Consistencia

En la lógica deductiva clásica, una coherente La teoría es una que no conduce a una contradicción lógica. La falta de contradicción puede definirse en términos semánticos o sintácticos. La definición semántica establece que una teoría es consistente si tiene un modelo, es decir, existe una interpretación bajo la cual todas las fórmulas de la teoría son verdaderas. Este es el sentido utilizado en la lógica tradicional aristotélica, aunque en la lógica matemática contemporánea el término satisfizo se utiliza en su lugar. La definición sintáctica establece una teoría ${displaystyle T}$ es consistente si no hay fórmula ${displaystyle varphi }$ tal que ambos ${displaystyle varphi }$ y su negación ${displaystyle lnot varphi }$ son elementos del conjunto de consecuencias de ${displaystyle T}$. Vamos ${displaystyle A}$ ser un conjunto de oraciones cerradas (informally "axioms") y ${displaystyle langle Arangle }$ el conjunto de oraciones cerradas provables de ${displaystyle A}$ bajo algunos (especificado, posiblemente implícitamente) sistema deductivo formal. El conjunto de axiomas ${displaystyle A}$ es coherente cuando ${displaystyle varphilnot varphi in langle Arangle }$ para ninguna fórmula ${displaystyle varphi }$.

Si existe un sistema deductivo para el cual estas definiciones semánticas y sintácticas son equivalentes para cualquier teoría formulada en una lógica deductiva particular, la lógica se llama completa. Paul Bernays en 1918 y Emil Post en 1921 probaron la completitud del cálculo de oraciones, mientras que Kurt Gödel en 1930 probó la completitud del cálculo de predicados, y Ackermann probó las pruebas de consistencia para la aritmética restringida con respecto al esquema del axioma de inducción. (1924), von Neumann (1927) y Herbrand (1931). Las lógicas más fuertes, como la lógica de segundo orden, no están completas.

Una prueba de consistencia es una prueba matemática de que una teoría en particular es consistente. El desarrollo temprano de la teoría de la prueba matemática fue impulsado por el deseo de proporcionar pruebas de consistencia finita para todas las matemáticas como parte del programa de Hilbert. El programa de Hilbert se vio fuertemente afectado por los teoremas de incompletitud, que mostraban que las teorías de prueba suficientemente sólidas no pueden probar su propia consistencia (siempre que sean de hecho consistentes).

Aunque la consistencia se puede probar mediante la teoría de modelos, a menudo se hace de forma puramente sintáctica, sin necesidad de hacer referencia a algún modelo de la lógica. La eliminación por corte (o, de manera equivalente, la normalización del cálculo subyacente, si lo hay) implica la consistencia del cálculo: dado que no hay prueba de falsedad sin corte, no hay contradicción en general.

Coherencia y completitud en aritmética y teoría de conjuntos

En las teorías de la aritmética, como la aritmética de Peano, existe una relación intrincada entre la consistencia de la teoría y su integridad. Una teoría es completa si, para cada fórmula φ en su lenguaje, al menos una de φ o ¬φ es una consecuencia lógica de la teoría.

La aritmética de Presburger es un sistema de axiomas para los números naturales bajo suma. Es consistente y completo.

Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que cualquier teoría de la aritmética recursivamente enumerable suficientemente fuerte no puede ser completa y consistente. El teorema de Gödel se aplica a las teorías de la aritmética de Peano (PA) y la aritmética recursiva primitiva (PRA), pero no a la aritmética de Presburger.

Además, el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que la consistencia de teorías aritméticas recursivamente enumerables suficientemente fuertes se puede probar de una manera particular. Tal teoría es consistente si y solo si no prueba una oración en particular, llamada la oración de Gödel de la teoría, que es una declaración formalizada de la afirmación de que la teoría es de hecho consistente. Por lo tanto, la consistencia de una teoría de la aritmética suficientemente fuerte, recursivamente enumerable y consistente nunca puede probarse en ese sistema mismo. El mismo resultado es cierto para las teorías recursivamente enumerables que pueden describir un fragmento de aritmética lo suficientemente fuerte, incluidas las teorías de conjuntos como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Estas teorías de conjuntos no pueden probar su propia oración de Gödel, siempre que sean consistentes, lo que generalmente se cree.

