Conjunto parcialmente pedido

≤ ≤ {displaystyle leq }

Pedidos dobles

El dual (o opuesto) Roperaciones{displaystyle R^{text{op}} de una relación de orden parcial R{displaystyle R. se define por dejar Roperaciones{displaystyle R^{text{op}} ser la relación conversa R{displaystyle R., es decir. xRoperacionesSí.{displaystyle - Sí. si Sí.Rx{displaystyle yRx}. El doble de un orden parcial no-stricto es un orden parcial no-stricto, y el doble de un orden parcial estricto es un orden parcial estricto. El doble de una relación dual es la relación original.

Notación

Podemos considerar una pose como un 3-tuple <math alttext="{displaystyle (P,leq()P,≤ ≤ ,.){displaystyle (P,leqse)}<img alt="{displaystyle (P,leq, donde ≤ ≤ {displaystyle leq } es una relación de orden parcial no restringido P{displaystyle P}, <math alttext="{displaystyle .{displaystyle]<img alt=" es la relación estricta del orden parcial asociado P{displaystyle P} (el núcleo irreflexivo de ≤ ≤ {displaystyle leq }), ≥ ≥ {displaystyle geq } es el doble ≤ ≤ {displaystyle leq }, y }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">■{displaystyle } " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b27b77ab4e3293ea9ce65cef60fea655c398423" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;"/> es el doble <math alttext="{displaystyle .{displaystyle]<img alt=".

Cualquiera de las cuatro relaciones de orden parcial <math alttext="{displaystyle leq}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">≤ ≤ ,.,≥ ≥ ,y■{displaystyle leq made,geq{text{ and }}}}}}<img alt="{displaystyle leq}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22333493c1c1bdfdd07babc8d8392833d065d5d4" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.888ex; height:2.509ex;"/> en un determinado conjunto determina únicamente los otros tres. Por lo tanto, como cuestión de notación, se puede escribir ()P,≤ ≤ ){displaystyle (P,leq)} o <math alttext="{displaystyle (P,()P,.){displaystyle (P, interpretado)}<img alt="{displaystyle (P,, y asumir que las otras relaciones se definen apropiadamente. Definición mediante una orden parcial no restrictiva ≤ ≤ {displaystyle leq } es más común. Algunos autores usan símbolos diferentes que otros ≤ ≤ {displaystyle leq } tales como ⊑ ⊑ {displaystyle sqsubseteq } o ⪯ ⪯ {displaystyle preceq } para distinguir las órdenes parciales de las órdenes totales.

Cuando se refiere a órdenes parciales, ≤ ≤ {displaystyle leq } no debe tomarse como complemento }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">■{displaystyle } " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b27b77ab4e3293ea9ce65cef60fea655c398423" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;"/>. La relación }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">■{displaystyle } " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b27b77ab4e3293ea9ce65cef60fea655c398423" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;"/> es el contrario del núcleo irreflexivo ≤ ≤ {displaystyle leq }, que es siempre un subconjunto del complemento de ≤ ≤ {displaystyle leq }, pero }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">■{displaystyle } " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b27b77ab4e3293ea9ce65cef60fea655c398423" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;"/> es igual al complemento ≤ ≤ {displaystyle leq } si, y sólo si, ≤ ≤ {displaystyle leq } es un orden total.

Ejemplos

Fig. 3 Gráfico de la divisibilidad de números de 1 a 4. Este conjunto es parcial, pero no totalmente, ordenado porque hay una relación de 1 a cada otro número, pero no hay relación de 2 a 3 o 3 a 4

Los ejemplos estándar de posets que surgen en matemáticas incluyen:

