Conjunto (física matemática)

En física, específicamente mecánica estadística, un conjunto (también conjunto estadístico) es una idealización que consiste en una gran cantidad de copias virtuales (a veces infinitas) de un sistema., considerados todos a la vez, cada uno de los cuales representa un estado posible en el que podría estar el sistema real. En otras palabras, un conjunto estadístico es un conjunto de sistemas de partículas que se utilizan en mecánica estadística para describir un solo sistema. El concepto de conjunto fue introducido por J. Willard Gibbs en 1902.

Un conjunto termodinámico es una variedad específica de conjunto estadístico que, entre otras propiedades, está en equilibrio estadístico (definido a continuación) y se utiliza para derivar las propiedades de los sistemas termodinámicos a partir de las leyes de la teoría clásica. o la mecánica cuántica.

Consideraciones físicas

El conjunto formaliza la noción de que un experimentador que repite un experimento una y otra vez bajo las mismas condiciones macroscópicas, pero incapaz de controlar los detalles microscópicos, puede esperar observar una variedad de resultados diferentes.

El tamaño nocional de los conjuntos en termodinámica, mecánica estadística y mecánica estadística cuántica puede ser muy grande, incluidos todos los estados microscópicos posibles en los que podría estar el sistema, en consonancia con sus propiedades macroscópicas observadas. Para muchos casos físicos importantes, es posible calcular promedios directamente sobre todo el conjunto termodinámico, para obtener fórmulas explícitas para muchas de las cantidades termodinámicas de interés, a menudo en términos de la función de partición adecuada.

El concepto de conjunto estacionario o de equilibrio es crucial para muchas aplicaciones de conjuntos estadísticos. Aunque un sistema mecánico ciertamente evoluciona con el tiempo, el conjunto no necesariamente tiene que evolucionar. De hecho, el conjunto no evolucionará si contiene todas las fases pasadas y futuras del sistema. Tal conjunto estadístico, uno que no cambia con el tiempo, se llama estacionario y se puede decir que está en equilibrio estadístico.

Terminología

• La palabra "sensamble" también se utiliza para un pequeño conjunto de posibilidades que se muestra desde el conjunto completo de posibles estados. Por ejemplo, una colección de caminantes en una cadena de Markov Monte Carlo iteration se llama conjunto en algunas de las publicaciones.
• El término "sensamble" se utiliza a menudo en la física y la literatura influenciada por la física. En teoría de probabilidad, el espacio de probabilidad de término es más prevalente.

Tipos principales

Representación visual de cinco conjuntos estadísticos (de izquierda a derecha): conjunto microcanónico, conjunto canónico, gran ensemble canónico, conjunto isobarico-isotérmico, conjunto isoenthalpic-isobaric

El estudio de la termodinámica se ocupa de los sistemas que a la percepción humana parecen ser "estáticos" (a pesar del movimiento de sus partes internas), y que pueden ser descritos simplemente por un conjunto de variables macroscópicamente observables. Estos sistemas pueden describirse mediante conjuntos estadísticos que dependen de unos pocos parámetros observables y que se encuentran en equilibrio estadístico. Gibbs señaló que diferentes restricciones macroscópicas conducen a diferentes tipos de conjuntos, con características estadísticas particulares. Gibbs definió tres conjuntos termodinámicos importantes:

• Conjunto microcanonico (o NVE ensemble) — un conjunto estadístico donde la energía total del sistema y el número de partículas en el sistema se fijan a valores particulares; cada uno de los miembros del conjunto debe tener el mismo número total de energía y partículas. El sistema debe permanecer totalmente aislado (incapaz de intercambiar energía o partículas con su entorno) para mantenerse en equilibrio estadístico.
• Conjunto canónico (o NVT ensemble) - un conjunto estadístico donde la energía no se conoce exactamente pero el número de partículas se fija. En lugar de la energía, se especifica la temperatura. El conjunto canónico es adecuado para describir un sistema cerrado que está en, o ha estado en, débil contacto térmico con un baño de calor. Para estar en equilibrio estadístico, el sistema debe permanecer totalmente cerrado (incapaz de intercambiar partículas con su entorno) y puede entrar en contacto térmico débil con otros sistemas descritos por conjuntos con la misma temperatura.
• Gran conjunto canónico (o μVT ensemble) - un conjunto estadístico donde no se fija la energía ni el número de partículas. En su lugar, se especifica la temperatura y el potencial químico. El gran conjunto canónico es adecuado para describir un sistema abierto: uno que está en, o ha estado en, contacto débil con un embalse (contacto térmico, contacto químico, contacto radiativo, contacto eléctrico, etc.). El conjunto permanece en equilibrio estadístico si el sistema entra en contacto débil con otros sistemas descritos por conjuntos con la misma temperatura y potencial químico.

Los cálculos que se pueden realizar con cada uno de estos conjuntos se exploran más detalladamente en sus respectivos artículos. También se pueden definir otros conjuntos termodinámicos, correspondientes a diferentes requisitos físicos, para los cuales a menudo se pueden derivar fórmulas análogas. Por ejemplo, en el conjunto de reacción, solo se permite que ocurran fluctuaciones en el número de partículas de acuerdo con la estequiometría de las reacciones químicas que están presentes en el sistema.

Representaciones

La expresión matemática precisa para un conjunto estadístico tiene una forma distinta según el tipo de mecánica que se considere (cuántica o clásica). En el caso clásico, el conjunto es una distribución de probabilidad sobre los microestados. En mecánica cuántica, esta noción, debida a von Neumann, es una forma de asignar una distribución de probabilidad sobre los resultados de cada conjunto completo de observables conmutables. En mecánica clásica, el conjunto se escribe como una distribución de probabilidad en el espacio de fase; los microestados son el resultado de la partición del espacio de fase en unidades de igual tamaño, aunque el tamaño de estas unidades se puede elegir de manera un tanto arbitraria.

Requisitos para las representaciones

Dejando de lado por el momento la cuestión de cómo se generan operativamente los conjuntos estadísticos, deberíamos poder realizar las siguientes dos operaciones en los conjuntos A, B del mismo sistema:

• Prueba si A, B son estadísticamente equivalentes.
• Si p es un número real tal que 0 p # 1, luego producir un nuevo conjunto por muestreo probabilístico de A con probabilidad p y desde B con probabilidad 1 – p.

Bajo ciertas condiciones, por lo tanto, las clases de equivalencia de conjuntos estadísticos tienen la estructura de un conjunto convexo.

Mecánica cuántica

Un conjunto estadístico en la mecánica cuántica (también conocido como estado mixto) es más a menudo representado por una matriz de densidad, denotada por *** *** ^ ^ {displaystyle {hat {rho }}. La matriz de densidad proporciona una herramienta totalmente general que puede incorporar ambas incertidumbres cuánticas (presente incluso si el estado del sistema fuera completamente conocido) y incertidumbres clásicas (debido a la falta de conocimiento) de una manera unificada. Cualquier observable físico X en la mecánica cuántica se puede escribir como un operador, X̂. El valor de expectativa de este operador en el conjunto estadístico *** *** {displaystyle rho } se da por el siguiente trazo:

.. X.. =Tr⁡ ⁡ ()X^ ^ *** *** ).{displaystyle langle Xrangle =operatorname {Tr} ({hat {X}rho). }

Esto se puede utilizar para evaluar promedios (operador) X̂), diferencias (usando operador X̂ ²), covarianzas (usando operador X̂), etc. La matriz de densidad siempre debe tener un rastro de 1: Tr⁡ ⁡ *** *** ^ ^ =1{displaystyle operatorname {fnh} {fnfnh} {fnfnh} {fnfn} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnh00fnh00}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnh}fnfnfnfnfnfnfnh00}fnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnKfnh00}fnfnh00}fnK}fnfnfnfnh00}fnfnfnfnfncH00fnfnfnh00}}}}}}} }=1} (esta es esencialmente la condición de que las probabilidades deben agregar hasta uno).

