Conjunto kakeya

En matemáticas, un conjunto de Kakeya, o conjunto de Besicovitch, es un conjunto de puntos en el espacio euclidiano que contiene un segmento de línea unitario en cada dirección. Por ejemplo, un disco de radio 1/2 en el plano euclidiano, o una bola de radio 1/2 en el espacio tridimensional, forma un conjunto Kakeya. Gran parte de la investigación en esta área ha estudiado el problema de cuán pequeños pueden ser dichos conjuntos. Besicovitch demostró que existen conjuntos de Besicovitch de medida cero.

Un conjunto de agujas Kakeya (a veces también conocido como conjunto Kakeya) es un conjunto (Besicovitch) en el plano con una propiedad más fuerte: un segmento de línea unitario se puede girar continuamente 180 grados dentro de él, volviendo a su posición original con la orientación invertida. Nuevamente, el disco de radio 1/2 es un ejemplo de un juego de agujas Kakeya.

Problema con la aguja de Kakeya

El Problema de aguja de Kakeya pregunta si hay un área mínima de una región ${displaystyle D}$ en el plano, en el que se puede girar una aguja de longitud de unidad a través de 360°. Esta pregunta fue planteada por primera vez, para las regiones convexas, por Sōichi Kakeya (1917). El área mínima para los conjuntos de convex se consigue por un triángulo equilátero de la altura 1 y el área 1/√3Como mostró Pál.

Kakeya parece haber sugerido que el conjunto Kakeya ${displaystyle D}$ de área mínima, sin la restricción de convexidad, sería una forma deltoide de tres puntos. Sin embargo, esto es falso; hay más pequeños conjuntos Kakeya no-convex.

Juegos de agujas Besicovitch

Besicovitch fue capaz de demostrar que no hay un límite inferior 0 para la zona de tal región ${displaystyle D}$, en la que se puede dar la vuelta a una aguja de longitud de unidad. Eso es, para todos ${displaystyle varepsilon }$, hay región de área ${displaystyle varepsilon }$ dentro del cual la aguja se puede mover a través de un movimiento continuo que lo gira 360 grados completos. Esto se construyó en su trabajo anterior, en conjuntos de avión que contienen un segmento de unidad en cada orientación. Tal conjunto se llama ahora Besicovitch set. El trabajo de Besicovitch que muestra tal conjunto podría tener una medida arbitrariamente pequeña era de 1919. El problema puede haber sido examinado por analistas antes de eso.

Un método para construir un conjunto de Besicovitch (consulte la figura para ver las ilustraciones correspondientes) se conoce como "árbol de Perron" en honor a Oskar Perron, que supo simplificar la construcción original de Besicovitch. La construcción precisa y los límites numéricos se dan en la popularización de Besicovitch.

La primera observación a hacer es que la aguja puede moverse en una línea recta hasta donde quiera sin barrer cualquier área. Esto se debe a que la aguja es un segmento de línea de ancho cero. El segundo truco de Pál, conocido como Pál se une describe cómo mover la aguja entre los dos lugares que son paralelos mientras barren el área insignificante. La aguja seguirá la forma de una "N". Se mueve desde la primera ubicación una cierta distancia ${displaystyle r}$ arriba la izquierda de la "N", barre el ángulo hacia la diagonal media, se mueve por la diagonal, barre el segundo ángulo, y se mueve hacia el lado derecho paralelo de la "N" hasta llegar a la segunda ubicación requerida. Las únicas regiones del área no cero barrido son los dos triángulos de la altura uno y el ángulo en la parte superior de la "N". El área barrida es proporcional a este ángulo que es proporcional a ${displaystyle 1/r}$.

La construcción comienza con cualquier triángulo con altura 1 y algún ángulo sustancial en la parte superior a través del cual la aguja puede pasar fácilmente. El objetivo es realizar muchas operaciones en este triángulo para reducir su área manteniendo las mismas direcciones a través de las cuales la aguja puede barrer. Primero considere dividir el triángulo en dos y trasladar las piezas una sobre otra para que sus bases se superpongan de manera que se minimice el área total. La aguja puede barrer las mismas direcciones barriendo las dadas por el primer triángulo, saltando al segundo y luego barriendo las direcciones dadas por el segundo. La aguja puede saltar triángulos usando la tecla "N" técnica porque las dos líneas en las que se cortó el triángulo original son paralelas.