Debido a que la consistencia de ZF no se puede probar en ZF, la noción más débil relative la consistencia es interesante en la teoría de conjuntos (y en otros sistemas axiomáticos suficientemente expresivos). Si T es una teoría y A es un axioma adicional, se dice que T + A son consistentes en relación con T (o simplemente que A es consistente con T) si se puede probar que si T es consistente entonces T + A es consistente. Si tanto A como ¬A son consistentes con T, entonces se dice que A es independiente de T.

Lógica de primer orden

Notación

${displaystyle vdash }$ (Símbolo turntil) en el siguiente contexto de la lógica matemática, significa "provable de". Eso es, ${displaystyle avdash b}$ reads: b es prable de a (en algún sistema formal especificado). Ver Lista de símbolos lógicos. En otros casos, el símbolo de vuelta puede significar implica; permite la derivación de. Véase: Lista de símbolos matemáticos.

Definición

• Un conjunto de fórmulas ${displaystyle Phi }$ en la lógica de primer orden coherente (written ${displaystyle operatorname {Con} Phi }$Si no hay fórmula ${displaystyle varphi }$ tales que ${displaystyle Phi vdash varphi }$ y ${displaystyle Phi vdash lnot varphi }$. De lo contrario ${displaystyle Phi }$ es inconsistentes (written ${displaystyle operatorname {Inc} Phi }$).
• ${displaystyle Phi }$ se dice que simplemente consistente si para ninguna fórmula ${displaystyle varphi }$ de ${displaystyle Phi }$, ambos ${displaystyle varphi }$ y la negación de ${displaystyle varphi }$ son teoremas de ${displaystyle Phi }$.
• ${displaystyle Phi }$ se dice que absolutamente consistente o Puestos coherentes si al menos una fórmula en el lenguaje ${displaystyle Phi }$ no es un teorema de ${displaystyle Phi }$.
• ${displaystyle Phi }$ se dice que maximalmente consistente si ${displaystyle Phi }$ es consistente y para cada fórmula ${displaystyle varphi }$, ${displaystyle operatorname {Con} (Phi cup {varphi })}$ implicación ${displaystyle varphi in Phi }$.
• ${displaystyle Phi }$ se dice que con los testigos si por cada fórmula de la forma ${displaystyle exists x,varphi }$ existe un término ${displaystyle t}$ tales que ${displaystyle (exists x,varphi to varphi {t over x})in Phi }$, donde ${displaystyle varphi {t over x}$ denota la sustitución de cada ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle varphi }$ por a ${displaystyle t}$; ver también la lógica de primer orden.

Resultados básicos

1. Los siguientes son equivalentes:
   1. ${displaystyle operatorname {Inc} Phi }$
   2. Para todos ${displaystyle varphi; Phi vdash varphi.}$
2. Cada conjunto satisfecha de fórmulas es consistente, donde un conjunto de fórmulas ${displaystyle Phi }$ es satisfizo si y sólo si existe un modelo ${displaystyle {fnK}}$ tales que ${displaystyle {Mathfrak}vDash Phi }$.
3. Para todos ${displaystyle Phi }$ y ${displaystyle varphi }$:
   1. si no ${displaystyle Phi vdash varphi }$, entonces ${displaystyle operatorname {Con} left(Phi cup {lnot varphi }right)}$;
   2. si ${displaystyle operatorname {Con} Phi }$ y ${displaystyle Phi vdash varphi }$, entonces ${displaystyle operatorname {Con} left(Phi cup {varphi }right)}$;
   3. si ${displaystyle operatorname {Con} Phi }$, entonces ${displaystyle operatorname {Con} left(Phi cup {varphi }right)}$ o ${displaystyle operatorname {Con} left(Phi cup {lnot varphi }right)}$.
4. Vamos ${displaystyle Phi }$ ser un conjunto máximo consistente de fórmulas y supone que contiene testigos. Para todos ${displaystyle varphi }$ y ${displaystyle psi }$:
   1. si ${displaystyle Phi vdash varphi }$, entonces ${displaystyle varphi in Phi }$,
   2. o ${displaystyle varphi in Phi }$ o ${displaystyle lnot varphi in Phi }$,
   3. ${displaystyle (varphi lor psi)in Phi }$ si ${displaystyle varphi in Phi }$ o ${displaystyle psi in Phi }$,
   4. si ${displaystyle (varphi to psi)in Phi }$ y ${displaystyle varphi in Phi }$, entonces ${displaystyle psi in Phi }$,
   5. ${displaystyle exists x,varphi in Phi }$ si y sólo si hay un término ${displaystyle t}$ tales que ${displaystyle varphi {t over x}in Phi }$.