• Los números reales, o en general cualquier conjunto totalmente ordenado, ordenado por el estándar menos que igual relación ≤, es un orden parcial no-stricto.
• En números reales R{displaystyle mathbb {R}, lo habitual menos que relación < es un orden parcial estricto. Lo mismo también es cierto de lo habitual más grande que relación R{displaystyle mathbb {R}.
• Por definición, todo orden débil estricto es un orden parcial estricto.
• El conjunto de subconjuntos de un determinado conjunto (su conjunto de potencia) ordenado por la inclusión (véase Fig.1). Del mismo modo, el conjunto de secuencias ordenadas por subsequence, y el conjunto de cuerdas ordenadas por subestring.
• El conjunto de números naturales equipados con la relación de la divisibilidad. (véase Fig.3 y Fig.6)
• El vértice conjunto de un gráfico acíclico dirigido ordenado por la posibilidad de alcanzar.
• El conjunto de subespacios de un espacio vectorial ordenado por la inclusión.
• Para un conjunto parcialmente ordenado P, el espacio de secuencia que contiene todas las secuencias de elementos de P, donde secuencia a precede a la secuencia b si cada artículo en a precede el elemento correspondiente en b. Formalmente, ()an)n▪ ▪ N≤ ≤ ()bn)n▪ ▪ N{displaystyle left(a_{n}right)_{nin mathbb {N}leq left(b_{n}right)_{nin mathbb {N} si an≤ ≤ bn{displaystyle a_{n}leq B_{n} para todos n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N}; es decir, una orden de componente.
• Para un set X y un conjunto parcialmente ordenado P, el espacio de función que contiene todas las funciones desde X a P, donde f ≤ g si f()x≤ g()x) para todos x▪ ▪ X.{displaystyle xin X.}
• Una valla, un conjunto parcialmente ordenado definido por una secuencia alternada de relaciones de orden a. b ■ c. d...
• El conjunto de eventos en relatividad especial y, en la mayoría de los casos, relatividad general, donde para dos eventos X y Y, X ≤ Y si Y está en el futuro cono de luz X. Un evento Y sólo puede ser afectada causalmente X si X ≤ Y.

Un ejemplo familiar de un conjunto parcialmente ordenado es una colección de personas ordenadas por descendencia genealógica. Algunas parejas de personas tienen la relación descendiente-ancestro, pero otras parejas de personas son incomparables, sin que ninguna sea descendiente de la otra.

Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos parcialmente ordenados

Fig. 4a Orden Lexicográfico N× × N{displaystyle mathbb {N} times mathbb {N}

Fig. 4b Orden de producto en N× × N{displaystyle mathbb {N} times mathbb {N}

Fig. 4c Cierre reflexivo del estricto orden de producto directo N× × N.{displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} Los elementos cubiertos por (3, 3) y que cubren (3, 3) se destacan en verde y rojo, respectivamente.

En orden de fuerza creciente, es decir, conjuntos de pares decrecientes, tres de los posibles órdenes parciales en el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados son (ver Fig.4):

• el orden lexicográfico:a, b≤c, dSi a. c oa = c y b ≤ d);
• el pedido del producto: (a, b≤c, dSi a ≤ c y b ≤ d;
• el cierre reflexivo del producto directo de las órdenes estrictas correspondientes: (a, b≤c, dSia. c y b. d) o (a = c y b = d).

Los tres se pueden definir de manera similar para el producto cartesiano de más de dos conjuntos.

Aplicado a espacios vectoriales ordenados sobre el mismo campo, el resultado es en cada caso también un espacio vectorial ordenado.

Ver también órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados.

Sumas de conjuntos parcialmente ordenados

Otra forma de combinar dos posets (disjuntos) es la suma ordinal (o suma lineal), Z = X ⊕ Y, definida sobre la unión de los conjuntos subyacentes X e Y por el orden a ≤ _Z b si y solo si:

• a, b ▪ X con a ≤_X b, o
• a, b ▪ Y con a ≤_Y b, o
• a ▪ X y b ▪ Y.

Si dos posets están bien ordenadas, también lo está su suma ordinal.

Los órdenes parciales serie-paralelo se forman a partir de la operación de suma ordinal (en este contexto llamada composición en serie) y otra operación llamada composición en paralelo. La composición paralela es la unión disjunta de dos conjuntos parcialmente ordenados, sin relación de orden entre los elementos de un conjunto y los elementos del otro conjunto.

Nociones derivadas

Los ejemplos usan la pose ()P(){}x,Sí.,z}),⊆ ⊆ ){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} consistente en el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto de tres elementos {}x,Sí.,z},{displaystyle {x,y,z},} ordenado por inclusión establecida (véase Fig.1).

