Conjunto universal

En la teoría de conjuntos, un conjunto universal es un conjunto que contiene todos los objetos, incluido él mismo. En la teoría de conjuntos, tal como se formula habitualmente, se puede demostrar de múltiples maneras que no existe un conjunto universal. Sin embargo, algunas variantes no estándar de la teoría de conjuntos incluyen un conjunto universal.

Reasons for non existence

Muchas teorías de conjuntos no permiten la existencia de un conjunto universal. Hay varios argumentos diferentes para su inexistencia, basados en diferentes elecciones de axiomas para la teoría de conjuntos.

Regularidad

En la teoría del conjunto Zermelo-Fraenkel, el axioma de la regularidad y el axioma del emparejamiento evita que cualquier conjunto se contenga. Para cualquier conjunto A{displaystyle A}, el conjunto {}A}{displaystyle {fn} (construido utilizando pares) necesariamente contiene un elemento disjoint de {}A}{displaystyle {fn}Por regularidad. Porque su único elemento es A{displaystyle A}, debe ser el caso de que A{displaystyle A} está descompuesto {}A}{displaystyle {fn}, y por consiguiente que A{displaystyle A} no se contiene. Debido a que un conjunto universal necesariamente se contenería, no puede existir bajo estos axiomas.

Russell 's paradox

La paradoja de Russell evita la existencia de un conjunto universal en teorías establecidas que incluyen el axioma de comprensión de Zermelo. Este axioma dice que, para cualquier fórmula φ φ ()x){displaystyle varphi (x)} y cualquier conjunto A{displaystyle A}, existe un conjunto

{}x▪ ▪ A▪ ▪ φ φ ()x)}{displaystyle {xin Amid varphi (x)}

x{displaystyle x}

A{displaystyle A}

φ φ {displaystyle varphi }

Como consecuencia de este axioma, a cada conjunto A{displaystyle A} allí corresponde otro conjunto B={}x▪ ▪ A▪ ▪ x∉x}{displaystyle B={xin Amid xnot in x} consistentes en los elementos A{displaystyle A} que no se contienen. B{displaystyle B} no puede contenerse, porque consiste sólo en conjuntos que no se contienen. No puede ser miembro de A{displaystyle A}, porque si lo fuera se incluiría como miembro de sí mismo, por su definición, contradiciendo el hecho de que no puede contenerse. Por lo tanto, cada conjunto A{displaystyle A} no es universal: existe un conjunto B{displaystyle B} que no contiene. Esto ciertamente tiene incluso con la comprensión predicativa y sobre la lógica intuitiva.

Cantor 's theorem

Otra dificultad con la idea de un conjunto universal tiene que ver con el conjunto potencia del conjunto de todos los conjuntos. Como este conjunto potencia es un conjunto de conjuntos, necesariamente sería un subconjunto del conjunto de todos los conjuntos, siempre que ambos existan. Sin embargo, esto entra en conflicto con el teorema de Cantor de que el conjunto potencia de cualquier conjunto (sea infinito o no) siempre tiene una cardinalidad estrictamente mayor que el propio conjunto.

Teorías de la universalidad

Las dificultades asociadas con un conjunto universal se pueden evitar usando una variante de la teoría de conjuntos en la que el axioma de comprensión está restringido de alguna manera, o usando un objeto universal que no se considera un conjunto.

Comprensión restringida

Hay teorías establecidas que se sabe que son consistentes (si la teoría habitual del conjunto es consistente) en la cual el conjunto universal V existe (y V▪ ▪ V{displaystyle Vin V} es cierto). En estas teorías, el axioma de la comprensión de Zermelo no sostiene en general, y el axioma de la comprensión de la teoría de conjuntos ingenuos se restringe de una manera diferente. Una teoría de conjunto que contiene un conjunto universal es necesariamente una teoría de conjuntos no bien fundada. La teoría de conjuntos más ampliamente estudiada con un conjunto universal es las nuevas fundaciones de Willard Van Orman Quine. Alonzo Church y Arnold Oberschelp también publicaron trabajos sobre teorías tan establecidas. La Iglesia especulaba que su teoría podría extenderse de una manera consistente con la de Quine, pero esto no es posible para Oberschelp, ya que en ella la función de singleton es probablemente un conjunto, que conduce inmediatamente a la paradoja en New Foundations.

Otro ejemplo es la teoría de conjuntos positivos, donde el axioma de comprensión se restringe para que se cumpla solo para las fórmulas positivas (fórmulas que no contienen negaciones). Tales teorías de conjuntos están motivadas por nociones de cierre en topología.

Objetos universales que no son conjuntos

La idea de un conjunto universal parece intuitivamente deseable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, particularmente porque la mayoría de las versiones de esta teoría permiten el uso de cuantificadores sobre todos los conjuntos (ver cuantificador universal). Una forma de permitir que un objeto se comporte de manera similar a un conjunto universal, sin crear paradojas, es describir V y grandes colecciones similares como clases propias en lugar de conjuntos. Una diferencia entre un conjunto universal y una clase universal es que la clase universal no se contiene a sí misma, porque las clases propias no pueden ser elementos de otras clases. La paradoja de Russell no se aplica en estas teorías porque el axioma de comprensión opera sobre conjuntos, no sobre clases.

La categoría de conjuntos también puede considerarse como un objeto universal que, de nuevo, no es en sí mismo un conjunto. Tiene todos los conjuntos como elementos y también incluye flechas para todas las funciones de un conjunto a otro. De nuevo, no se contiene a sí mismo, porque no es en sí mismo un conjunto.