Conjunto dirigido

En matemáticas, a set (o una preordenada dirigida o a set filtrado) es un conjunto no vacío ${displaystyle A}$ junto con una relación binaria reflexiva y transitiva ${displaystyle ,leq ,}$ (es decir, un preorden), con la propiedad adicional que cada par de elementos tiene un límite superior. En otras palabras, para cualquier ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ dentro ${displaystyle A}$ debe existir ${displaystyle c}$ dentro ${displaystyle A}$ con ${displaystyle aleq c}$ y ${displaystyle bleq c.}$ El preorden de un set dirigido se llama dirección.

La noción definida anteriormente a veces se denomina conjunto dirigido hacia arriba. Un conjunto dirigido hacia abajo es definido de manera análoga, lo que significa que cada par de elementos está acotado por debajo. Algunos autores (y este artículo) asumen que un conjunto dirigido está dirigido hacia arriba, a menos que se indique lo contrario. Otros autores llaman a un conjunto dirigido si y sólo si está dirigido tanto hacia arriba como hacia abajo.

Los conjuntos dirigidos son una generalización de conjuntos totalmente ordenados no vacíos. Es decir, todos los conjuntos totalmente ordenados son conjuntos dirigidos (en contraste con los conjuntos parcialmente ordenados, que no necesitan ser dirigidos). Los semirretículos de unión (que son conjuntos parcialmente ordenados) también son conjuntos dirigidos, pero no a la inversa. Asimismo, las redes son conjuntos dirigidos tanto hacia arriba como hacia abajo.

En topología, los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes, que generalizan secuencias y unen las diversas nociones de límite utilizadas en el análisis. Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en álgebra abstracta y (más generalmente) en teoría de categorías.

Definición equivalente

Además de la definición anterior, hay una definición equivalente. A set es un juego ${displaystyle A}$ con un preorden tal que cada subconjunto finito de ${displaystyle A}$ tiene un límite superior. En esta definición, la existencia de un límite superior del subconjunto vacío implica que ${displaystyle A}$ no está vacío.

Ejemplos

El conjunto de números naturales ${displaystyle mathbb {N}$ con el orden ordinario ${displaystyle ,leq ,}$ es uno de los ejemplos más importantes de un conjunto dirigido (y así es todo conjunto totalmente ordenado). Por definición, a neto es una función de un conjunto dirigido y una secuencia es una función de los números naturales ${displaystyle mathbb {N}$ Cada secuencia canónicamente se convierte en una red al doblar ${displaystyle mathbb {N}$ con ${displaystyle ,leq.,}$

Un ejemplo (trivial) de un conjunto parcialmente ordenado que es no dirigido es el conjunto ${displaystyle {a,b},}$ en que las únicas relaciones de orden son ${displaystyle aleq a}$ y ${displaystyle bleq b.}$ Un ejemplo menos trivial es como el ejemplo anterior de los "reales dirigidos hacia ${displaystyle x_{0}$" pero en la que la regla de orden sólo se aplica a pares de elementos en el mismo lado de ${displaystyle x_{0}$ (es decir, si uno toma un elemento ${displaystyle a}$ a la izquierda ${displaystyle x_{0},}$ y ${displaystyle b}$ a su derecho, entonces ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ no son comparables, y el subconjunto ${displaystyle {a,b}$ no tiene límite superior).

Si ${displaystyle x_{0}$ es un número real entonces el conjunto ${displaystyle I:=Mathbb {R} backslash lbrace x_{0}rbrace }$ se puede convertir en un conjunto dirigido ${displaystyle aleq _{I}b}$ si ${displaystyle left habita-x_{0}right sometidageqleft habitb-x_{0}right WordPress}$ (así que los elementos "más grandes" están más cerca ${displaystyle x_{0}$). Entonces decimos que los reales han sido dirigidas hacia ${displaystyle x_{0}$ Este es un ejemplo de un conjunto dirigido que es ninguno parcialmente ordenado ni totalmente ordenado. Esto es porque la antisimetría se descompone por cada par ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ equidistante de ${displaystyle x_{0},}$ Donde ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ están en los lados opuestos ${displaystyle x_{0}$ Explícitamente, esto sucede cuando ${displaystyle {a,b}=left{x_{0}-r,x_{0}+rright}$ para algunos reales ${displaystyle rneq 0,}$ en qué caso ${displaystyle aleq _{I}b}$ y ${displaystyle bleq _{I}a}$ Aunque ${displaystyle aneq b.}$ Si se hubiera definido este preorden ${displaystyle mathbb {R}$ en lugar de ${displaystyle mathbb {R} backslash lbrace x_{0}rbrace }$ entonces todavía formaría un conjunto dirigido pero ahora tendría un (unique) mayor elemento, específicamente ${displaystyle x_{0}$; sin embargo, todavía no sería parcialmente ordenado. Este ejemplo se puede generalizar a un espacio métrico ${displaystyle (X,d)}$ definiendo ${displaystyle X}$ o ${displaystyle Xsetminus left{x_{0}right}}$ el preorden ${displaystyle aleq b}$ si ${displaystyle dleft(a,x_{0}right)geq dleft(b,x_{0}right). }$

