos uno de ellos es trascendental. En 2010 M. Ram Murty y N. Saradha mostraron que en la mayoría de los números de la forma

{displaystyle gamma (a,q)=lim _{nrightarrow infty }left(left(sum _{k=0}^{n}{frac {1}{a+kq}}right)-{frac {log {(a+nq})}{q}}right)}

con $q \geq 2$ y $1 \leq a < q$ es algebraico; esta familia incluye el caso especial $γ (2,4) = γ / 4$ . En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene $γ$ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por un número fijo lista de números primos con la misma propiedad.

Relación con la función gamma

$γ$ está relacionado con la función digamma $Ψ$ y, por lo tanto, la derivada de gamma función $Γ$ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Así:

{displaystyle -gamma =Gamma '(1)=Psi (1).}

Esto es igual a los límites:

{displaystyle {begin{aligned}-gamma &=lim _{zto 0}left(Gamma (z)-{frac {1}{z}}right)\&=lim _{zto 0}left(Psi (z)+{frac {1}{z}}right).end{aligned}}}

Otros resultados límite son:

{displaystyle {begin{aligned}lim _{zto 0}{frac {1}{z}}left({frac {1}{Gamma (1+z)}}-{frac {1}{Gamma (1-z)}}right)&=2gamma \lim _{zto 0}{frac {1}{z}}left({frac {1}{Psi (1-z)}}-{frac {1}{Psi (1+z)}}right)&={frac {pi ^{2}}{3gamma ^{2}}}.end{aligned}}}

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma) es

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=lim _{nto infty }left({frac {Gamma left({frac {1}{n}}right)Gamma (n+1),n^{1+{frac {1}{n}}}}{Gamma left(2+n+{frac {1}{n}}right)}}-{frac {n^{2}}{n+1}}right)\&=lim limits _{mto infty }sum _{k=1}^{m}{m choose k}{frac {(-1)^{k}}{k}}log {big (}Gamma (k+1){big)}.end{aligned}}}

Relación con la función zeta

$γ$ también se puede expresar como una suma infinita cuyos términos implican la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=sum _{m=2}^{infty }(-1)^{m}{frac {zeta (m)}{m}}\&=log {frac {4}{pi }}+sum _{m=2}^{infty }(-1)^{m}{frac {zeta (m)}{2^{m-1}m}}.end{aligned}}}

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

{displaystyle {begin{aligned}gamma &={tfrac {3}{2}}-log 2-sum _{m=2}^{infty }(-1)^{m},{frac {m-1}{m}}{big (}zeta (m)-1{big)}\&=lim _{nto infty }left({frac {2n-1}{2n}}-log n+sum _{k=2}^{n}left({frac {1}{k}}-{frac {zeta (1-k)}{n^{k}}}right)right)\&=lim _{nto infty }left({frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}sum _{m=0}^{infty }{frac {2^{mn}}{(m+1)!}}sum _{t=0}^{m}{frac {1}{t+1}}-nlog 2+Oleft({frac {1}{2^{n},e^{2^{n}}}}right)right).end{aligned}}}

El término de error en la última ecuación es una función rápidamente decreciente de $n$ . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.

Otros límites interesantes que igualan la constante de Euler son el límite antisimétrico:

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=lim _{sto 1^{+}}sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{n^{s}}}-{frac {1}{s^{n}}}right)\&=lim _{sto 1}left(zeta (s)-{frac {1}{s-1}}right)\&=lim _{sto 0}{frac {zeta (1+s)+zeta (1-s)}{2}}end{aligned}}}

y la siguiente fórmula, establecida en 1898 por de la Vallée-Poussin:

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }{frac {1}{n}},sum _{k=1}^{n}left(leftlceil {frac {n}{k}}rightrceil -{frac {n}{k}}right)}

donde $⌈ ⌉$ son soportes de techo. Esta fórmula indica que al tomar cualquier número entero positivo $n$ y dividirlo por cada número entero positivo $k$ menor que $n$ , la fracción promedio por la cual el cociente $n / k$ no llega al siguiente entero tiende a $γ$ (en lugar de 0,5) como $n$ tiende a infinito.