• a es relacionados con b cuando a ≤ b. Esto no implica que b también está relacionado con a, porque la relación no necesita ser simétrica. Por ejemplo, {}x}{displaystyle {x}} está relacionado con {}x,Sí.},{displaystyle {x,y},} pero no el revés.
• a y b son comparable si a ≤ b o b ≤ a. De lo contrario son incomparable. Por ejemplo, {}x}{displaystyle {x}} y {}x,Sí.,z}{displaystyle {x,y,z} son comparables, mientras que {}x}{displaystyle {x}} y {}Sí.}{displaystyle {y}} no lo son.
• A total o orden lineal es un orden parcial bajo el cual cada par de elementos es comparable, es decir, tricotomía sostiene. Por ejemplo, los números naturales con su orden estándar.
• A cadena es un subconjunto de una pose que es un conjunto totalmente ordenado. Por ejemplo, {}{}},{}x},{}x,Sí.,z}}{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} es una cadena.
• An Antichain es un subconjunto de una posición en la que no hay dos elementos distintos comparables. Por ejemplo, el conjunto de singletons {}{}x},{}Sí.},{}z}}.{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}
• Un elemento a se dice que estrictamente inferior a un elemento b, si a ≤ b y aل ل b.{displaystyle aneq b.} Por ejemplo, {}x}{displaystyle {x}} es estrictamente menos que {}x,Sí.}.{displaystyle {x,y}.}
• Un elemento a se dice que cubierto por otro elemento b, escrito a ⋖ b (o a. b), si a es estrictamente menos que b y ningún tercer elemento c encaja entre ellos; formalmente: si ambos a ≤ b y aل ل b{displaystyle aneq b} son verdaderos, y a ≤ c ≤ b es falso para cada uno c con aل ل cل ل b.{displaystyle aneq cneq b.} Usando el orden estricto, la relación a ⋖ b puede ser equivalentemente reformulado como "a. b pero no a. c. b para cualquier c". Por ejemplo, {}x}{displaystyle {x}} está cubierto por{}x,z},{displaystyle {x,z},} pero no está cubierto por {}x,Sí.,z}.{displaystyle {x,y,z}

Extrema

Fig.5 La figura anterior con los más grandes y menos elementos eliminados. En esta posición reducida, la fila superior de elementos son todos maximal elementos, y la fila inferior son todos mínimo elementos, pero no hay más grande y no mínimo elemento.

Hay varias nociones de elemento "más grande" y "menos" en una pose P,{displaystyle P,} notablemente:

• El elemento más grande y menos elemento: Un elemento g▪ ▪ P{displaystyle gin P} es un mayor elemento si por cada elemento a▪ ▪ P,a≤ ≤ g.{displaystyle ain P,aleq g.} Un elemento m▪ ▪ P{displaystyle min P} es un elemento mínimo si por cada elemento a▪ ▪ P,m≤ ≤ a.{displaystyle ain P,mleq a.} Un poset sólo puede tener un elemento más grande o menos. En nuestro ejemplo de funcionamiento, el conjunto {}x,Sí.,z}{displaystyle {x,y,z} es el elemento más grande, y {}}{displaystyle {,}} es lo menos.
• Elementos máximos y elementos mínimos: Un elemento g▪ ▪ P{displaystyle gin P} es un elemento maximal si no hay elemento a▪ ▪ P{displaystyle ain P} tales que g.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■g.{displaystyle a prendag.}g.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cc3a31a30168a980d16dd932e4c4adcdbee6db" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.091ex; height:2.176ex;"/> Análogamente, un elemento m▪ ▪ P{displaystyle min P} es un elemento mínimo si no hay elemento a▪ ▪ P{displaystyle ain P} tales que <math alttext="{displaystyle aa.m.{displaystyle aludem.}<img alt="{displaystyle a Si un poset tiene un elemento más grande, debe ser el elemento maximal único, pero de lo contrario puede haber más de un elemento maximal, y de forma similar para elementos menos y elementos mínimos. En nuestro ejemplo, {}x,Sí.,z}{displaystyle {x,y,z} y {}}{displaystyle {,}} son los elementos máximos y mínimos. La eliminación de estos, hay 3 elementos máximos y 3 elementos mínimos (véase Fig.5).
• Límites superiores e inferiores: Para un subconjunto A de P, un elemento x dentro P es un límite superior de A si a≤x, para cada elemento a dentro A. En particular, x necesita no estar A ser un límite superior A. Análogamente, un elemento x dentro P es un límite inferior A si a≥x, para cada elemento a dentro A. Un elemento más grande P es un límite superior de P en sí mismo, y un elemento menos es un límite inferior P. En nuestro ejemplo, el conjunto {}x,Sí.}{displaystyle {x,y}} es un superior para la recogida de elementos {}{}x},{}Sí.}}.{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}

