Conmutador

En matemáticas, el conmutador da una indicación de hasta qué punto una determinada operación binaria no es conmutativa. Existen diferentes definiciones utilizadas en la teoría de grupos y la teoría de anillos.

Teoría de grupos

El conmutador de dos elementos, g y h, de un grupo G, es el elemento

[g, h= g⁻¹h⁻¹gh.

Este elemento es igual a la identidad del grupo si y solo si g y h conmutar (de la definición gh = hg [g, h], siendo [g, h] igual a la identidad si y solo si gh = hg).

El conjunto de todos los conmutadores de un grupo en general no es cerrado bajo la operación de grupo, pero el subgrupo de G generado por todos los conmutadores es cerrado y se denomina grupo derivado o el subgrupo de conmutadores de G. Los conmutadores se utilizan para definir grupos nilpotentes y solubles y el grupo de cociente abeliano más grande.

La definición de conmutador anterior se usa a lo largo de este artículo, pero muchos otros teóricos de grupos definen el conmutador como

[g, h= ghg⁻¹h⁻¹.

Identidades (teoría de grupos)

Las identidades de conmutador son una herramienta importante en la teoría de grupos. La expresión a^x denota el conjugado de a por x, definida como x⁻¹ax.

1. xSí.=x[x,Sí.].{displaystyle x^{y}=x[x,y].}
2. [Sí.,x]=[x,Sí.]− − 1.{displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}
3. [x,zSí.]=[x,Sí.]⋅ ⋅ [x,z]Sí.{displaystyle [x,zy]=[x,y]cdot [x,z]^{y} y [xz,Sí.]=[x,Sí.]z⋅ ⋅ [z,Sí.].{displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}cdot [z,y].}
4. [x,Sí.− − 1]=[Sí.,x]Sí.− − 1{displaystyle left[x,y^{-1}right]=[y,x]^{y^{-1}} y [x− − 1,Sí.]=[Sí.,x]x− − 1.{displaystyle left[x^{-1},yright]=[y,x]^{x^{-1}}
5. [[x,Sí.− − 1],z]Sí.⋅ ⋅ [[Sí.,z− − 1],x]z⋅ ⋅ [[z,x− − 1],Sí.]x=1{displaystyle left[left[x,y^{-1}right],zright]^{y}cdot left[left[y,z^{-1}right],xright]^{z}cdot left[z,x^{-1}right],yright] y [[x,Sí.],zx]⋅ ⋅ [[z,x],Sí.z]⋅ ⋅ [[Sí.,z],xSí.]=1.{displaystyle left[left[x,yright],z^{x}right]cdot left[[z,x],y^{z}right]cdot left[y,z],x^{y}=1.}

La identidad (5) también se conoce como la identidad de Hall-Witt, en honor a Philip Hall y Ernst Witt. Es un análogo de teoría de grupos de la identidad de Jacobi para el conmutador de teoría de anillos (ver la siguiente sección).

N.B., la definición anterior del conjugado a por x es utilizado por algunos teóricos del grupo. Muchos otros teóricos del grupo definen el conjugado a por x como xax⁻¹. Esto a menudo se escribe xa{displaystyle {}{x}a}. Estas convenciones tienen identidades similares.

Se utilizan muchas identidades que son verdaderas módulo ciertos subgrupos. Estos pueden ser particularmente útiles en el estudio de grupos solubles y grupos nilpotentes. Por ejemplo, en cualquier grupo, las segundas potencias se comportan bien:

()xSí.)2=x2Sí.2[Sí.,x][[Sí.,x],Sí.].{displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][y,x],y].}

Si el subgrupo derivado es central, entonces

()xSí.)n=xnSí.n[Sí.,x]()n2).{displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{binom {n}{2}.}

Teoría de anillos

Los anillos a menudo no admiten la división. Así, el conmutador de dos elementos a y b de un anillo (o cualquier álgebra asociativa) se define de manera diferente por

[a,b]=ab− − ba.{displaystyle [a,b]=ab-ba.}

El conmutador es cero si y solo si a y b conmutan. En álgebra lineal, si dos endomorfismos de un espacio se representan mediante matrices conmutativas en términos de una base, entonces se representan en términos de todas las bases. Al usar el conmutador como un corchete de mentira, cada álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de mentira.