Estrechamente relacionado con esto está la expresión de la serie racional zeta. Tomando por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }left(sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}-log n-sum _{m=2}^{infty }{frac {zeta (m,n+1)}{m}}right),}

donde $ζ (s, k)$ es la función zeta de Hurwitz. La suma en esta ecuación involucra los números armónicos, $H n$ . Expandiendo algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz se obtiene:

{displaystyle H_{n}=log(n)+gamma +{frac {1}{2n}}-{frac {1}{12n^{2}}}+{frac {1}{120n^{4}}}-varepsilon}

donde $0 < ε < 1 / 252 n 6 .$

$γ$ también se puede expresar de la siguiente manera donde $A$ es la constante de Glaisher-Kinkelin:

{displaystyle gamma =12,log(A)-log(2pi)+{frac {6}{pi ^{2}}},zeta '(2)}

$γ$ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede probar expresando la función zeta como una serie de Laurent:

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }left(-n+zeta {Bigl (}{frac {n+1}{n}}{bigr)}right)}

Integrales

$γ$ es igual al valor de un número de integrales definidas:

0\&=2int _{0}^{infty }{frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}},dx,\&=int _{0}^{1}H_{x},dx,end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">γ γ =− − ∫ ∫ 0JUEGO JUEGO e− − xlog⁡ ⁡ xdx=− − ∫ ∫ 01log⁡ ⁡ ()log⁡ ⁡ 1x)dx=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO ()1ex− − 1− − 1x⋅ ⋅ ex)dx=∫ ∫ 011− − e− − xxdx− − ∫ ∫ 1JUEGO JUEGO e− − xxdx=∫ ∫ 01()1log⁡ ⁡ x+11− − x)dx=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO ()11+xk− − e− − x)dxx,k■0=2∫ ∫ 0JUEGO JUEGO e− − x2− − e− − xxdx,=∫ ∫ 01Hxdx,{displaystyle {begin{aligned}gamma > ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Qué? {1-e^{-x} {x},dx-int ¿Por qué? ¿Qué? x}+{frac {1} {1-x}right)dx\\fnMicroc {1}{1-x}right)dx\\\\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}right){frac {dx}}quad k]0\=2int ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?0\&=2int _{0}^{infty }{frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}},dx,\&=int _{0}^{1}H_{x},dx,end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f0204781cf4216da5520e93155b17f3fcaea9b" style="vertical-align: -25.005ex; width:39.49ex; height:51.176ex;"/>

donde $H x$ es el número armónico fraccionario.

La tercera fórmula de la lista integral se puede probar de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}&int _{0}^{infty }left({frac {1}{e^{x}-1}}-{frac {1}{xe^{x}}}right)dx=int _{0}^{infty }{frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=int _{0}^{infty }{frac {1}{x[e^{x}-1]}}sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\[2pt]&=int _{0}^{infty }sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=sum _{m=1}^{infty }int _{0}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}int _{0}^{infty }{frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\[2pt]&=sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!zeta (m+1)=sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}zeta (m+1)=sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{m+1}}}=sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{frac {1}{n^{m+1}}}\[2pt]&=sum _{n=1}^{infty }sum _{m=1}^{infty }{frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{frac {1}{n^{m+1}}}=sum _{n=1}^{infty }left[{frac {1}{n}}-log left(1+{frac {1}{n}}right)right]=gamma end{aligned}}}

La integral en la segunda línea de la ecuación representa el valor de la función Debye de $+\infty$ , que es $m! ζ (m + 1)$ .

Las integrales definidas en las que aparece $γ$ incluyen:

{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{infty }e^{-x^{2}}log x,dx&=-{frac {(gamma +2log 2){sqrt {pi }}}{4}}\int _{0}^{infty }e^{-x}log ^{2}x,dx&=gamma ^{2}+{frac {pi ^{2}}{6}}end{aligned}}}

Se puede expresar $γ$ usando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble con series equivalentes:

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=int _{0}^{1}int _{0}^{1}{frac {x-1}{(1-xy)log xy}},dx,dy\&=sum _{n=1}^{infty }left({frac {1}{n}}-log {frac {n+1}{n}}right).end{aligned}}}

