Conjunto (matemáticas)

Un conjunto de polígonos en un diagrama de Euler

Un conjunto es el modelo matemático para una colección de cosas diferentes; un conjunto contiene elementos o miembros, que pueden ser objetos matemáticos de cualquier tipo: números, símbolos, puntos en el espacio, líneas, otras formas geométricas, variables o incluso otros conjuntos. El conjunto sin elemento es el conjunto vacío; un conjunto con un solo elemento es un singleton. Un conjunto puede tener un número finito de elementos o ser un conjunto infinito. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. De hecho, la teoría de conjuntos, más específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ha sido la forma estándar de proporcionar fundamentos rigurosos para todas las ramas de las matemáticas desde la primera mitad del siglo XX.

Historia

El concepto de conjunto surgió en las matemáticas a finales del siglo XIX. La palabra alemana para conjunto, Menge, fue acuñada por Bernard Bolzano en su obra Paradojas del Infinito.

Paso con una traducción de la definición original de conjunto de Georg Cantor. La palabra alemana Menge para set se traduce con agregado Aquí.

Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición al comienzo de su Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:

Un conjunto es una reunión conjunta en un conjunto de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, que se llaman elementos del conjunto.

Bertrand Russell llamó a un conjunto una clase:

Cuando los matemáticos tratan con lo que llaman un múltiple, agregado, Menge, ensemble, o algún nombre equivalente, es común, especialmente cuando el número de términos involucrados es finito, para considerar el objeto en cuestión (que es de hecho una clase) como definido por la enumeración de sus términos, y como consistente posiblemente de un solo término, que en ese caso es la clase.

Teoría de conjuntos ingenua

La principal propiedad de un conjunto es que puede tener elementos, también llamados miembros. Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Más precisamente, los conjuntos A y B son iguales si todo elemento de A es un elemento de B, y todo elemento de B es un elemento de A; esta propiedad se llama extensionalidad de los conjuntos.

El simple concepto de un conjunto ha resultado enormemente útil en matemáticas, pero surgen paradojas si no se imponen restricciones sobre cómo se pueden construir los conjuntos:

• La paradoja de Russell muestra que "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen", i.e., {x Silencio x es un conjunto y x ∉ xNo puede existir.
• La paradoja de Cantor muestra que "el conjunto de todos los conjuntos" no puede existir.

La teoría de conjuntos ingenua define un conjunto como cualquier colección bien definida de elementos distintos, pero surgen problemas debido a la vaguedad del término bien definido.

Teoría axiomática de conjuntos

En esfuerzos posteriores por resolver estas paradojas desde la época de la formulación original de la teoría de conjuntos ingenua, las propiedades de los conjuntos se han definido mediante axiomas. La teoría axiomática de conjuntos toma el concepto de conjunto como una noción primitiva. El propósito de los axiomas es proporcionar un marco básico a partir del cual deducir la verdad o falsedad de determinadas proposiciones matemáticas (enunciados) sobre conjuntos, utilizando la lógica de primer orden. Sin embargo, de acuerdo con los teoremas de incompletitud de Gödel, no es posible usar la lógica de primer orden para demostrar que una teoría de conjuntos axiomática particular está libre de paradojas.

Cómo se definen los conjuntos y la notación de conjuntos

Los textos matemáticos suelen denotar conjuntos con letras mayúsculas en cursiva, como A, B, C. Un conjunto también puede llamarse colección o familia, especialmente cuando sus elementos son en sí mismos conjuntos.

Notación de lista

Lista o notación de enumeración define un conjunto enumerando sus elementos entre llaves, separados por comas:

En un conjunto, todo lo que importa es si cada elemento está en él o no, por lo que el orden de los elementos en notación de lista es irrelevante (en contraste, en una secuencia, una tupla o una permutación de un conjunto, el el orden de los términos es importante). Por ejemplo, {2, 4, 6} y {4, 6, 4, 2} representan el mismo conjunto.