En general, el conjunto evoluciona con el tiempo según la ecuación de von Neumann.

El equilibrio se asemeja (aquellos que no evolucionan con el tiempo, d*** *** ^ ^ /dt=0{displaystyle d{hat {fnfnh00} }/dt=0}) se puede escribir únicamente como función de variables conservadas. Por ejemplo, el conjunto microcanónico y el conjunto canónico son funciones estrictas de la energía total, que se mide por el operador de energía total Ĥ (Hamiltoniano). El gran conjunto canónico es además una función del número de partículas, medida por el número total de partículas operador N̂. Tales conjuntos de equilibrio son una matriz diagonal en la base ortogonal de estados que simultáneamente diagonalizan cada variable conservada. En la notación del sujetador, la matriz de densidad es

*** *** ^ ^ =.. iPiSilencio↑ ↑ i.. .. ↑ ↑ iSilencio{fnMicrosoft {fnfnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\fnfn\\\\\fn\\fn\\\fnfn\\\fn\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\fn\\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\ }= - Hola. _{i}rangle langle psi - Hola.

donde el |ψ_i⟩, indexado por i, son los elementos de una base completa y ortogonal. (Tenga en cuenta que en otras bases, la matriz de densidad no es necesariamente diagonal).

Mecánica clásica

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fase (top). Cada sistema consiste en una partícula masiva en un pozo potencial único (curva roja, figura inferior). El conjunto inicialmente compacto se gira con el tiempo.

En la mecánica clásica, un conjunto se representa mediante una función de densidad de probabilidad definida sobre el espacio de fase del sistema. Mientras que un sistema individual evoluciona según las ecuaciones de Hamilton, la función de densidad (el conjunto) evoluciona con el tiempo según la ecuación de Liouville.

En un sistema mecánico con un número definido de partes, el espacio de fase tiene n coordenadas generalizadas llamadas q₁,... q_n, y n momentos canónicos asociados llamados p₁,... p_n. El conjunto se representa entonces mediante una función de densidad de probabilidad conjunta ρ(p₁,... p_n, q₁,... q _n).

Si se permite que el número de partes en el sistema varíe entre los sistemas en el conjunto (como en un gran conjunto donde el número de partículas es una cantidad aleatoria), entonces es una distribución de probabilidad sobre un espacio de fase extendido que incluye otras variables como números de partículas N₁ (primer tipo de partícula), N₂ (segundo tipo de partícula), y así sucesivamente hasta N<sub s (el último tipo de partícula; s es cuántos tipos diferentes de partículas que hay). El conjunto se representa entonces mediante una función de densidad de probabilidad conjunta ρ(N₁,... N_s, p₁,... p _n, q₁,... q _n). El número de coordenadas n varía con el número de partículas.

Cualquier cantidad mecánica X se puede escribir como una función de la fase del sistema. El valor esperado de cualquier cantidad de este tipo viene dado por una integral sobre todo el espacio de fase de esta cantidad ponderada por ρ:

.. X.. =.. N1=0JUEGO JUEGO ...... .. Ns=0JUEGO JUEGO ∫ ∫ ...... ∫ ∫ *** *** Xdp1...... dqn.{displaystyle langle Xrangle =sum ## {N_{1}=0} {infty}ldots sum # {N_{s}=0} {infty }int ldots int rho X,dp_{1}ldots dq_{n}

Se aplica la condición de normalización de probabilidad, que requiere

.. N1=0JUEGO JUEGO ...... .. Ns=0JUEGO JUEGO ∫ ∫ ...... ∫ ∫ *** *** dp1...... dqn=1.{displaystyle sum ## {N_{1}=0} {infty}ldots sum # {N_{s}=0} {infty }int ldots int rho ,dp_{1}ldots Dq_{n}=1.