Una comparación interesante de Sondow es la integral doble y la serie alterna

{displaystyle {begin{aligned}log {frac {4}{pi }}&=int _{0}^{1}int _{0}^{1}{frac {x-1}{(1+xy)log xy}},dx,dy\&=sum _{n=1}^{infty }left((-1)^{n-1}left({frac {1}{n}}-log {frac {n+1}{n}}right)right).end{aligned}}}

Muestra que $log 4 / π$ se puede considerar como una "constante de Euler alternante".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=sum _{n=1}^{infty }{frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\log {frac {4}{pi }}&=sum _{n=1}^{infty }{frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},end{aligned}}}

donde $N 1 (n)$ y $N 0 (n)$ son el número de 1 y 0, respectivamente, en la expansión base 2 de $n$ .

También tenemos la integral catalana de 1875

{displaystyle gamma =int _{0}^{1}left({frac {1}{1+x}}sum _{n=1}^{infty }x^{2^{n}-1}right),dx.}

Expansiones de la serie

En general,

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }left({frac {1}{1}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+ldots +{frac {1}{n}}-log(n+alpha)right)equiv lim _{nto infty }gamma _{n}(alpha)}

para cualquier $α > - n$ . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de $α$ . En particular, $γ n (1/2)$ exhibe una convergencia mucho más rápida que el expansión convencional $γ n (0)$ . Esto es porque

<math alttext="{displaystyle {frac {1}{2(n+1)}}<gamma _{n}(0)-gamma 12()n+1).γ γ n()0)− − γ γ .12n,{displaystyle {frac {1}{2(n+1)} {gamma _{n}(0)-gamma = {frac {1}{2n}}}<img alt="{displaystyle {frac {1}{2(n+1)}}<gamma _{n}(0)-gamma

mientras

<math alttext="{displaystyle {frac {1}{24(n+1)^{2}}}<gamma _{n}(1/2)-gamma 124()n+1)2.γ γ n()1/2)− − γ γ .124n2.{displaystyle {frac {1}{24(n+1)} {c} {gn} {gn} {cn} {fn}gn}} {fn}}}}} {fn}}} {fnfn} {fnfn}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfn1}}}}}}}}}}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}fn<img alt="{displaystyle {frac {1}{24(n+1)^{2}}}<gamma _{n}(1/2)-gamma

Aún así, existen otras expansiones en serie que convergen más rápidamente que esta; Algunos de éstos se discuten a continuación.

Euler mostró que las siguientes series infinitas se aproximan a $γ$ :

{displaystyle gamma =sum _{k=1}^{infty }left({frac {1}{k}}-log left(1+{frac {1}{k}}right)right).}

La serie para $γ$ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897:

{displaystyle gamma =1-sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {leftlfloor log _{2}krightrfloor }{k+1}}.}

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {leftlfloor log _{2}krightrfloor }{k}}\[5pt]&={tfrac {1}{2}}-{tfrac {1}{3}}+2left({tfrac {1}{4}}-{tfrac {1}{5}}+{tfrac {1}{6}}-{tfrac {1}{7}}right)+3left({tfrac {1}{8}}-{tfrac {1}{9}}+{tfrac {1}{10}}-{tfrac {1}{11}}+cdots -{tfrac {1}{15}}right)+cdotsend{aligned}}}

donde $log 2$ es el logaritmo en base 2 y $⌊ ⌋$ es la función de suelo.

En 1926 encontró una segunda serie:

{displaystyle {begin{aligned}gamma +zeta (2)&=sum _{k=2}^{infty }left({frac {1}{leftlfloor {sqrt {k}}rightrfloor ^{2}}}-{frac {1}{k}}right)\[5pt]&=sum _{k=2}^{infty }{frac {k-leftlfloor {sqrt {k}}rightrfloor ^{2}}{kleftlfloor {sqrt {k}}rightrfloor ^{2}}}\[5pt]&={frac {1}{2}}+{frac {2}{3}}+{frac {1}{2^{2}}}sum _{k=1}^{2cdot 2}{frac {k}{k+2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}sum _{k=1}^{3cdot 2}{frac {k}{k+3^{2}}}+cdots end{aligned}}}

De la expansión de Malmsten-Kummer para el logaritmo de la función gamma obtenemos:

{displaystyle gamma =log pi -4log left(Gamma ({tfrac {3}{4}})right)+{frac {4}{pi }}sum _{k=1}^{infty }(-1)^{k+1}{frac {log(2k+1)}{2k+1}}.}

Una importante expansión de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

{displaystyle gamma =sum _{n=1}^{infty }{frac {|G_{n}|}{n}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{24}}+{frac {1}{72}}+{frac {19}{2880}}+{frac {3}{800}}+cdots}

donde $G n$ son coeficientes de Gregory Esta serie es el caso especial $k = 1$ de las expansiones

{displaystyle {begin{aligned}gamma &=H_{k-1}-log k+sum _{n=1}^{infty }{frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)cdots (k+n-1)}}&&\&=H_{k-1}-log k+{frac {1}{2k}}+{frac {1}{12k(k+1)}}+{frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+cdots &&end{aligned}}}

convergente para $k = 1, 2,...$

Una serie similar con los números de Cauchy de segunda especie $C n$ es

{displaystyle gamma =1-sum _{n=1}^{infty }{frac {C_{n}}{n,(n+1)!}}=1-{frac {1}{4}}-{frac {5}{72}}-{frac {1}{32}}-{frac {251}{14400}}-{frac {19}{1728}}-ldots }

Blagouchine (2018) encontró una generalización interesante de la serie de Fontana-Mascheroni

-1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">γ γ =.. n=1JUEGO JUEGO ()− − 1)n+12n{}↑ ↑ n()a)+↑ ↑ n()− − a1+a)},a■− − 1{displaystyle gamma =sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n+1}{2n}{2n}{2n} {fn}{fn} {fn} {fn} {fn} {fn}fn} {fnfnfn}}}}}} {fn}}}}}}}\\\\fnfnfnfnfnKfnfn}}}fnfnfn9}}}}}\fn\fnfnfn9}}}\\\fn9}}}}}}}}}\\\\fn\fnfnKfnfnK\\fnKfnK\fnK\\\fn}}}}}}} Big {}psi _{n}(a)+psi _{n}{ Grande. {a}{1+a}{f} {f} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} { Grande. Big }, quad a título-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8d8979c96d58a5f0e83728e2b6e8e1120f7021" style="vertical-align: -3.005ex; width:53.821ex; height:7.009ex;"/>

donde $ψ n (a)$ son los polinomios de Bernoulli de el segundo tipo, que están definidos por la función generadora

<math alttext="{displaystyle {frac {z(1+z)^{s}}{log(1+z)}}=sum _{n=0}^{infty }z^{n}psi _{n}(s),qquad |z|z()1+z)slog⁡ ⁡ ()1+z)=.. n=0JUEGO JUEGO zn↑ ↑ n()s),SilenciozSilencio.1,{displaystyle {frac {z(1+z)}{s}{log(1+z)}=sum _{n=0}^{infty }z^{n}psi _{n}(s),qquad Нованыеныеныевальный,}<img alt="{displaystyle {frac {z(1+z)^{s}}{log(1+z)}}=sum _{n=0}^{infty }z^{n}psi _{n}(s),qquad |z|

Para cualquier $a$ racional, esta serie solo contiene términos racionales. Por ejemplo, en $a = 1$ , se convierte en

{displaystyle gamma ={frac {3}{4}}-{frac {11}{96}}-{frac {1}{72}}-{frac {311}{46080}}-{frac {5}{1152}}-{frac {7291}{2322432}}-{frac {243}{100352}}-ldots }

Otras series con los mismos polinomios incluyen estos ejemplos:

-1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">γ γ =− − log⁡ ⁡ ()a+1)− − .. n=1JUEGO JUEGO ()− − 1)n↑ ↑ n()a)n,R R ()a)■− − 1{displaystyle gamma =-log(a+1)-sum ¿Por qué?-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2831952e3e724ccb73874c667a36e9787b3a7483" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.469ex; height:6.843ex;"/>