Para conjuntos con muchos elementos, especialmente aquellos que siguen un patrón implícito, la lista de miembros se puede abreviar usando puntos suspensivos '...'. Por ejemplo, el conjunto de los primeros mil enteros positivos puede especificarse en notación de lista como

Conjuntos infinitos en notación de lista

Un conjunto infinito es un conjunto con una lista interminable de elementos. Para describir un conjunto infinito en notación de lista, se colocan puntos suspensivos al final de la lista, o en ambos extremos, para indicar que la lista continúa para siempre. Por ejemplo, el conjunto de enteros no negativos es

y el conjunto de todos los enteros es

Definición semántica

Otra forma de definir un conjunto es usar una regla para determinar cuáles son los elementos:

Tal definición se llama descripción semántica.

Notación de constructor de conjuntos

La notación de creación de conjuntos especifica un conjunto como una selección de un conjunto más grande, determinado por una condición en los elementos. Por ejemplo, un conjunto F se puede definir de la siguiente manera:

$${displaystyle F=nmid n{text{ es un entero, y }0leq nleq 19}$$

En esta notación, la barra vertical "|" significa "tal que", y la descripción se puede interpretar como "F es el conjunto de todos los números n tales que n es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive". Algunos autores usan dos puntos ":" en lugar de la barra vertical.

Clasificación de métodos de definición

La filosofía utiliza términos específicos para clasificar tipos de definiciones:

• An definición profesional utiliza un Regla para determinar la membresía. Las definiciones y definiciones semánticas utilizando la notación de configuración son ejemplos.
• An Definición de la prórroga describe un conjunto enumerar todos sus elementos. Esas definiciones también se denominan enumeración.
• An ostensiva definición es uno que describe un conjunto dando ejemplos de elementos; una lista con una elipsis sería un ejemplo.

Membresía

Si B es un conjunto y x es un elemento de B, esto se escribe de forma abreviada como < i>x ∈ B, que también se puede leer como "x pertenece a B& #34;, o "x está en B". La declaración "y no es un elemento de B" se escribe como y ∉ B, que también se puede leer como "y no está en B".

Por ejemplo, con respecto a los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {azul, blanco, rojo} y F = {n | n es un número entero, y 0 ≤ n ≤ 19},

El conjunto vacío

El vacío (o null set) es el conjunto único que no tiene miembros. Está denotado ∅ o ${displaystyle emptyset }$ o φ (o φ).

Conjuntos únicos

Un conjunto singleton es un conjunto con exactamente un elemento; dicho conjunto también puede denominarse conjunto de unidades. Cualquier conjunto de este tipo se puede escribir como {x}, donde x es el elemento. El conjunto {x} y el elemento x significan cosas diferentes; Halmos establece la analogía de que una caja que contiene un sombrero no es lo mismo que el sombrero.

Subconjuntos

Si cada elemento del conjunto A también está en B, entonces A se describe como un subconjunto de B, o contenido en B, escrito A ⊆ B, o B ⊇ A. La última notación se puede leer B contiene A, B incluye A o B es un superconjunto de A. La relación entre conjuntos establecida por ⊆ se denomina inclusión o contención. Dos conjuntos son iguales si se contienen entre sí: A ⊆ B y B ⊆ A es equivalente a A = B.

Si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B, entonces A se llama subconjunto propio de B. Esto se puede escribir A ⊊ B. Del mismo modo, B ⊋ A significa que B es un superconjunto propio de A, es decir, B contiene A< /i>, y no es igual a A.

Un tercer par de operadores ⊂ y ⊃ son usados de manera diferente por diferentes autores: algunos autores usan A ⊂ B y B ⊃ A significa que A es cualquier subconjunto de B (y no necesariamente un subconjunto propiamente dicho), mientras que otros reservan A ⊂ < i>B y B ⊃ A para casos donde A es un subconjunto propio de B.

Ejemplos:

• El conjunto de todos los humanos es un subconjunto adecuado del conjunto de todos los mamíferos.
• {1, 3} {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto, y todo conjunto es un subconjunto de sí mismo:

• ∅ A.
• A ⊆ A.

Diagramas de Euler y Venn

A es un subconjunto de B.
B es un superset de A.