Ahora, supongamos que dividimos nuestro triángulo en 2ⁿ subtriángulos. La figura muestra ocho. Para cada par consecutivo de triángulos, realiza la misma operación de superposición que describimos antes para obtener la mitad de formas nuevas, cada una de las cuales consta de dos triángulos superpuestos. Luego, superponga pares consecutivos de estas nuevas formas moviéndolas de modo que sus bases se superpongan de forma que se minimice el área total. Repite esto n veces hasta que solo quede una forma. Nuevamente, la aguja puede barrer las mismas direcciones barriendo aquellas en cada una de las 2ⁿ subtriángulos en orden de dirección. La aguja puede saltar triángulos consecutivos usando la tecla "N" técnica porque las dos líneas en las que se cortaron estos triángulos son paralelas.

Lo que queda es calcular el área de la forma final. La prueba es demasiado difícil de presentar aquí. En lugar de eso, simplemente discutiremos cómo podrían ir las cifras. Al observar la figura, se ve que los 2ⁿ subtriángulos se superponen mucho. Todos se superponen en la parte inferior, la mitad en la parte inferior de la rama izquierda, una cuarta parte en la parte inferior de la rama izquierda, y así sucesivamente. Supongamos que el área de cada forma creada con i operaciones de fusión de 2 subtriángulos ⁱ está delimitada por A_i. Antes de fusionar dos de estas formas, su área está delimitada por 2A_i. Luego juntamos las dos formas de manera que se superpongan tanto como sea posible. En el peor de los casos, estas dos regiones dos rectángulos de 1 por ε perpendiculares entre sí de modo que se superpongan en un área de solo ε². Pero las dos formas que hemos construido, si son largas y delgadas, apuntan en gran medida en la misma dirección porque están formadas por grupos consecutivos de subtriángulos. El movimiento de manos indica que se superponen en al menos el 1% de su área. Entonces el área fusionada estaría delimitada por A_i+1 = 1,99 A_i. El área del triángulo original está limitada por 1. Por lo tanto, el área de cada subtriángulo está limitada por A₀ = 2^-n y la forma final tiene un área delimitada por A_n = 1,99ⁿ × 2^-n . En realidad, un resumen cuidadoso de todas las áreas que no se superponen da como resultado que el área de la región final es mucho mayor, es decir, 1/n. A medida que n crece, esta área se reduce a cero. Se puede crear un conjunto de Besicovitch combinando seis rotaciones de un árbol de Perron creado a partir de un triángulo equilátero. Se puede hacer una construcción similar con paralelogramos.

Existen otros métodos para construir conjuntos de medida cero de Besicovitch además del método de 'brotación' método. Por ejemplo, Kahane usa conjuntos de Cantor para construir un conjunto de Besicovitch de medida cero en el plano bidimensional.

En 1941, H. J. Van Alphen mostró que hay pequeños conjuntos arbitrarios de agujas Kakeya dentro de un círculo con radio 2 + ε (arbitrary ε 0). Simplemente conectado Kakeya conjuntos de agujas con área más pequeña que el deltoide fueron encontrados en 1965. Melvin Bloom y yo. J. Schoenberg presentaron de forma independiente conjuntos de agujas Kakeya con áreas que se acercaban a ${displaystyle {tfrac {pi}{24}}(5-2{sqrt {2}}}}$, el Número de Bloom-Schoenberg. Schoenberg conjetura que este número es el límite inferior para el área de simplemente conectado conjuntos de agujas Kakeya. Sin embargo, en 1971, F. Cunningham mostró que, dado ε √≥ 0, hay un conjunto de agujas Kakeya simplemente conectado de área menos que ε contenido en un círculo de radio 1.