El anticonmutador de dos elementos a y b de un anillo o álgebra asociativa se define por

{}a,b}=ab+ba.{displaystyle {a,b}=ab+ba.}

A veces. [a,b]+{displaystyle [a,b]_{+} se utiliza para denotar anticommutador, mientras [a,b]− − {displaystyle [a,b] se utiliza para el conmutador. El anticommutador se utiliza menos a menudo, pero se puede utilizar para definir álgebras Clifford y álgebras Jordan y en la derivación de la ecuación Dirac en la física de partículas.

El conmutador de dos operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert es un concepto central en la mecánica cuántica, ya que cuantifica qué tan bien se pueden medir simultáneamente los dos observables descritos por estos operadores. El principio de incertidumbre es, en última instancia, un teorema sobre tales conmutadores, en virtud de la relación Robertson-Schrödinger. En el espacio de fases, los conmutadores equivalentes de productos estrella de funciones se denominan corchetes de Moyal y son completamente isomorfos a las estructuras de conmutadores espaciales de Hilbert mencionadas.

Identidades (teoría del anillo)

El conmutador tiene las siguientes propiedades:

Identidades de álgebra de mentira

1. [A+B,C]=[A,C]+[B,C]{displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]
2. [A,A]=0{displaystyle [A,A]=0}
3. [A,B]=− − [B,A]{displaystyle [A,B]=-[B,A]
4. [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0{displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]+[C,[A,B]=0}

La relación (3) se llama anticonmutatividad, mientras que (4) es la identidad de Jacobi.

Identidades adicionales

1. [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]{displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]
2. [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]{displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]
3. [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]{displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}
4. [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B{displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
5. [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC{displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}
6. [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD{displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}
7. [A,B+C]=[A,B]+[A,C]{displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]
8. [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]{displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}
9. [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B{displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}
10. [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]{displaystyle [[A,C],[B,D]=[[A,B],C],D]+[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}

Si A es un elemento fijo de un anillo R, la identidad (1) se puede interpretar como una regla Leibniz para el mapa adA:R→ → R{displaystyle operatorname {ad} ¿Qué? R. dado por adA⁡ ⁡ ()B)=[A,B]{displaystyle operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]. En otras palabras, el anuncio del mapa_A define una derivación en el anillo R. Las identidades (2), (3) representan reglas de Leibniz por más de dos factores, y son válidas para cualquier derivación. Las identidades (4)–(6) también pueden interpretarse como reglas de Leibniz. Identidades (7), (8) expresas Z- Bilinearidad.

Algunas de las identidades anteriores se pueden extender al anticonmutador utilizando la notación de subíndice ± anterior. Por ejemplo:

1. [AB,C]± ± =A[B,C]− − +[A,C]± ± B{displaystyle [AB,C]_{pm }=A[B,C]_{-}+[ A,C.
2. [AB,CD]± ± =A[B,C]− − D+AC[B,D]− − +[A,C]− − DB+C[A,D]± ± B{displaystyle [AB,CD]_{pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{pm }B}
3. [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]+,A]+,D]− − [[[B,D]+,A]+,C]+[[[A,D]+,B]+,C]− − [[[A,C]+,B]+,D][[A,B], [C,D]= [[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[A,D]_{+},B]_{+},C] [[A,C]_{+},B]
4. [A,[B,C]± ± ]+[B,[C,A]± ± ]+[C,[A,B]± ± ]=0{displaystyle left[A,[B,C]_{pm }right]+left[B,[C,A]_{pm }right]+left[C,[A,B]_{pm }right]=0}
5. [A,BC]± ± =[A,B]− − C+B[A,C]± ± {displaystyle [A,BC]_{pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{pm }
6. [A,BC]=[A,B]± ± C∓ ∓ B[A,C]± ± {displaystyle [A,BC]=[A,B]_{pm Cmp B[A,C]

Identidades exponenciales

Considere un anillo o álgebra en el que el exponencial eA=exp⁡ ⁡ ()A)=1+A+12!A2+⋯ ⋯ {displaystyle e^{A}=exp(A)=1+A+{tfrac {1}{2}}A^{2}+cdots } puede ser significativamente definido, como un álgebra de Banach o un anillo de la serie de poder formal.

En tal anillo, el lema de Hadamard aplicado a los conmutadores anidados da: eABe− − A=B+[A,B]+12![A,[A,B]]+13![A,[A,[A,B]]]+⋯ ⋯ =eadA()B).{textstyle e^{A}Be^{-A} = B+[A,B]+{frac [A, [A, B]+{frac] {1}{3!} [A,[A,[A,B]]]+cdots = e^{operatorname {ad} _{A}(B). } (Para la última expresión, vea Derivación conjunta infra.) Esta fórmula subyace a la expansión Baker-Campbell-Hausdorff de log(exp(A) exp(B)).