Un diagrama de Euler es una representación gráfica de una colección de conjuntos; cada conjunto se representa como una región plana encerrada por un bucle, con sus elementos dentro. Si A es un subconjunto de B< /span>, entonces la región que representa A está completamente dentro de la región que representa B. Si dos conjuntos no tienen elementos en común, las regiones no se superponen.

Un diagrama de Venn, por el contrario, es una representación gráfica de n conjuntos en los que n bucles dividen el plano en 2ⁿ zonas tales que para cada forma de seleccionar algunos de los conjuntos n (posiblemente todos o ninguno), hay una zona para los elementos que pertenecen a todos los conjuntos seleccionados y a ninguno de los demás. Por ejemplo, si los conjuntos son A, B y C, debe haber una zona para los elementos que están dentro de A y C y fuera de B (incluso si tales elementos no existen).

Conjuntos especiales de números en matemáticas

Los números naturales ${displaystyle mathbb {N}$ están contenidos en los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$, que están contenidos en los números racionales ${displaystyle mathbb {Q}$, que están contenidos en los números reales ${displaystyle mathbb {R}$, que están contenidos en los números complejos ${displaystyle mathbb {C}$

Hay conjuntos de tal importancia matemática, a los que los matemáticos se refieren con tanta frecuencia, que han adquirido nombres especiales y convenciones de notación para identificarlos.

Muchos de estos juegos importantes están representados en textos matemáticos usando negrita (por ejemplo. ${displaystyle mathbf {Z}$) o pizarra audaz (por ejemplo. ${displaystyle mathbb {Z}$) tipografía. These include

• ${displaystyle mathbf {N}$ o ${displaystyle mathbb {N}$, el conjunto de todos los números naturales: ${displaystyle mathbf {N} = {0,1,2,3,...}$ (a menudo, los autores excluyen 0);
• ${displaystyle mathbf {Z}$ o ${displaystyle mathbb {Z}$, el conjunto de todos los enteros (ya sea positivo, negativo o cero): ${displaystyle mathbf {Z} ={...,-2,-1,0,1,2,3,...}$;
• ${displaystyle mathbf {Q}$ o ${displaystyle mathbb {Q}$, el conjunto de todos los números racionales (es decir, el conjunto de todas las fracciones apropiadas e inadecuadas): ${displaystyle mathbf {Q} =left{frac}mid a,bin mathbf {Z}bneq 0right}$. Por ejemplo, −7/4 ▪ Q y 5 = 5/1 ▪ Q;
• ${displaystyle mathbf {R}$ o ${displaystyle mathbb {R}$, el conjunto de todos los números reales, incluyendo todos los números racionales y todos los números irracionales (que incluyen números algebraicos tales como ${displaystyle {sqrt {2}}$ que no puede ser reescrito como fracciones, así como números trascendentales tales como π y e);
• ${displaystyle mathbf {C}$ o ${displaystyle mathbb {C}$, el conjunto de todos los números complejos: C =a + bi Silencio a, b ▪ R}, por ejemplo, 1 + 2i ▪ C.

Cada uno de los conjuntos de números anteriores tiene una cantidad infinita de elementos. Cada uno es un subconjunto de los conjuntos enumerados a continuación.

Los conjuntos de números positivos o negativos a veces son denotados por superscript más y menos signos, respectivamente. Por ejemplo, ${displaystyle mathbf {Q} {+}$ representa el conjunto de números racionales positivos.

Funciones

Una función (o mapeo) de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada "entrada" elemento de A una "salida" ese es un elemento de B; más formalmente, una función es un tipo especial de relación, que relaciona cada elemento de A con exactamente uno elemento de B. Una función se llama

• inyector (o uno a uno) si mapea dos elementos diferentes de A a diferentes elementos B,
• surjetivo (o sobre) si por cada elemento B, hay al menos un elemento A que mapas a ella, y
• bijetivo (o una correspondencia de uno a uno) si la función es inyectora y subjetiva, en este caso, cada elemento de A está emparejado con un elemento único B, y cada elemento de B está emparejado con un elemento único A, para que no haya elementos no deseados.