Elementos máximos y máximos

Un elemento ${displaystyle m}$ de un conjunto preordenado ${displaystyle (I,leq)}$ es un elemento maximal si para cada ${displaystyle jin I}$, ${displaystyle mleq j}$ implicación ${displaystyle jleq m}$. Es un elemento más grande si por cada ${displaystyle jin I,}$ ${displaystyle jleq m.}$Algunas implicaciones directas de la definición incluyen:

• Cualquier conjunto preordenado con un elemento más grande es un conjunto dirigido con el mismo preorden.
  • Por ejemplo, en una pose ${displaystyle P,}$ cada cierre inferior de un elemento; es decir, cada subconjunto de la forma ${displaystyle {ain P:aleq x}$ Donde ${displaystyle x}$ es un elemento fijo ${displaystyle P,}$ está dirigido.
• Cada elemento máximo de un conjunto preordenado dirigido es un elemento más grande. De hecho, un conjunto preordenado dirigido se caracteriza por la igualdad de los conjuntos (posiblemente vacíos) de máxima y de los mayores elementos.

Producto de conjuntos dirigidos

Vamos ${displaystyle mathbb {} _{1}$ y ${displaystyle mathbb {} _{2}$ ser dirigidos conjuntos. Luego el juego de productos cartesianos ${displaystyle mathbb {D} _{1}times mathbb {fnK}$ se puede convertir en un conjunto dirigido por definir ${displaystyle left(n_{1},n_{2}right)leq left(m_{1},m_{2}right)}$ si ${displaystyle n_{1}leq m_{1}$ y ${displaystyle No. M_{2}.$ En analogía con el pedido del producto esta es la dirección del producto en el producto cartesiano. Por ejemplo, el conjunto ${displaystyle mathbb {N} times mathbb {N}$ de pares de números naturales se puede hacer en un conjunto dirigido definiendo ${displaystyle left(n_{0},n_{1}right)leq left(m_{0},m_{1}right)}$ si ${displaystyle No. #$ y ${displaystyle N_{1}leq M_{1}.$

Inclusión de subconjuntos

Relación de inclusión del subconjunto ${displaystyle ,subseteq,}$ junto con su doble ${displaystyle ,supseteq,}$ definir órdenes parciales en cualquier familia de conjuntos. Una familia no vacía de conjuntos es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial ${displaystyle ,supseteq ,}$ (respectivamente, ${displaystyle ,subseteq ,}$) si y sólo si la intersección (respectivamente, unión) de cualquiera de sus dos miembros contiene como subconjunto (respectivamente, se contiene como subconjunto de) algún tercer miembro. En símbolos, una familia ${displaystyle Yo...$ de conjuntos se dirige con respecto a ${displaystyle ,supseteq ,}$ (respectivamente, ${displaystyle ,subseteq ,}$Si y sólo si

para todos ${displaystyle A,Bin Yo...$ existe ${displaystyle Cin I}$ tales que ${displaystyle Asupseteq C}$ y ${displaystyle Bsupseteq C}$ (respectivamente, ${displaystyle Asubseteq C}$ y ${displaystyle Bsubseteq C}$)

o equivalentemente,

para todos ${displaystyle A,Bin Yo...$ existe ${displaystyle Cin I}$ tales que ${displaystyle Acap Bsupseteq C}$ (respectivamente, ${displaystyle Acap Bsubseteq C}$).