-1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">γ γ =− − 21+2a{}log⁡ ⁡ .. ()a+1)− − 12log⁡ ⁡ ()2π π )+12+.. n=1JUEGO JUEGO ()− − 1)n↑ ↑ n+1()a)n},R R ()a)■− − 1{displaystyle gamma =-{frac {2}{1+2a}left{log} Gamma (a+1)-{frac {1}{2}log(2pi)+{frac {1}{2}+sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n}psi _{n+1}(a)}{n}}right},qquad Re (a) {1}}{n=1} {n} {n}{n}{n}{n}}}n}}qquadn}n}n}qquadn}n}n}n}n}n}n}n}n}qquadn}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}qquadqquadn}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}-1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7875cbd25243cd666c2b8a666e99a9a0b247c988" style="vertical-align: -3.171ex; width:85.115ex; height:7.509ex;"/>

donde $Γ(a)$ es la función gamma.

Una serie relacionada con el algoritmo de Akiyama-Tanigawa es

{displaystyle gamma =log(2pi)-2-2sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=log(2pi)-2+{frac {2}{3}}+{frac {1}{24}}+{frac {7}{540}}+{frac {17}{2880}}+{frac {41}{12600}}+ldots }

donde $G n (2)$ son los coeficientes de Gregory de segundo orden.

Serie de números primos:

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }left(log n-sum _{pleq n}{frac {log p}{p-1}}right).}

Expansiones asintóticas

$γ$ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde $H n$ es el $n$ ésimo número armónico):

{displaystyle gamma sim H_{n}-log n-{frac {1}{2n}}+{frac {1}{12n^{2}}}-{frac {1}{120n^{4}}}+cdots }

()Euler)

{displaystyle gamma sim H_{n}-log left({n+{frac {1}{2}}+{frac {1}{24n}}-{frac {1}{48n^{2}}}+cdots }right)}

()Negoi)

{displaystyle gamma sim H_{n}-{frac {log n+log(n+1)}{2}}-{frac {1}{6n(n+1)}}+{frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-cdots }

()Cesàro)

La tercera fórmula también se denomina expansión de Ramanujan.

Alabdulmohsin derivó expresiones de forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. Demostró que (Teorema A.1):

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }log n+gamma -H_{n}+{frac {1}{2n}}={frac {log(2pi)-1-gamma }{2}}}

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }log {sqrt {n(n+1)}}+gamma -H_{n}={frac {log(2pi)-1}{2}}-gamma }

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{Big (}log n+gamma -H_{n}{Big)}={frac {log pi -gamma }{2}}}

Exponencial

La constante $e γ$ es importante en teoría de números. Algunos autores denotan esta cantidad simplemente como $γ'$ . $e γ$ es igual al siguiente límite, donde $p n$ es el $n$ ésimo número primo:

{displaystyle e^{gamma }=lim _{nto infty }{frac {1}{log p_{n}}}prod _{i=1}^{n}{frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}

Esto reafirma la tercera parte de Mertens' teoremas El valor numérico de $e γ$ es:

1.78107241799019798523650410310717954916964521430343....

Otros infinitos productos relacionados con $e γ$ incluyen:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {e^{1+{frac {gamma }{2}}}}{sqrt {2pi }}}&=prod _{n=1}^{infty }e^{-1+{frac {1}{2n}}}left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}\{frac {e^{3+2gamma }}{2pi }}&=prod _{n=1}^{infty }e^{-2+{frac {2}{n}}}left(1+{frac {2}{n}}right)^{n}.end{aligned}}}

Estos productos resultan de la función G de Barnes.

Además,

{displaystyle e^{gamma }={sqrt {frac {2}{1}}}cdot {sqrt[{3}]{frac {2^{2}}{1cdot 3}}}cdot {sqrt[{4}]{frac {2^{3}cdot 4}{1cdot 3^{3}}}}cdot {sqrt[{5}]{frac {2^{4}cdot 4^{4}}{1cdot 3^{6}cdot 5}}}cdots }

donde el $n$ ésimo factor es el $(n + 1)$ th raíz de

prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n choose k}}.

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow usando funciones hipergeométricas.

También sostiene que

{displaystyle {frac {e^{frac {pi }{2}}+e^{-{frac {pi }{2}}}}{pi e^{gamma }}}=prod _{n=1}^{infty }left(e^{-{frac {1}{n}}}left(1+{frac {1}{n}}+{frac {1}{2n^{2}}}right)right).}

Fracción continua

La expansión continua de fracciones de $γ$ comienza [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40,...], que no tiene patrón aparente. Se sabe que la fracción continua tiene al menos 475 006 términos, y tiene un número infinito de términos si y solo si $γ$ es irracional.