Una función inyectiva se denomina inyección, una función sobreyectiva se denomina sobreyección y una función biyectiva se denomina biyección o < i>correspondencia uno a uno.

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto S, denotado |S|, es el número de miembros de S. Por ejemplo, si B = {azul, blanco, rojo}, entonces |B| = 3. Los miembros repetidos en la notación de lista no se cuentan, por lo que |{azul, blanco, rojo, azul, blanco}| = 3, también.

Más formalmente, dos conjuntos comparten la misma cardinalidad si existe una correspondencia biunívoca entre ellos.

La cardinalidad del conjunto vacío es cero.

Conjuntos infinitos y cardinalidad infinita

La lista de elementos de algunos conjuntos es infinita, o infinito. Por ejemplo, el conjunto ${displaystyle mathbb {N}$ de números naturales es infinito. De hecho, todos los conjuntos especiales de números mencionados en la sección anterior son infinitos. Los juegos infinitos tienen infinita cardenalidad.

Algunas cardenalidades infinitas son mayores que otras. Argumentablemente uno de los resultados más significativos de la teoría del conjunto es que el conjunto de números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales. Conjuntos con cardenalidad inferior o igual a la de ${displaystyle mathbb {N}$ se llaman Sets contables; estos son conjuntos finitos o contablemente infinitos juegos (conjuntos de la misma cardinalidad que ${displaystyle mathbb {N}$); algunos autores utilizan "contable" para significar "contablemente infinito". Conjuntos con cardenalidad estrictamente mayor que el de ${displaystyle mathbb {N}$ se llaman conjuntos incontables.

Sin embargo, se puede demostrar que la cardinalidad de una línea recta (es decir, el número de puntos en una línea) es la misma que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, de todo el plano y, de hecho, de cualquier finito espacio euclidiano bidimensional.

La hipótesis del continuo

La hipótesis del continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, es la afirmación de que no existe un conjunto con cardinalidad estrictamente entre la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad de una línea recta. En 1963, Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo es independiente del sistema de axiomas ZFC que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. (ZFC es la versión más estudiada de la teoría axiomática de conjuntos).

Conjuntos de poder

El conjunto potencia de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. El conjunto vacío y S son elementos del conjunto potencia de S, porque ambos son subconjuntos de S. Por ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2, 3} es {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. El conjunto potencia de un conjunto S se suele escribir como P( S) o 2^S.

Si S tiene n elementos, entonces P(S) tiene 2^{n< /sup>} elementos. Por ejemplo, {1, 2, 3} tiene tres elementos y su conjunto de potencia tiene 2³ = 8 elementos, como se muestra arriba.

Si S es infinito (ya sea contable o incontable), entonces P (S) es incontable. Además, el conjunto de potencia siempre es estrictamente "más grande" que el conjunto original, en el sentido de que cualquier intento de emparejar los elementos de S con los elementos de < i>P(S) dejará algunos elementos de P(S) sin emparejar. (Nunca hay una biyección de S a P(S< /i>).)

Particiones

Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos no vacíos de S, tal que cada elemento x en S< /i> está exactamente en uno de estos subconjuntos. Es decir, los subconjuntos son separados por parejas (lo que significa que dos conjuntos cualesquiera de la partición no contienen ningún elemento en común), y la unión de todos los subconjuntos de la partición es S.

Operaciones básicas

El complemento de A dentro U

Suponga que se ha arreglado un conjunto universal U (un conjunto que contiene todos los elementos discutidos) y que A es un subconjunto de U.

• El complemento A es el conjunto de todos los elementos (de UEso sí no pertenecer a A. Puede ser denotado A^c o A.. En la notación de configuración, ${displaystyle ¿Qué?$. El complemento también se puede llamar complemento absoluto para distinguirlo del complemento relativo a continuación. Ejemplo: Si el conjunto universal se toma para ser el conjunto de enteros, entonces el complemento del conjunto de incluso enteros es el conjunto de números enteros extraños.