Fig.6 enteros no negativos, ordenados por divisibilidad

Como otro ejemplo, considere los enteros positivos, ordenados por divisibilidad: 1 es un elemento menos, ya que divide todos los demás elementos; por otro lado, esta pose no tiene un elemento más grande (aunque si uno incluye 0 en la pose, que es un múltiplo de cualquier entero, que sería un elemento más grande; véase Fig.6). Este conjunto parcialmente ordenado ni siquiera tiene elementos maximales, ya que cualquier g divideciones por ejemplo 2g, que es distinto de él, así g no es maximal. Si el número 1 está excluido, manteniendo la divisibilidad como orden en los elementos mayores de 1, entonces la pose resultante no tiene un elemento mínimo, pero cualquier número primo es un elemento mínimo para él. En esta pose, 60 es un límite superior (aunque no un límite inferior) del subconjunto {}2,3,5,10},{displaystyle {2,3,5,10},} que no tiene ningún límite inferior (ya que 1 no está en la pose); por otro lado 2 es un límite inferior del subconjunto de poderes de 2, que no tiene ningún límite superior.

Asignaciones entre conjuntos parcialmente ordenados

Fig.7a Orden-preservación, pero no orden-reflexión (desde f()u≼ f()v), pero no u ≤ ≤ {displaystyle leq } v) mapa.

Fig.7b El isomorfismo de orden entre los divisores de 120 (pedidos parcialmente por divisibilidad) y los subconjuntos cerrados de divisores {2, 3, 4, 5, 8} (En parte ordenada por inclusión establecida)

Dados dos conjuntos parcialmente ordenados (S, ≤) y (T, ≼), una función f:S→ → T{displaystyle f:Sto T} se llama Orden-preservación, o monotone, o isotone, si para todos x,Sí.▪ ▪ S,{displaystyle x,yin S,} x≤ ≤ Sí.{displaystyle xleq y} implicación f()x≼ f()Sí.). SiU, ≲) es también un conjunto parcialmente ordenado, y ambos f:S→ → T{displaystyle f:Sto T} y g:T→ → U{displaystyle g:Tto U} son pedidos, su composición g∘ ∘ f:S→ → U{displaystyle gcirc f:Sto U} También es el pedido. Una función f:S→ → T{displaystyle f:Sto T} se llama orden-reflexión si para todos x,Sí.▪ ▪ S,{displaystyle x,yin S,} f()x≼ f()Sí.) implica x≤ ≤ Sí..{displaystyle xleq y.}Si f{displaystyle f} es tanto la orden-preservación y el orden-reflexión, entonces se llama un Orden-embedding of (S, ≤) en (T, ≼). En este último caso, f{displaystyle f} es necesariamente inyectable, ya que f()x)=f()Sí.){displaystyle f(x)=f(y)} implicación x≤ ≤ Sí.ySí.≤ ≤ x{displaystyle xleq y{y}yleq x} y a su vez x=Sí.{displaystyle x=y} según la antisimetría ≤ ≤ .{displaystyle leq.} Si un pedido entre dos poses S y T existe, uno dice que S puede ser embebido en T. Si un pedido f:S→ → T{displaystyle f:Sto T} es bijetivo, se llama un orden isomorfismo, y las órdenes parciales (S, ≤) y (T, ≼) se dice que isomorfo. Los pedidos Isomorficos tienen diagramas de Hasse estructuralmente similares (véase Fig.7a). Se puede demostrar que si se conservan mapas f:S→ → T{displaystyle f:Sto T} y g:T→ → U{displaystyle g:Tto U} existen tales g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} y f∘ ∘ g{displaystyle fcirc g} cede la función de identidad en S y T, respectivamente, entonces S y T son orden-isomorfos.

