Constante de Boltzmann

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constante física relacionada con la energía cinética de partículas con temperatura

La constante de Boltzmann ( $k B$ o $k$ ) es el factor de proporcionalidad que relaciona la energía cinética relativa promedio de las partículas en un gas con la temperatura termodinámica del gas. Ocurre en las definiciones de kelvin y la constante de los gases, y en la ley de radiación de cuerpo negro de Planck y en la fórmula de entropía de Boltzmann, y se usa para calcular el ruido térmico en resistencias. La constante de Boltzmann tiene dimensiones de energía dividida por la temperatura, lo mismo que la entropía. Lleva el nombre del científico austriaco Ludwig Boltzmann.

Como parte de la redefinición de las unidades básicas del SI de 2019, la constante de Boltzmann es una de las siete "constantes definitorias" que han recibido definiciones exactas. Se utilizan en varias combinaciones para definir las siete unidades básicas del SI. La constante de Boltzmann se define como exactamente 1,380649×10⁻²³ J⋅K⁻¹.

Funciones de la constante de Boltzmann

Relaciones entre Boyle's, Charles's, Gay-Lussac's, Avogadro's, combinadas y leyes de gas ideales, con la constante de Boltzmann k_B = RN_A = RN (en cada ley, las propiedades circunscritas son variables y las propiedades no circuncidadas se mantienen constantes)

Macroscópicamente, la ley de los gases ideales establece que, para un gas ideal, el producto de la presión $p$ y el volumen $V$ es proporcional al producto de la cantidad de sustancia $n$ (en moles) y temperatura absoluta $T$ :

{displaystyle pV=nRT,}

donde $R$ es la constante de gas molar (8.31446261815324 J⋅K⁻¹⋅mol ⁻¹). Introduciendo la constante de Boltzmann como la constante de los gases por molécula $k = R / N A$ transforma la ley de los gases ideales en una forma alternativa:

pV=NkT,

donde $N$ es el número de moléculas de gas.

Papel en la equipartición de energía

Dado un sistema termodinámico a una temperatura absoluta $T$ , la energía térmica promedio transportada por cada microscópico grado de libertad en el sistema es $1 / 2 kT$ (es decir, sobre 2.07×10⁻²¹ J, o 0,013 eV, a temperatura ambiente). Esto generalmente es cierto solo para sistemas clásicos con una gran cantidad de partículas y en los que los efectos cuánticos son insignificantes.

En la mecánica estadística clásica, se predice que este promedio se mantendrá exactamente para gases ideales homogéneos. Los gases ideales monoatómicos (los seis gases nobles) poseen tres grados de libertad por átomo, correspondientes a las tres direcciones espaciales. Según la equipartición de energía esto significa que hay una energía térmica de $3 / 2 kT$ por átomo. Esto se corresponde muy bien con los datos experimentales. La energía térmica se puede utilizar para calcular la velocidad cuadrática media de los átomos, que resulta ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica. Las velocidades cuadráticas medias encontradas a temperatura ambiente reflejan esto con precisión, que van desde 1370 m/s para helio, hasta 240 m/s para xenón.

La teoría cinética da la presión promedio $p$ para un gas ideal como

p={frac {1}{3}}{frac {N}{V}}m{overline {v^{2}}}.

Combinación con la ley de los gases ideales

pV=NkT

muestra que la energía cinética de traslación promedio es

{tfrac {1}{2}}m{overline {v^{2}}}={tfrac {3}{2}}kT.

Considerando que el vector de velocidad de movimiento de traslación $v$ tiene tres grados de libertad (uno para cada dimensión) da la energía promedio por grado de libertad igual a un tercio de eso, es decir, $1 / 2 kT$ .

La ecuación de los gases ideales también se cumple fielmente en los gases moleculares; pero la forma de la capacidad calorífica es más complicada, porque las moléculas poseen grados de libertad internos adicionales, así como los tres grados de libertad para el movimiento de la molécula como un todo. Los gases diatómicos, por ejemplo, poseen un total de seis grados de libertad simple por molécula que están relacionados con el movimiento atómico (tres de traslación, dos de rotación y uno de vibración). A temperaturas más bajas, no todos estos grados de libertad pueden participar plenamente en la capacidad calorífica del gas, debido a los límites de la mecánica cuántica sobre la disponibilidad de estados excitados a la energía térmica relevante por molécula.

Papel en los factores de Boltzmann

Más generalmente, los sistemas en equilibrio a la temperatura $T$ tienen probabilidad $P i$ de ocupar un estado $i$ con energía $E$ ponderado por el factor de Boltzmann correspondiente:

P_{i}propto {frac {exp left(-{frac {E}{kT}}right)}{Z}},

donde $Z$ es la función de partición. Nuevamente, es la cantidad similar a la energía $kT$ la que tiene una importancia central.