El espacio de fase es un espacio continuo que contiene un número infinito de estados físicos distintos dentro de cualquier región pequeña. Para conectar la densidad de probabilidad en el espacio de fase a una distribución de probabilidad sobre microestados, es necesario de alguna manera dividir el espacio de fase en bloques que se distribuyen representando los diferentes estados de el sistema de manera justa. Resulta que la forma correcta de hacer esto simplemente da como resultado bloques de espacio de fase canónico del mismo tamaño, por lo que un microestado en la mecánica clásica es una región extendida en el espacio de fase de coordenadas canónicas que tiene un volumen particular. En particular, la función de densidad de probabilidad en el espacio de fase, ρ, está relacionada con la distribución de probabilidad sobre microestados, P por un factor

*** *** =1hnCP,{displaystyle rho ={frac {1}{h^{n}C}P,}

dónde

• h es una constante arbitraria pero predeterminada con las unidades tiempo de energía, establecer la extensión del microstate y proporcionar dimensiones correctas a ***.
• C es un factor de corrección contable (véase infra), generalmente dependiente del número de partículas y preocupaciones similares.

Dado que h se puede elegir arbitrariamente, el tamaño teórico de un microestado también es arbitrario. Aun así, el valor de h influye en las compensaciones de cantidades como la entropía y el potencial químico, por lo que es importante ser coherente con el valor de h al comparar diferentes sistemas.

Corregir el conteo excesivo en el espacio de fase

Normalmente, el espacio de fase contiene duplicados del mismo estado físico en varias ubicaciones distintas. Esto es consecuencia de la forma en que un estado físico se codifica en coordenadas matemáticas; la elección más simple del sistema de coordenadas a menudo permite codificar un estado de múltiples maneras. Un ejemplo de esto es un gas de partículas idénticas cuyo estado se escribe en términos de las partículas' posiciones y momentos individuales: cuando se intercambian dos partículas, el punto resultante en el espacio de fase es diferente y, sin embargo, corresponde a un estado físico idéntico del sistema. Es importante en la mecánica estadística (una teoría sobre los estados físicos) reconocer que el espacio de fase es solo una construcción matemática y no sobreestimar ingenuamente los estados físicos reales al integrar sobre el espacio de fase. Contar en exceso puede causar serios problemas:

• Dependencia de las cantidades derivadas (como entropía y potencial químico) en la elección del sistema de coordenadas, ya que un sistema de coordenadas puede mostrar más o menos contabilidad que otro.
• Conclusiones erróneas que son inconsistentes con la experiencia física, como en la paradoja mezcladora.
• Cuestiones fundamentales para definir el potencial químico y el gran conjunto canónico.

En general, es difícil encontrar un sistema de coordenadas que codifique de forma única cada estado físico. Como resultado, generalmente es necesario usar un sistema de coordenadas con múltiples copias de cada estado y luego reconocer y eliminar el conteo excesivo.

Una forma rudimentaria de eliminar el conteo excesivo sería definir manualmente una subregión del espacio de fase que incluya cada estado físico solo una vez y luego excluir todas las demás partes del espacio de fase. En un gas, por ejemplo, se podrían incluir solo aquellas fases en las que las partículas' Las coordenadas x se ordenan en orden ascendente. Si bien esto resolvería el problema, la integral resultante sobre el espacio de fase sería tediosa de realizar debido a la forma inusual de su límite. (En este caso, el factor C introducido anteriormente se establecería en C = 1, y la integral estaría restringida a la subregión seleccionada del espacio de fase).

Una forma más sencilla de corregir el conteo excesivo es integrar todo el espacio de fase pero reducir el peso de cada fase para compensar exactamente el conteo excesivo. Esto se logra mediante el factor C presentado anteriormente, que es un número entero que representa de cuántas maneras se puede representar un estado físico en el espacio de fase. Su valor no varía con las coordenadas canónicas continuas, por lo que el conteo excesivo se puede corregir simplemente integrando el rango completo de coordenadas canónicas y luego dividiendo el resultado por el factor de conteo excesivo. Sin embargo, C varía mucho con variables discretas como el número de partículas, por lo que debe aplicarse antes de sumar los números de partículas.