Por ejemplo, un mapeo f:N→ → P()N){displaystyle f:mathbb {N} to mathbb {P} (mathbb {N})} desde el conjunto de números naturales (ordenados por la divisibilidad) al conjunto de potencia de números naturales (ordenados por la inclusión establecida) se puede definir tomando cada número al conjunto de sus primeros divisores. Es la orden-preservación: si x{displaystyle x} divideciones Sí.,{displaystyle y,} entonces cada divisor principal x{displaystyle x} es también un divisor primario de Sí..{displaystyle y.} Sin embargo, no es inyectable (ya que mapea tanto 12 como 6 a {}2,3}{displaystyle {2,3}}) ni reflexión del orden (ya que 12 no divide 6). Tomando en su lugar cada número al conjunto de sus primeros divisores de potencia define un mapa g:N→ → P()N){displaystyle g:mathbb {N} to mathbb {P} (mathbb {N})} que es el orden-preservar, el orden-reflexión, y por lo tanto un orden-embedding. No es un orden-isomorfismo (ya que, por ejemplo, no mapea ningún número al conjunto {}4}{displaystyle {4}}), pero se puede hacer uno restringiendo su codomain to g()N).{displaystyle g(mathbb {N})} Fig.7b muestra un subconjunto de N{displaystyle mathbb {N} y su imagen isomorfa bajo g.{displaystyle g.} La construcción de tal orden-isomorfismo en un conjunto de poder se puede generalizar a una amplia clase de órdenes parciales, llamadas celos distributivos, ver "Teorema de representación de Birkhoff".

Número de pedidos parciales

La secuencia A001035 en OEIS da el número de órdenes parciales en un conjunto de n elementos etiquetados:

Número de n-element binario relations of different types

Miembros	Cualquier	Transitive	Reflexivo	Simétrico	Preorden	Orden parcial	Total preordenado	Orden total	Equivalencia relación
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65.536	3.994	4.096	1.024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n()n+1)/2			.. k=0nk!S()n,k){textstyle sum ¡No!	n!	.. k=0nS()n,k){textstyle sum _{k=0} {n} S(n,k)}
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Tenga en cuenta que S(n, k) se refiere a los números de Stirling del segundo tipo

El número de órdenes parciales estrictas es el mismo que el de órdenes parciales.

Si el conteo se hace solo hasta el isomorfismo, la secuencia 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,... (secuencia A000112 en el OEIS) se obtiene.

Extensión lineal

Una orden parcial ≤ ≤ Alternativa Alternativa {displaystyle leq ^{*} en un set X{displaystyle X} es un extensión de otro orden parcial ≤ ≤ {displaystyle leq } on X{displaystyle X} en todos los elementos x,Sí.▪ ▪ X,{displaystyle x,yin X,} siempre x≤ ≤ Sí.,{displaystyle xleq y,} es también el caso de que x≤ ≤ Alternativa Alternativa Sí..{displaystyle xleq ^{*}y.} Una extensión lineal es una extensión que también es un orden lineal (es decir, total). Como ejemplo clásico, el orden léxicográfico de conjuntos totalmente ordenados es una extensión lineal de su pedido de productos. Cada orden parcial puede extenderse a un orden total (principio de extensión ordenada).

En informática, los algoritmos para encontrar extensiones lineales de órdenes parciales (representadas como las órdenes de accesibilidad de gráficos acíclicos dirigidos) se denominan clasificación topológica.