Una expansión similar expresa el conmutador del grupo de expresiones eA{displaystyle e^{A} (análogo a elementos de un grupo de Lie) en términos de una serie de conmutadores anidados (entre corchetes Lie),

eAeBe− − Ae− − B=exp()[A,B]+12![A+B,[A,B]]+13!()12[A,[B,[B,A]]]+[A+B,[A+B,[A,B]]])+⋯ ⋯ ).{displaystyle e^{A}e^{-A}e^{-B}=exp !left([A,B]+{frac] [A{+}B,[A,B]+{frac {1}{3}}left({frac] [1}{2} [A,[B,[B,A]]]+[A] A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]right)+cdots right).}

Anillos graduados y álgebras

Cuando se trata de álgebras graduadas, el conmutador suele sustituirse por el conmutador graduado, definido en componentes homogéneas como

[⋅ ⋅ ,.. ]gr:=⋅ ⋅ .. − − ()− − 1)deg⁡ ⁡ ⋅ ⋅ deg⁡ ⁡ .. .. ⋅ ⋅ .{displaystyle [omegaeta ]_{gr}:=omega eta -(-1)^{deg omega deg eta }eta omega.}

Derivación adjunta

Especialmente si se trata de múltiples conmutadores en un anillo R, otra notación resulta ser útil. Para un elemento x▪ ▪ R{displaystyle xin R}, definimos la cartografía adjunta adx:R→ → R{displaystyle mathrm {ad} ¿Por qué? por:

adx⁡ ⁡ ()Sí.)=[x,Sí.]=xSí.− − Sí.x.{displaystyle operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}

Este mapeo es una derivación del anillo R:

adx()Sí.z)=adx()Sí.)z+Sí.adx()z).{displaystyle mathrm {ad} _{x}!(yz) =\mathrm {ad} _{x}!(y),z,+,y,mathrm {ad} _{x}!(z). }

Por la identidad de Jacobi, también es una derivación sobre la operación de conmutación:

adx[Sí.,z]=[adx()Sí.),z]+[Sí.,adx()z)].{displaystyle mathrm {ad} _{x}[y,z] = [mathrm {ad} _{x}!(y),z],+,[y,mathrm {ad} _{x}!(z)].}

Componiendo tales asignaciones, obtenemos por ejemplo adx⁡ ⁡ adSí.⁡ ⁡ ()z)=[x,[Sí.,z]]{displaystyle operatorname {ad} _{x}operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z],]} y

adx2()z)=adx()adx()z))=[x,[x,z]].{displaystyle operatorname {ad} _{x}^{2}!(z) = operatorname {ad} _{x}!(operatorname {ad} _{x}!(z)) = [x,[x,z],].}

ad{displaystyle mathrm {ad}

ad:R→ → End()R){displaystyle mathrm {ad}:Rto mathrm {End} (R)}

End()R){displaystyle mathrm {End} (R)}

ad{displaystyle mathrm {ad}

ad[x,Sí.]=[adx,adSí.].{displaystyle operatorname {ad} _{x,y]}=left[operatorname {ad} _{x},operatorname {ad} _{y}right].}

Por contraste, es no siempre un homomorfismo de anillo: por lo general adxSí.ل ل adx⁡ ⁡ adSí.{displaystyle operatorname {ad} _{xy},neq ,operatorname {ad} ¿Por qué?.

Regla general de Leibniz

La regla general de Leibniz, que expande las derivadas repetidas de un producto, se puede escribir de manera abstracta usando la representación adjunta:

xnSí.=.. k=0n()nk)adxk()Sí.)xn− − k.{displaystyle x^{n}y=sum ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

Replacing x por el operador de diferenciación ∂ ∂ {displaystyle partial }, y Sí. por el operador de multiplicación mf:g↦ ↦ fg{displaystyle m_{f}:gmapsto fg}, tenemos ad⁡ ⁡ ()∂ ∂ )()mf)=m∂ ∂ ()f){displaystyle operatorname {ad} (partial)(m_{f})=m_{partial (f)}, y aplicar ambos lados a una función g, la identidad se convierte en la regla habitual de Leibniz n-th derivative ∂ ∂ n()fg){displaystyle partial ^{n}!(fg)}.