Generalizaciones

abm(x) γ - x

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

{displaystyle gamma _{alpha }=lim _{nto infty }left(sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{alpha }}}-int _{1}^{n}{frac {1}{x^{alpha }}},dxright),}

para $0 < a < 1$ , con $γ$ como caso especial $α = 1. Esto puede generalizarse aún más a$

{displaystyle c_{f}=lim _{nto infty }left(sum _{k=1}^{n}f(k)-int _{1}^{n}f(x),dxright)}

para alguna función decreciente arbitraria $f$ . Por ejemplo,

{displaystyle f_{n}(x)={frac {(log x)^{n}}{x}}}

da lugar a las constantes de Stieltjes, y

f_{a}(x)=x^{-a}

gamma _{f_{a}}={frac {(a-1)zeta (a)-1}{a-1}}

donde otra vez el límite

{displaystyle gamma =lim _{ato 1}left(zeta (a)-{frac {1}{a-1}}right)}

aparece.

Una generalización del límite bidimensional es la constante de Masser-Gramain.

Constantes de Euler-Lehmer vienen dadas por la suma de los inversos de números en un común clase de módulo:

<math alttext="{displaystyle gamma (a,q)=lim _{xto infty }left(sum _{0γ γ ()a,q)=limx→ → JUEGO JUEGO ().. 0.n≤ ≤ xn↑ ↑ a()modq)1n− − log⁡ ⁡ xq).{displaystyle gamma (a,q)=lim _{xto infty }left(sum _{0 madenleq x atop nequiv a{pmod {q}}{frac}frac {1}{n}-{frac {log x}{q}right).}<img alt="{displaystyle gamma (a,q)=lim _{xto infty }left(sum _{0

Las propiedades básicas son

{displaystyle {begin{aligned}gamma (0,q)&={frac {gamma -log q}{q}},\sum _{a=0}^{q-1}gamma (a,q)&=gamma\qgamma (a,q)&=gamma -sum _{j=1}^{q-1}e^{-{frac {2pi aij}{q}}}log left(1-e^{frac {2pi ij}{q}}right),end{aligned}}}

y si $gcd(a, q) = d$ entonces

{displaystyle qgamma (a,q)={frac {q}{d}}gamma left({frac {a}{d}},{frac {q}{d}}right)-log d.}

Dígitos publicados

Euler inicialmente calculó el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20-22 y 31-32; a partir del dígito 20, calculó...1811209008239 cuando el valor correcto es...0651209008240.

**Expansiones decimales publicadas $γ$**
Fecha	dígitos decimales	Autor
1734	5	Leonhard Euler
1735	15	Leonhard Euler
1781	16	Leonhard Euler
1790	32	Lorenzo Mascheroni, con 20–22 y 31–32 mal
1809	22	Johann G. von Soldner
1811	22	Carl Friedrich Gauss
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai
1857	34	Christian Fredrik Lindman
1861	41	Ludwig Oettinger
1867	49	William Shanks
1871	99	James W.L. Glaisher
1871	101	William Shanks
1877	262	J. C. Adams
1952	328	John William Wrench Jr.
1961	1050	Helmut Fischer y Karl Zeller
1962	1271	Donald Knuth
1962	3566	Dura W. Sweeney
1973	4879	William A. Beyer y Michael S. Waterman
1977	20700	Richard P. Brent
1980	30100	Richard P. Brent & Edwin M. McMillan
1993	172000	Jonathan Borwein
1999	108000000	Patrick Demichel y Xavier Gourdon
13 de marzo de 2009	29844489545	Alexander J. Yee " Raymond Chan
22 de diciembre de 2013	119377958182	Alexander J. Yee
15 de marzo de 2016	160000000000	Peter Trueb
Mayo 18, 2016	250000000000	Ron Watkins
23 de agosto de 2017	477511832674	Ron Watkins
Mayo 26, 2020	600000000100	Seungmin Kim & Ian Cutress

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