Las consecuencias de esto incluyen (además de los resultados anteriores para los gases ideales) la ecuación de Arrhenius en cinética química.

Papel en la definición estadística de entropía

La tumba de Boltzmann en el Zentralfriedhof, Viena, con fórmula de busto y entropía.

En mecánica estadística, la entropía $S$ de un sistema aislado en equilibrio termodinámico se define como el logaritmo natural de $W$ , el número de estados microscópicos distintos disponibles para el sistema dadas las restricciones macroscópicas (como una energía total fija $E$ ):

S=k,ln W.

Esta ecuación, que relaciona los detalles microscópicos, o microestados, del sistema (a través de $W$ ) con su estado macroscópico (a través de la entropía $S$ ), es la idea central de la mecánica estadística. Tal es su importancia que está inscrito en la lápida de Boltzmann.

La constante de proporcionalidad $k$ sirve para igualar la entropía mecánica estadística a la entropía termodinámica clásica de Clausius:

Delta S=int {frac {{rm {d}}Q}{T}}.

Se podría elegir en su lugar una entropía adimensional reescalada en términos microscópicos tal que

{S'=ln W},quad Delta S'=int {frac {mathrm {d} Q}{kT}}.

Esta es una forma más natural y esta entropía reescalada corresponde exactamente a la entropía de información posterior de Shannon.

La energía característica $kT$ es, por tanto, la energía necesaria para aumentar la entropía reescalada en un nat.

La tensión térmica

En los semiconductores, la ecuación del diodo de Shockley (la relación entre el flujo de corriente eléctrica y el potencial electrostático a través de una unión p-n) depende de un voltaje característico llamado voltaje térmico, indicado por $V T$ . El voltaje térmico depende de la temperatura absoluta $T$ como

{displaystyle V_{mathrm {T} }={kT over q},}

q

1.602176634×10⁻¹⁹C

{displaystyle {V_{mathrm {T} } over T}={k over q}approx 8.61733034times 10^{-5} mathrm {V/K}.}

A temperatura ambiente de 300 K (27 °C; 80 °F), $V T$ es aproximadamente 25,85 mV que se puede derivar ingresando los valores de la siguiente manera:

{displaystyle V_{mathrm {T} }={kT over q}={frac {1.38times 10^{-23} mathrm {J{cdot }K^{-1}} times 300 mathrm {K} }{1.6times 10^{-19} mathrm {C} }}simeq 25.85 mathrm {mV} }

A la temperatura de estado estándar de 298,15 K (25,00 °C; 77,00 °F), es aproximadamente 25,69 mV. El voltaje térmico también es importante en plasmas y soluciones de electrolitos (por ejemplo, la ecuación de Nernst); en ambos casos proporciona una medida de cuánto se ve afectada la distribución espacial de electrones o iones por un límite mantenido a un voltaje fijo.

Historia

La constante de Boltzmann lleva el nombre de su descubridor austriaco del siglo XIX, Ludwig Boltzmann. Aunque Boltzmann vinculó por primera vez la entropía y la probabilidad en 1877, la relación nunca se expresó con una constante específica hasta que Max Planck introdujo por primera vez $k$ , y le dio un valor más preciso (1.346×10⁻²³ J/K, aproximadamente un 2,5 % más bajo que la cifra actual), en su derivación de la ley de black- radiación corporal en 1900-1901. Antes de 1900, las ecuaciones que involucraban factores de Boltzmann no se escribían usando las energías por molécula y la constante de Boltzmann, sino usando una forma de la constante de los gases $R$ , y energías macroscópicas para cantidades macroscópicas de la sustancia. La forma concisa icónica de la ecuación $S = k ln W$ en Boltzmann' De hecho, la lápida se debe a Planck, no a Boltzmann. Planck en realidad lo introdujo en el mismo trabajo que su epónimo h.

En 1920, Planck escribió en su discurso del Premio Nobel:

Esta constante se conoce a menudo como la constante de Boltzmann, aunque, a mi conocimiento, el propio Boltzmann nunca la introdujo, un estado peculiar de los asuntos, que puede explicarse por el hecho de que Boltzmann, como aparece de sus declaraciones ocasionales, nunca pensó en la posibilidad de realizar una medición exacta de la constante.

Este "estado de cosas peculiar" se ilustra con referencia a uno de los grandes debates científicos de la época. Hubo un desacuerdo considerable en la segunda mitad del siglo XIX sobre si los átomos y las moléculas eran reales o si eran simplemente una herramienta heurística para resolver problemas. No hubo acuerdo sobre si las moléculas químicas, medidas por pesos atómicos, eran lo mismo que las moléculas físicas, medidas por la teoría cinética. La conferencia de Planck de 1920 continuó:

Nada puede ilustrar mejor el ritmo positivo y ágil del progreso que el arte de los experimentadores ha realizado en los últimos veinte años, que el hecho de que desde entonces, no sólo uno, sino un gran número de métodos se han descubierto para medir la masa de una molécula con prácticamente la misma precisión que la que se logró para un planeta.