Como se mencionó anteriormente, el ejemplo clásico de este conteo excesivo es para un sistema de fluido que contiene varios tipos de partículas, donde dos partículas cualesquiera del mismo tipo son indistinguibles e intercambiables. Cuando el estado se escribe en términos de las partículas' posiciones y momentos individuales, entonces el conteo relacionado con el intercambio de partículas idénticas se corrige usando

C=N1!N2!...... Ns!.{displaystyle ¡C=N_{1}! ¡No!

Esto se conoce como "recuento correcto de Boltzmann".

Conjuntos en estadísticas

La formulación de conjuntos estadísticos que se utiliza en la física ahora ha sido ampliamente adoptada en otros campos, en parte porque se ha reconocido que el conjunto canónico o medida de Gibbs sirve para maximizar la entropía de un sistema, sujeto a un conjunto de restricciones: este es el principio de máxima entropía. Este principio ahora se ha aplicado ampliamente a problemas en lingüística, robótica y similares.

Además, los conjuntos estadísticos en física a menudo se basan en un principio de localidad: todas las interacciones son solo entre átomos vecinos o moléculas cercanas. Así, por ejemplo, los modelos de celosía, como el modelo de Ising, modelan materiales ferromagnéticos por medio de interacciones de vecinos más cercanos entre espines. La formulación estadística del principio de localidad se ve ahora como una forma de la propiedad de Markov en sentido amplio; los vecinos más cercanos ahora son mantas de Markov. Por lo tanto, la noción general de un conjunto estadístico con interacciones del vecino más cercano conduce a campos aleatorios de Markov, que nuevamente encuentran una amplia aplicabilidad; por ejemplo en las redes de Hopfield.

Promedio del conjunto

En mecánica estadística, el promedio del conjunto se define como la media de una cantidad que es función del microestado de un sistema, según la distribución del sistema en sus microestados en este conjunto.

Dado que el promedio del conjunto depende del conjunto elegido, su expresión matemática varía de un conjunto a otro. Sin embargo, la media obtenida para una cantidad física dada no depende del conjunto elegido en el límite termodinámico. El gran conjunto canónico es un ejemplo de sistema abierto.

Mecánica estadística clásica

Para un sistema clásico en equilibrio térmico con su entorno, el promedio del conjunto toma la forma de una integral sobre el espacio de fases del sistema:

Ā ̄ =∫ ∫ Ae− − β β H()q1,q2,...qM,p1,p2,...pN)dτ τ ∫ ∫ e− − β β H()q1,q2,...qM,p1,p2,...pN)dτ τ {displaystyle {bar}={frac {fnMicroc}int {Ae^{-beta H(q_{1},q_{2},...q_{M},p_{1},p_{2},...p_{N}}dtau H(q_{1},q_{2},...q_{M},p_{2},...p_{N}dtau }

donde:

Ā ̄ {displaystyle {bar {}}} es el promedio conjunto de la propiedad del sistema A,

β β {displaystyle beta } es 1kT{fnMicroc} {1}{kT}}, conocido como beta termodinámica,

H es el Hamiltoniano del sistema clásico en términos del conjunto de coordenadas qi{displaystyle q_{i} y su conjugado generalizado momenta pi{displaystyle P_{i}, y

dτ τ {displaystyle dtau } es el elemento de volumen del espacio clásico de fase de interés.

El denominador de esta expresión se conoce como función de partición y se denota con la letra Z.