Teorema de Henkin

Vamos ${displaystyle S.$ ser un juego de símbolos. Vamos ${displaystyle Phi }$ ser un conjunto de máxima coherencia ${displaystyle S.$- aformulas que contienen testigos.

Definir una relación de equivalencia ${displaystyle sim }$ sobre el conjunto de ${displaystyle S.$- plazos por ${displaystyle T_{0}sim T_{1}$ si ${displaystyle ;t_{0}equiv t_{1}in Phi }$, donde ${displaystyle equiv }$ denota la igualdad. Vamos ${displaystyle {fn}}}$ denota la clase de equivalencia de términos que contienen ${displaystyle t}$; y ${displaystyle T. Phi }:={;{overline {T}mid tin T^{S}}$ Donde ${displaystyle T^{S}$ es el conjunto de términos basados en el conjunto de símbolos ${displaystyle S.$.

Define el ${displaystyle S.$-estructura ${displaystyle {Mathfrak {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif}$ sobre ${displaystyle T. Phi$, también llamado el term-estructura correspondiente a ${displaystyle Phi }$, por:

1. para cada uno ${displaystyle n}$- Símbolo de relación ${displaystyle Rin S}$, definir ${displaystyle R^{{Mathfrak {T} {fn} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}}}}} { {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {}}$ si ${displaystyle ;Rt_{0}ldots t_{n-1}in Phi;}$
2. para cada uno ${displaystyle n}$- Símbolo de función ${displaystyle fin S}$, definir ${displaystyle f^{Mathfrak {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fn}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft} {f}}} {f}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}}}} {\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrob}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}}={fn0}ldots.$
3. para cada símbolo constante ${displaystyle cin S}$, definir ${displaystyle c^{mthfrak {T}_{Phi}={overline {c}}$

Definir una asignación variable ${displaystyle beta _{Phi }$ por ${displaystyle beta _{Phi }(x):={bar {x}}$ para cada variable ${displaystyle x}$. Vamos ${displaystyle {\fnK}_{\fnMicrosoft} Phi... {T}_{Phi },beta _{Phi }}$ ser el interpretación asociado con ${displaystyle Phi }$.

Entonces para cada uno ${displaystyle S.$-formula ${displaystyle varphi }$:

${displaystyle {\fnK}_{\fnMicrosoft} Phi }vDash varphi }$ si ${displaystyle ;varphi in Phi.}$

Bosquejo de prueba

Hay varias cosas que verificar. Primero, eso ${displaystyle sim }$ es de hecho una relación de equivalencia. Entonces, hay que verificar que (1), (2) y (3) están bien definidos. Esto se desprende del hecho de que ${displaystyle sim }$ es una relación de equivalencia y también requiere una prueba de que (1) y (2) son independientes de la elección de ${displaystyle t_{0},ldotst_{n-1}$ representantes de clase. Finalmente, ${displaystyle {\fnK}_{\fnMicrosoft} Phi }vDash varphi }$ puede ser verificada por inducción en fórmulas.

Teoría de modelos

En la teoría de conjunto ZFC con la lógica clásica de primer orden, una inconsistentes teoría ${displaystyle T}$ es una de tales que existe una sentencia cerrada ${displaystyle varphi }$ tales que ${displaystyle T}$ contiene ambos ${displaystyle varphi }$ y su negación ${displaystyle varphi}$. A coherente la teoría es una tal que las siguientes condiciones lógicamente equivalentes mantienen

1. ${displaystyle {varphivarphi '}not subseteq T}$
2. ${displaystyle varphi 'not in Tlor varphi not in T}$