En las versiones del SI anteriores a la redefinición de las unidades básicas del SI en 2019, la constante de Boltzmann era una cantidad medida en lugar de un valor fijo. Su definición exacta también varió a lo largo de los años debido a las redefiniciones del kelvin (ver Kelvin § Historia) y otras unidades básicas del SI (ver Joule § Historia).

En 2017, las medidas más precisas de la constante de Boltzmann se obtuvieron mediante termometría acústica de gases, que determina la velocidad del sonido de un gas monoatómico en una cámara elipsoide triaxial mediante microondas y resonancias acústicas. Este esfuerzo de una década fue realizado con diferentes técnicas por varios laboratorios; es una de las piedras angulares de la redefinición de 2019 de las unidades base SI. Con base en estas medidas, CODATA recomendó 1.380649×10⁻²³ J/K para ser el final valor fijo de la constante de Boltzmann que se utilizará para el Sistema Internacional de Unidades.

Valor en diferentes unidades

Valores de $k$	Unidades	Comentarios
1.380649×10^{,23 a 23}	J/K	SI por definición, J/K = m²⋅kg/(s)²⋅K) in SI base units
8.617333262×10^{; 5 -}	eV/K
2.083661912×10¹⁰	Hz/K	() $k / h$ )
1.380649×10⁻¹⁶	erg/K	Sistema CGS, 1 erg = 1×10⁻⁷J
3.297623483×10⁻²⁴⁻	cal/K	1 calorías = 4.1868 J
1.832013046×10⁻²⁴⁻	cal/°R
5.657302466×10⁻²⁴⁻	ft lb/°R
0.695034800	cm-1/K	() $k /(hc)$ )
3.166811563×10⁻⁶	E_h/K	()E_h = artree)
1.987204259×10⁻³	kcal/(mol⋅K)	() $kN A$ )
8.314462618×10⁻³	kJ/(mol⋅K)	() $kN A$ )
−228.5991672	dB(W/K/Hz)	$10 log 10 () k /(1 W/K/Hz))$ , utilizado para cálculos de ruido térmico
1.536179187×10⁻⁴⁰	kg/K	En unidades geometrizadas, $k / c 2$ Donde c es la velocidad de la luz

Dado que $k$ es un factor de proporcionalidad entre la temperatura y la energía, su valor numérico depende de la elección de las unidades de energía y temperatura. El pequeño valor numérico de la constante de Boltzmann en unidades SI significa que un cambio en la temperatura de 1 K solo cambia la energía de una partícula en una pequeña cantidad. Un cambio de 1 °C se define como lo mismo que un cambio de 1 K. La energía característica $kT$ es un término que se encuentra en muchas relaciones físicas.

La constante de Boltzmann establece una relación entre la longitud de onda y la temperatura (dividir hc/k por una longitud de onda da una temperatura) con un micrómetro relacionado con 14387.777 K, y también una relación entre el voltaje y la temperatura (multiplicando el voltaje por k en unidades de eV/K) con un voltio relacionado con 11604.518 K. La relación de estas dos temperaturas, 14387.777 K / 11 604.518 K ≈ 1.239842, es el valor numérico de hc en unidades de eV⋅μm.

Unidades naturales

La constante de Boltzmann proporciona un mapeo de esta energía microscópica característica $E$ a la escala de temperatura macroscópica $T = E / k$ . En la física fundamental, este mapeo a menudo se simplifica mediante el uso de las unidades naturales de establecer $k$ en la unidad. Esta convención significa que las cantidades de temperatura y energía tienen las mismas dimensiones. En particular, la unidad SI kelvin se vuelve superflua, siendo definida en términos de joules como $1 K = 1.380649\times10 -23 J$ . Con esta convención, la temperatura siempre se da en unidades de energía y la constante de Boltzmann no se necesita explícitamente en las fórmulas.

Esta convención simplifica muchas relaciones físicas y fórmulas. Por ejemplo, la fórmula de equiparación para la energía asociada a cada grado clásico de libertad ( ${displaystyle {tfrac {1}{2}}kT}$ arriba)

{displaystyle E_{mathrm {dof} }={tfrac {1}{2}}T}

Como otro ejemplo, la definición de entropía termodinámica coincide con la forma de entropía de la información:

{displaystyle S=-sum _{i}P_{i}ln P_{i}.}

donde $P i$ es la probabilidad de cada microestado.