Aunque hay conjuntos de agujas Kakeya de medida positiva arbitrariamente pequeña y conjuntos de Besicovich de medida 0, no hay conjuntos de agujas Kakeya de medida 0.

Conjetura de Kakeya

Declaración

La misma pregunta sobre cuán pequeños podrían ser estos conjuntos de Besicovitch se planteó luego en dimensiones superiores, dando lugar a una serie de conjeturas conocidas colectivamente como conjeturas de Kakeya, y han ayudado a iniciar el campo de las matemáticas. conocida como teoría de la medida geométrica. En particular, si existen conjuntos de Besicovitch de medida cero, ¿podrían también tener una medida cero de Hausdorff s-dimensional para alguna dimensión s menor que la dimensión del espacio en el que se encuentran? Esta pregunta da lugar a la siguiente conjetura:

Kakeya set conjecture: Definir un Besicovitch set dentro Rⁿ para ser un conjunto que contiene un segmento de línea de unidad en cada dirección. Es cierto que tales conjuntos necesariamente tienen la dimensión Hausdorff y la dimensión Minkowski igual a n?

Se sabe que esto es cierto para n = 1, 2, pero sólo se conocen resultados parciales en dimensiones superiores.

Función máxima de Kakeya

Una forma moderna de abordar este problema es considerar un tipo particular de función máxima, que construimos como sigue: Denote Sⁿ⁻¹ ⊂ Rⁿ ser la esfera de unidad en n- espacio dimensional. Define ${displaystyle T_{e} {delta }(a)}$ para ser el cilindro de la longitud 1, radio δ 0, centrado en el punto a ▪ Rⁿ, y cuyo lado largo es paralelo a la dirección del vector unidad e ▪ Sⁿ⁻¹. Entonces para una función integradora local f, definimos el Función máxima de Kakeya de f para ser

${displaystyle f_{*}{delta }(e)=sup _{ain mathbf {fn} {fn} {fnh} {fnh} {fn} {fn}}int _{T_{e}{delta }(a)}(a)}$

Donde m denota los n-dimensional Medida de lebesgue. Note que ${displaystyle f_{*} {fnK}} {fnfnK}} {fnfnK}} }$ se define para vectores e en la esfera Sⁿ⁻¹.

Entonces hay una conjetura para estas funciones que, de ser cierta, implicará la conjetura del conjunto de Kakeya para dimensiones superiores:

Kakeya máxima función conjetura: Para todos los ε > 0, existe una constante C_ε ■ 0 tal que para cualquier función f y todo δ > 0, (ver espacio lp para notación)

${displaystyle leftpersf_{*}{delta }rightfn_{L^{n}(mathbf [S] ^{n-1}leqslant C_{epsilon }delta ^{-epsilon } tuerca.$

Resultados

Algunos resultados para probar la conjetura de Kakeya son los siguientes:

• La conjetura de Kakeya es verdadera para n = 1 (trivialmente) y n = 2 (Davies).
• En cualquier n- espacio dimensional, Wolff mostró que la dimensión de un conjunto de Kakeya debe ser al menos (n+2)/2.
• En 2002, Katz y Tao mejoraron el límite de Wolff a ${displaystyle (2-{sqrt {2})(n-4)+3}$, que es mejor para n ■ 4.
• En 2000, Katz, Łaba y Tao demostraron que la dimensión Minkowski de Kakeya se sitúa en 3 dimensiones es estrictamente superior a 5/2.
• En 2000, Jean Bourgain conectó el problema de Kakeya a la combinatoria aritmética que implica análisis armónico y teoría de números aditivos.
• En 2017, Katz y Zahl mejoraron el límite inferior en la dimensión Hausdorff de Besicovitch conjuntos en 3 dimensiones a ${displaystyle 5/2+epsilon }$ para una constante absoluta ${displaystyle epsilon }$.

Aplicaciones al análisis

Sorprendentemente, se ha demostrado que estas conjeturas están conectadas con una serie de cuestiones en otros campos, especialmente en el análisis armónico. Por ejemplo, en 1971, Charles Fefferman pudo utilizar la construcción de conjuntos de Besicovitch para demostrar que en dimensiones mayores que 1, las integrales de Fourier truncadas tomadas sobre bolas centradas en el origen con radios que tienden al infinito no necesitan converger en la norma Lp cuando p ≠ 2 (esto contrasta con el caso unidimensional donde tales integrales truncadas convergen).

