Conjuntos disjuntos

Dos juegos de disyunción

En matemáticas, se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. De manera equivalente, dos conjuntos disjuntos son conjuntos cuya intersección es el conjunto vacío. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos, mientras que {1, 2, 3} y {3, 4, 5} no lo son. Una colección de dos o más conjuntos se llama disjunta si dos conjuntos distintos cualesquiera de la colección son disjuntos.

Generalizaciones

Una colección de conjuntos

Esta definición de conjuntos de unión puede extenderse a una familia de conjuntos ()Ai)i▪ ▪ I{displaystyle left(A_{i}right)_{iin I}: la familia es dos veces más, o mutuamente si Ai∩ ∩ Aj=∅ ∅ {displaystyle A_{i}cap A_{j}=varnothing } siempre iل ل j{displaystyle ineq j}. Alternativamente, algunos autores utilizan el término disjoint para referirse a esta noción también.

Para las familias la noción de parejas disjoint o mutuamente disjoint se define a veces de una manera subtly diferente, en que los miembros idénticos repetidos son permitidos: la familia es pareja descomunada si Ai∩ ∩ Aj=∅ ∅ {displaystyle A_{i}cap A_{j}=varnothing } siempre Aiل ل Aj{displaystyle A_{i}neq A_{j} (todos dos) diferencia Los conjuntos de la familia son descomunales. Por ejemplo, la colección de conjuntos {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, es descomunal, como es el conjunto - 1, 3, 5 de las dos clases de paridad de enteros; la familia (){}n+2k▪ ▪ k▪ ▪ Z})n▪ ▪ {}0,1,...... ,9}{displaystyle ({n+2kmid kin mathbb {Z})_{nin {0,1,ldots9}} con 10 miembros no es descomunal (porque las clases de números iguales y extraños son cada uno cinco veces presentes), pero es descomunal pares según esta definición (ya que uno solo obtiene una intersección no vacía de dos miembros cuando los dos son la misma clase).

Se dice que dos conjuntos son conjuntos casi disjuntos si su intersección es pequeña en algún sentido. Por ejemplo, se puede decir que dos conjuntos infinitos cuya intersección es un conjunto finito son casi disjuntos.

En topología, existen varias nociones de conjuntos separados con condiciones más estrictas que la disyunción. Por ejemplo, se puede considerar que dos conjuntos están separados cuando tienen cierres o vecindarios disjuntos. De manera similar, en un espacio métrico, los conjuntos separados positivamente son conjuntos separados por una distancia distinta de cero.

Intersecciones

La disyunción de dos conjuntos, o de una familia de conjuntos, puede expresarse en términos de intersecciones de pares de ellos.

Dos sets A y B están descompuestos si y sólo si su intersección A∩ ∩ B{displaystyle Acap B} es el set vacío. De esta definición se desprende que cada conjunto está descompuesto del conjunto vacío, y que el conjunto vacío es el único conjunto que se descompone de sí mismo.

Si una colección contiene al menos dos conjuntos, la condición de que la colección sea disjunta implica que la intersección de toda la colección está vacía. Sin embargo, una colección de conjuntos puede tener una intersección vacía sin ser disjunta. Además, mientras que una colección de menos de dos conjuntos es trivialmente disjunta, ya que no hay pares para comparar, la intersección de una colección de un conjunto es igual a ese conjunto, que puede no estar vacío. Por ejemplo, los tres conjuntos { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} } tienen una intersección vacía pero no son disjuntos. De hecho, no hay dos conjuntos disjuntos en esta colección. También la familia vacía de conjuntos es disjunta por pares.

Una familia Helly es un sistema de conjuntos dentro del cual las únicas subfamilias con intersecciones vacías son las que están separadas por pares. Por ejemplo, los intervalos cerrados de los números reales forman una familia Helly: si una familia de intervalos cerrados tiene una intersección vacía y es mínima (es decir, ninguna subfamilia de la familia tiene una intersección vacía), debe ser disjunta por pares.

Uniones disjuntas y particiones

Una partición de un conjunto X es cualquier colección de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos cuya unión es X. Cada partición puede describirse de manera equivalente mediante una relación de equivalencia, una relación binaria que describe si dos elementos pertenecen al mismo conjunto en la partición. Las estructuras de datos de conjuntos disjuntos y el refinamiento de particiones son dos técnicas en informática para mantener de manera eficiente las particiones de un conjunto sujeto a, respectivamente, operaciones de unión que fusionan dos conjuntos u operaciones de refinamiento que dividen un conjunto en dos.

Una unión disjunta puede significar una de dos cosas. Más simplemente, puede significar la unión de conjuntos que son disjuntos. Pero si dos o más conjuntos no están ya disjuntos, su unión disjunta puede formarse modificando los conjuntos para hacerlos disjuntos antes de formar la unión de los conjuntos modificados. Por ejemplo, se pueden separar dos conjuntos reemplazando cada elemento por un par ordenado del elemento y un valor binario que indique si pertenece al primer o al segundo conjunto. Para familias de más de dos conjuntos, uno puede reemplazar cada elemento por un par ordenado del elemento y el índice del conjunto que lo contiene.