El sindicato de A y B, denotado A ∪ B

El intersección de A y B, denotado A ∩ B

El diferencia de configuración A B

El diferencia simétrica de A y B

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B,

• su sindicato A ∪ B es el conjunto de todas las cosas que son miembros de A o B o ambos.
• su intersección A ∩ B es el conjunto de todas las cosas que son miembros de ambos A y B. Si A ∩ B = ∅, entonces A y B se dice que disjoint.
• la diferencia del juego A B (también escrito A − B) es el conjunto de todas las cosas que pertenecen a A pero no B. Especialmente cuando B es un subconjunto de A, también se llama el complemento relativo B dentro A.
• su diferencia simétrica A Δ B es el conjunto de todas las cosas que pertenecen a A o B pero no ambos. Uno tiene ${displaystyle A,Delta ,B=(Asetminus B)cup (Bsetminus A)}$.
• su producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados ()a,b) tales que a es un elemento A y b es un elemento B.

Ejemplos:

• {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
• {1, 2, 3}}.
• {1, 2, 3} - {3, 4, 5} = {1, 2}.
• {1, 2, 3} Δ {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5}.
• {}a, b} × {1, 2, 3} = {a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

Las operaciones anteriores satisfacen muchas identidades. Por ejemplo, una de las leyes de De Morgan establece que (A ∪ B)′ = A ′ ∩ B′ (es decir, los elementos fuera de la unión de A y B son los elementos que están fuera de A y fuera de B).

La cardinalidad de A × B es el producto de las cardinalidades de A y B. (Este es un hecho elemental cuando A y B son finitos. Cuando uno o ambos son infinitos, se define la multiplicación de números cardinales para que esto sea cierto).

El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano con diferencia simétrica como la suma del anillo e intersección como la multiplicación del anillo.

Aplicaciones

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. Por ejemplo, las estructuras en álgebra abstracta, como grupos, campos y anillos, son conjuntos cerrados bajo una o más operaciones.

Una de las principales aplicaciones de la teoría ingenua de conjuntos es la construcción de relaciones. Una relación de un dominio A a un codominio B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. Por ejemplo, considerando el conjunto S = {piedra, papel, tijera} de formas en el juego del mismo nombre, la relación " latidos" de S a S es el conjunto B = {(tijeras,papel), (papel,piedra), (piedra,tijeras)}; por lo tanto, x vence a y en el juego si la pareja (x,y) es miembro de B< /lapso>. Otro ejemplo es el conjunto F de todos los pares (x, x ²), donde x es real. Esta relación es un subconjunto de R × R, porque el conjunto de todos los cuadrados es un subconjunto del conjunto de todos los cuadrados números. Dado que para cada x en R, uno y solo un par (x,...) se encuentra en F, se llama función. En notación funcional, esta relación se puede escribir como F(x) = x^{2< /sup>}.

Principio de inclusión y exclusión

El principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos finitos establece que el tamaño de su unión es la suma de los tamaños de los conjuntos menos el tamaño de su intersección.

El principio de inclusión-exclusión es una técnica para contar los elementos en una unión de dos conjuntos finitos en términos de los tamaños de los dos conjuntos y su intersección. Se puede expresar simbólicamente como

$${displaystyle SilencioAcup B vidas= vivenA sobrevivirA sobrevivir.$$

Una forma más general del principio da la cardinalidad de cualquier unión finita de conjuntos finitos:

$${displaystyle {begin{aligned}left habitA_{1}cup A_{2}cup A_{3}cup ldots cup A_{n}derecho sufrimiento= ventajaleft(left sometidaA_{1}derecho de la vidaA_{2}derecho de la vida* left sometidaA_{n}right WordPressright)\cH00}-left(left habitA_{1}cap A_{2}right forever+left foreverA_{1}cap A_{3}derecha sobre la vida+ldots left sometidaA_{n-1}cap A_{n}derecho a la derechaderecha)\\cH00}ldots\\cH00}left(left perpetuaA_{1}cap A_{2}cap A_{3}cap ldots cap A_{n} 'justo en la vida 'derecha).$$