Análogos y generalizaciones del problema de Kakeya

Conjuntos que contienen círculos y esferas

Los análogos del problema de Kakeya incluyen considerar conjuntos que contienen formas más generales que líneas, como círculos.

• En 1997 y 1999, Wolff demostró que los conjuntos que contienen una esfera de cada radio deben tener una dimensión completa, es decir, la dimensión es igual a la dimensión del espacio en el que se encuentra, y probó esto probando límites en una función máxima circular análoga a la función máxima de Kakeya.

• Se conjetura que existían conjuntos que contenían una esfera alrededor de cada punto de medida cero. Los resultados de Elias Stein demostraron que todos estos conjuntos deben tener una medida positiva cuando n ≥ 3, y Marstrand demostró lo mismo para el caso n=2.

Conjuntos que contienen discos de k dimensiones

Una generalización de la conjetura de Kakeya es considerar conjuntos que contienen, en lugar de segmentos de líneas en todas las direcciones, sino, digamos, porciones de subespacios k-dimensionales. Defina un conjunto (n, k)-Besicovitch K para que sea un conjunto compacto en Rⁿ que contiene una traducción de cada disco unitario k-dimensional que tiene medida de Lebesgue cero. Es decir, si B denota la bola unitaria centrada en cero, para cada subespacio k-dimensional P, existe x ∈ Rⁿ tal que (P ∩ B) + x ⊆ K. Por lo tanto, un conjunto (n, 1)-Besicovitch es el conjunto estándar de Besicovitch descrito anteriormente.

Eln, k)-Besicovitch conjetura: No hay (n, k)-Besicovitch juegos para k ■ 1.

En 1979, Marstrand demostró que no existían conjuntos (3, 2)-Besicovitch. Sin embargo, aproximadamente al mismo tiempo, Falconer demostró que no había conjuntos (n, k)-Besicovitch para 2k > n. La mejor vinculación hasta la fecha es la de Bourgain, quien demostró que no existen tales conjuntos cuando 2^k−1 + k > n.

Kakeya establece espacios vectoriales sobre campos finitos

En 1999, Wolff planteó el campo finito análogo al problema de Kakeya, con la esperanza de que las técnicas para resolver esta conjetura pudieran trasladarse al caso euclidiano.

Finite Field Kakeya Conjecture# F ser un campo finito, K ⊆ Fⁿ ser un juego de Kakeya, es decir, para cada vector Sí. ▪ Fⁿ existe x ▪ Fⁿ tales que K contiene una línea {x + Tipo: t ▪ F}. Entonces el set K tiene tamaño al menos c_nSilencioFSilencioⁿ Donde c_nEs una constante que sólo depende de n.

Zeev Dvir demostró esta conjetura en 2008, demostrando que la afirmación es válida para c_n = 1/n!. En su prueba, observó que cualquier polinomio en n variables de grado menor que |F| que desaparece en un conjunto de Kakeya debe ser idénticamente cero. Por otro lado, los polinomios en n variables de grado menor que |F| formar un espacio vectorial de dimensión

${displaystyle {mathbf {f}fn1fn}gq {fnh}fn} Oh, Dios mío.$

Por lo tanto, existe al menos un polinomio no trivial de grado menor que |F| que desaparece en cualquier conjunto dado con menos de este número de puntos. La combinación de estas dos observaciones muestra que los conjuntos de Kakeya deben tener al menos |F|ⁿ/n! puntos.

No está claro si las técnicas se extenderán para demostrar la conjetura original de Kakeya, pero esta prueba da credibilidad a la conjetura original al hacer improbables los contraejemplos esencialmente algebraicos. Dvir ha escrito un artículo de encuesta sobre los avances recientes en el problema de Kakeya del campo finito y su relación con los extractores de aleatoriedad.