Gráficos acíclicos dirigidos

Las órdenes parciales estrictas corresponden directamente a gráficos acíclicos dirigidos (DAGs). Si se construye un gráfico tomando cada elemento P{displaystyle P} ser un nodo y cada elemento ≤ ≤ {displaystyle leq } para ser un borde, entonces cada orden parcial estricto es un DAG, y el cierre transitivo de un DAG es un orden parcial estricto y también un DAG mismo. En contraste, un orden parcial no restringido tendría bucles propios en cada nodo y por lo tanto no sería un DAG.

En teoría de categorías

Cada pose (y cada conjunto preordenado) puede ser considerado como una categoría donde, para objetos x{displaystyle x} y Sí.,{displaystyle y,} hay en la mayoría un morfismo de x{displaystyle x} a Sí..{displaystyle y.} Más explícitamente, dejar hom(x, Sí.*x, Sí.Si x ≤ Sí. (y de otro modo el set vacío) y ()Sí.,z)∘ ∘ ()x,Sí.)=()x,z).{displaystyle (y,z)circ (x,y)=(x,z). } Tales categorías se denominan a veces posetal.

Los posets son equivalentes entre sí si y solo si son isomorfos. En un poset, el elemento más pequeño, si existe, es un objeto inicial, y el elemento más grande, si existe, es un objeto terminal. Además, cada conjunto pedido por adelantado es equivalente a un poset. Finalmente, cada subcategoría de un poset es isomorfismo cerrado.

Órdenes parciales en espacios topológicos

Si P{displaystyle P} es un conjunto parcialmente ordenado que también se ha dado la estructura de un espacio topológico, entonces es costumbre asumir que {}()a,b):a≤ ≤ b}{displaystyle {(a,b):aleq B} es un subconjunto cerrado del espacio de productos topológicos P× × P.{displaystyle Ptimes P.} Bajo esta suposición las relaciones de orden parcial se comportan bien en los límites en el sentido de que si limi→ → JUEGO JUEGO ai=a,{displaystyle lim _{ito infty }a_{i}=a,} y limi→ → JUEGO JUEGO bi=b,{displaystyle lim _{ito infty }b_{i}=b,} y para todos i,{displaystyle i,} ai≤ ≤ bi,{displaystyle a_{i}leq B_{i},} entonces a≤ ≤ b.{displaystyle aleq b.}

Intervalos

Un intervalo en un poset P es un subconjunto I de P con la propiedad de que, para cualquier x e y en I y cualquier z en P, si x ≤ z ≤ y, entonces z también está en I. (Esta definición generaliza la definición de intervalo para números reales).

Para a ≤ b, el intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de elementos x que satisfacen a ≤ x ≤ b (es decir, a ≤ x y x ≤ b). Contiene al menos los elementos a y b.

Usando la relación estricta correspondiente "<", el intervalo abierto (a, b) es el conjunto de elementos x que satisfacen a < x < b (es decir, a < x y x < b). Un intervalo abierto puede estar vacío incluso si a < b. Por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) en los enteros está vacío ya que no hay enteros I tal que 0 < I < 1.

Los intervalos semiabiertos [a, b) y (a, b] se definen de manera similar.

A veces, las definiciones se amplían para permitir a > b, en cuyo caso el intervalo está vacío.

Un intervalo I está atado si existen elementos a,b▪ ▪ P{displaystyle a,bin P} tales que I ⊆ [a, b]. Cada intervalo que puede ser representado en notación de intervalos está obviamente ligado, pero el converso no es cierto. Por ejemplo, vamos P = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) como un subposito de los números reales. El subconjunto (1, 2) es un intervalo atado, pero no tiene infimum o supremum en P, por lo que no puede ser escrito en notación de intervalos utilizando elementos de P.

Una pose se llama localmente finita si cada intervalo ligado es finito. Por ejemplo, los enteros son localmente finitos bajo su orden natural. El orden lexicográfico sobre el producto cartesiano N× × N{displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} no es localmente finito, ya (1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ (2, 1). Usando la notación de intervalos, la propiedad "a está cubierto por b"se puede reformular equivalentemente [a,b]={}a,b}.{displaystyle [a,b]={a,b}

Este concepto de intervalo en una orden parcial no debe confundirse con la clase particular de órdenes parciales conocidas como órdenes de intervalo.