Conjuntos separados

En topología y ramas afines de las matemáticas, los conjuntos separados son pares de subconjuntos de un espacio topológico dado que están relacionados entre sí de cierta manera: en términos generales, sin superponerse ni tocarse. La noción de cuándo dos conjuntos están separados o no es importante tanto para la noción de espacios conectados (y sus componentes conectados) como para los axiomas de separación de espacios topológicos.

Los conjuntos separados no deben confundirse con los espacios separados (definidos a continuación), que están algo relacionados pero son diferentes. Los espacios separables son nuevamente un concepto topológico completamente diferente.

Definiciones

Hay varias maneras en que dos subconjuntos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} de un espacio topológico X{displaystyle X} puede considerarse separado. Una forma más básica en la que se pueden separar dos conjuntos es si son disjoint, es decir, si su intersección es el conjunto vacío. Esta propiedad no tiene nada que ver con la topología como tal, pero sólo establece la teoría. Cada una de las propiedades de abajo es más estricta que la descomunicación, incorporando cierta información topológica. Las propiedades se presentan en orden creciente de especificidad, siendo cada una una una noción más fuerte que la anterior.

Una propiedad más restrictiva es que A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son separados dentro X{displaystyle X} si cada uno está descompuesto por el cierre del otro:

()A∩ ∩ B̄ ̄ )∪ ∪ ()Ā ̄ ∩ ∩ B)=∅ ∅ .{displaystyle left(Acap {bar {B}derecha)cup left({bar {A}cap Bright)=varnothing.}

Esta propiedad es conocida como Hausdorff−Lennes Separation Condición. Dado que cada conjunto está contenido en su cierre, dos conjuntos separados deben ser descompuestos automáticamente. Los cierres mismos hacen no tienen que ser descompuestos entre sí; por ejemplo, los intervalos [0,1){displaystyle [0,1)} y ()1,2]{displaystyle (1,2]} están separados en la línea real R,{displaystyle mathbb {R} Aunque el punto 1 pertenece a ambos cierres. Un ejemplo más general es que en cualquier espacio métrico, dos bolas abiertas <math alttext="{displaystyle B_{r}(p)={xin X:d(p,x)Br()p)={}x▪ ▪ X:d()p,x).r}{fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle B_{r}(p)={xin X:d(p,x) y <math alttext="{displaystyle B_{s}(q)={xin X:d(q,x)Bs()q)={}x▪ ▪ X:d()q,x).s}{displaystyle B_{s}(q)={xin X:d(q,x)traducidos}<img alt="{displaystyle B_{s}(q)={xin X:d(q,x) están separados d()p,q)≥ ≥ r+s.{displaystyle d(p,q)geq r+s.} La propiedad de ser separado también se puede expresar en términos de conjunto derivado (indicado por el símbolo principal): A{displaystyle A} y B{displaystyle B} están separados cuando están descompuestos y cada uno está descompuesto del conjunto derivado del otro, es decir, A.∩ ∩ B=∅ ∅ =B.∩ ∩ A.{textstyle A'cap B=varnothing =B'cap A.} (Como en el caso de la primera versión de la definición, los conjuntos derivados A.{displaystyle A' y B.{displaystyle B' no están obligados a ser descompuestos entre sí.)

Los juegos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son separados por barrios si hay barrios U{displaystyle U} de A{displaystyle A} y V{displaystyle V} de B{displaystyle B} tales que U{displaystyle U} y V{displaystyle V} están descompuestos. (A veces verá el requisito de que U{displaystyle U} y V{displaystyle V} Ser abierto barrios, pero esto no hace ninguna diferencia al final.) Por ejemploA=[0,1){displaystyle A=[0,1)} y B=()1,2],{displaystyle B=(1,2)} Podrías tomar U=()− − 1,1){displaystyle U=(-1,1)} y V=()1,3).{displaystyle V=(1,3). } Tenga en cuenta que si hay dos conjuntos separados por los barrios, entonces ciertamente están separados. Si A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son abiertos y descomunales, entonces deben ser separados por los barrios; sólo tomar U=A{displaystyle U=A. y V=B.{displaystyle V=B. Por esta razón, la separación se utiliza a menudo con conjuntos cerrados (como en el axioma de separación normal).