Mecánica estadística cuántica

En la mecánica estadística cuántica, para un sistema cuántico en equilibrio térmico con su entorno, el promedio ponderado toma la forma de una suma de estados cuánticos de energía, en lugar de una integral continua:

Ā ̄ =.. iAie− − β β Ei.. ie− − β β Ei{displaystyle {bar {f}={frac {fnMicroc {fnK}}= {fnK} {f}fnK} {f}fnK} {fnK}}f}} {f}}fnfnf}fnfnKf}f}}}fnfnfnfnh}}fnfnfnfnfnfnKfnKfnfnfnh}fnfnfnKfnfnfnf}fnf}}}}}fnfnKfnKfnKfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnh}}}}fn ##{i}{i}e^{-beta E_{i}}} {sum ¿Qué? ¿Qué?

Promedio de conjunto canónico

La versión generalizada de la función de partición proporciona el marco completo para trabajar con promedios de conjunto en termodinámica, teoría de la información, mecánica estadística y mecánica cuántica.

El conjunto microcanónico representa un sistema aislado en el que la energía (E), el volumen (V) y el número de partículas (N) son todos constantes. El conjunto canónico representa un sistema cerrado que puede intercambiar energía (E) con su entorno (generalmente un baño de calor), pero el volumen (V) y el número de partículas (N) son todos constantes. El gran conjunto canónico representa un sistema abierto que puede intercambiar energía (E) así como partículas con su entorno pero el volumen (V) se mantiene constante.

Interpretación operativa

En la discusión dada hasta ahora, aunque rigurosa, hemos dado por sentado que la noción de un conjunto es válida a priori, como se hace comúnmente en el contexto físico. Lo que no se ha demostrado es que el conjunto en sí mismo (no los resultados consiguientes) es un objeto matemáticamente definido con precisión. Por ejemplo,

• No está claro dónde está sistemas muy grandes existe (por ejemplo, ¿es un gas de partículas dentro de un contenedor?)
• No está claro cómo generar físicamente un conjunto.

En esta sección, intentamos responder parcialmente a esta pregunta.

Supongamos que tenemos un procedimiento de preparación para un sistema en física laboratorio: Por ejemplo, el procedimiento podría involucrar un aparato físico y algunos protocolos para manipular el aparato. Como resultado de este procedimiento de preparación, algunos sistemas se produce y se mantiene de forma aislada durante un breve período de tiempo. Repitiendo este procedimiento de preparación de laboratorio obtenemos un secuencia de sistemas X₁, X₂, ....,X_k, que en nuestra idealización matemática, suponemos que es una secuencia infinita de sistemas. Los sistemas son similares en el sentido de que todos fueron producidos de la misma manera. Esta secuencia infinita es un conjunto.

En un entorno de laboratorio, cada uno de estos sistemas preparados podría usarse como entrada para un subsiguiente procedimiento de prueba. Una vez más, el procedimiento de prueba implica un aparato físico y unos protocolos; como resultado de la procedimiento de prueba obtenemos una respuesta sí o no. Dado un procedimiento de prueba E aplicado a cada sistema preparado, obtenemos una secuencia de valores Medir (E, X₁), Medir (E, X₂), ...., Medida (E, X_k). Cada uno de estos valores es un 0 (o no) o un 1 (sí).

Suponga que existe el siguiente promedio de tiempo:

σ σ ()E)=limN→ → JUEGO JUEGO 1N.. k=1NMeas⁡ ⁡ ()E,Xk){displaystyle sigma (E)=lim - ¿Por qué? {1}{N}sum} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Meas} (E,X_{k)}

Para los sistemas mecánicos cuánticos, una suposición importante hecha en el enfoque de la lógica cuántica a la mecánica cuántica es la identificación de preguntas sí-no a la red de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert. Con algunos adicionales supuestos técnicos uno puede entonces inferir que los estados están dados por operadores de densidad S tal que:

σ σ ()E)=Tr⁡ ⁡ ()ES).{displaystyle sigma (E)=operatorname {Tr} (ES). }

Vemos que esto refleja la definición de estados cuánticos en general: un estado cuántico es un mapeo de los observables a sus valores esperados.