Los juegos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son separados por barrios cerrados si hay un barrio cerrado U{displaystyle U} de A{displaystyle A} y un barrio cerrado V{displaystyle V} de B{displaystyle B} tales que U{displaystyle U} y V{displaystyle V} están descompuestos. Nuestros ejemplos, [0,1){displaystyle [0,1)} y ()1,2],{displaystyle (1,2],} son no separados por barrios cerrados. Podrías hacer U{displaystyle U} o V{displaystyle V} cerrado al incluir el punto 1 en él, pero no puede hacer que ambos cerrados al mantenerlos descompuestos. Tenga en cuenta que si alguno de los dos conjuntos están separados por barrios cerrados, entonces ciertamente están separados por barrios.

Los juegos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son separado por una función continua si existe una función continua f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb {R} desde el espacio X{displaystyle X} a la línea real R{displaystyle mathbb {R} tales que A⊆ ⊆ f− − 1()0){displaystyle Asubseteq f^{-1}(0)} y B⊆ ⊆ f− − 1()1){displaystyle Bsubseteq f^{-1}(1)}, es decir, miembros de A{displaystyle A} mapa a 0 y miembros de B{displaystyle B} mapa a 1. (A veces el intervalo de unidad [0,1]{displaystyle [0,1]} se utiliza en lugar de R{displaystyle mathbb {R} en esta definición, pero esto no hace ninguna diferencia.) En nuestro ejemplo, [0,1){displaystyle [0,1)} y ()1,2]{displaystyle (1,2]} no están separados por una función, porque no hay manera de definir continuamente f{displaystyle f} en el punto 1. Si dos conjuntos están separados por una función continua, entonces también están separados por barrios cerrados; los barrios pueden ser dados en términos de preimage de f{displaystyle f} como U=f− − 1[− − c,c]{displaystyle U=f^{-1}[c,c] y V=f− − 1[1− − c,1+c],{displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],} Donde c{displaystyle c} es cualquier número real positivo menos que 1/2.{displaystyle 1/2.}

Los juegos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son precisamente separado por una función continua si existe una función continua f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb {R} tales que A=f− − 1()0){displaystyle A=f^{-1}(0)} y B=f− − 1()1).{displaystyle B=f^{-1}(1). } (De nuevo, también puede ver el intervalo de unidad en lugar de R,{displaystyle mathbb {R} y de nuevo no hace ninguna diferencia.) Tenga en cuenta que si alguno de los dos conjuntos se separan precisamente por una función, entonces se separan por una función. Desde {}0}{displaystyle {0}} y {}1}{displaystyle {1}} cerrado en R,{displaystyle mathbb {R} Sólo los conjuntos cerrados son capaces de ser precisamente separados por una función, pero sólo porque dos conjuntos están cerrados y separados por una función no significa que estén automáticamente separados por una función (incluso una función diferente).

Relación con axiomas de separación y espacios separados

Los axiomas de separación son diversas condiciones que a veces se imponen a los espacios topológicos, muchas de las cuales pueden describirse en términos de los diversos tipos de conjuntos separados. Como ejemplo definiremos el axioma T₂, que es la condición impuesta a los espacios separados. Específicamente, un espacio topológico está separado si, dados dos puntos distintos x e y, el conjunto único {x} y {y} están separados por vecindarios.

Los espacios separados generalmente se denominan espacios de Hausdorff o T₂ espacios.

Relación con espacios conectados

Dado un espacio topológico X, a veces es útil considerar si es posible para un subconjunto A ser separado de su complemento. Esto es cierto si A es el conjunto vacío o todo el espacio X, pero puede haber otras posibilidades. Un espacio topológico X es conectado si estas son las únicas dos posibilidades. Por el contrario, si un subconjunto no vacío A está separado de su propio complemento, y si el único subconjunto de A compartir esta propiedad es el conjunto vacío, entonces A es un componente abierto conectado de X. (En el caso degenerado X es en sí mismo el conjunto vacío ∅ ∅ {displaystyle emptyset }, las autoridades difieren en ∅ ∅ {displaystyle emptyset } está conectado y si ∅ ∅ {displaystyle emptyset } es un componente abierto de sí mismo.)

Relación con puntos topológicamente distinguibles

Dado un espacio topológico X, dos puntos x e y son topológicamente distinguibles si existe un espacio abierto conjunto al que pertenece un punto pero el otro no. Si x e y son topológicamente distinguibles, entonces los conjuntos singleton {x} y {y} deben ser disjuntos. Por otro lado, si los singletons {x} y {y} están separados, entonces los puntos x e y debe ser topológicamente distinguible. Por lo tanto, para singletons, la distinguibilidad topológica es una condición entre la disyunción y la separación.