Muchos ejemplos importantes de conjuntos dirigidos pueden definirse usando estas órdenes parciales. Por ejemplo, por definición, un prefiltro o base es una familia no vacía de conjuntos que es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial ${displaystyle ,supseteq ,}$ y que tampoco contiene el conjunto vacío (esta condición impide la trivialidad porque de lo contrario, el conjunto vacío sería entonces un elemento más grande con respecto a ${displaystyle ,supseteq ,}$). Cada sistema π, que es una familia no vacía de conjuntos que se cierra bajo la intersección de cualquiera de sus dos miembros, es un conjunto dirigido con respecto a ${displaystyle ,supseteq ,}$ Cada sistema λ es un conjunto dirigido con respecto a ${displaystyle ,subseteq ,}$ Cada filtro, topología y álgebra σ es un conjunto dirigido con respecto a ambos ${displaystyle ,supseteq ,}$ y ${displaystyle ,subseteq ,}$ Si ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}$ es cualquier red de un conjunto dirigido ${displaystyle (I,leq)}$ entonces para cualquier índice ${displaystyle iin I,}$ el conjunto ${displaystyle x_{gq i=left{x_{j}:jgeq i{text{ with }jin Iright}$ se llama la cola ${displaystyle (I,leq)}$ empezando ${displaystyle i.}$ La familia ${displaystyle operatorname {Tails} left(x_{bullet }right):=left{x_{geq i}:iin Iright}$ de todas las colas es un conjunto dirigido con respecto a ${displaystyle ,supseteq;,}$ De hecho, es incluso un prefiltro.

Si ${displaystyle T}$ es un espacio topológico y ${displaystyle x_{0}$ es un punto en ${displaystyle T,}$ conjunto de todos los barrios de ${displaystyle x_{0}$ puede ser convertido en un conjunto dirigido por escrito ${displaystyle Uleq V}$ si ${displaystyle U}$ contiene ${displaystyle V.}$ Por todos ${displaystyle U,}$ ${displaystyle V,}$ y ${displaystyle W.$:

• ${displaystyle Uleq U}$ desde entonces ${displaystyle U}$ se contiene.
• si ${displaystyle Uleq V}$ y ${displaystyle Vleq W,}$ entonces ${displaystyle Usupseteq V}$ y ${displaystyle Vsupseteq W,}$ que implica ${displaystyle Usupseteq W.}$ Así ${displaystyle Uleq W.}$
• porque ${displaystyle x_{0}in Ucap V,}$ y desde ambos ${displaystyle Usupseteq Ucap V}$ y ${displaystyle Vsupseteq Ucap V,}$ tenemos ${displaystyle Uleq Ucap V}$ y ${displaystyle Vleq Ucap V.}$

Vamos ${displaystyle operatorname {Finite} (X)}$ denota el conjunto de todos los subconjuntos finitos de ${displaystyle X.}$ Entonces... ${displaystyle operatorname {Finite} (X)}$ se dirige con respecto a ${displaystyle ,subseteq ,}$ desde que se dieron dos ${displaystyle A,Bin operatorname {Finite} (X),}$ el sindicato ${displaystyle Acup Bin operatorname {Finite} (X)}$ es un límite superior de ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ dentro ${displaystyle operatorname {Finite} (X). }$ Este conjunto específico dirigido se utiliza para definir la suma ${displaystyle sum _{xin X}a_{x}$ de una serie generalizada de ${displaystyle X}$-Colección indexada de números ${displaystyle left(a_{x}right)_{xin X}$ (o elementos en un grupo topológico abeliano, como vectores en un espacio vectorial topológico) como límite de la red de sumas parciales ${displaystyle Ain operatorname {Finite} (X)mapsto sum _{xin A}a_{x};}$ es decir:

$${displaystyle sum _{xin X}a_{x}:=lim ¿Por qué? sum _{xin A}a_{x}=lim left{sum _{xin A}a_{x},:Asubseteq X,A{text{ finite }right}$$

Contraste con semiretículas

Ejemplo de un conjunto dirigido que no es una combinación-semilattice

Los conjuntos dirigidos son un concepto más general que (junto) semilattices: cada unión de semilattice es un conjunto dirigido, ya que la unión o menos la parte superior de dos elementos es el deseado ${displaystyle c.}$ El contrario no sostiene, sin embargo, testigo del conjunto dirigido {1000,0001,1101,1011,1111} ordenado bitwise (por ejemplo. ${displaystyle 1000leq 1011}$ sostiene, pero ${displaystyle 0001leq 1000}$ no, ya que en el último bit 1 > 0), donde {1000,0001} tiene tres límites superiores pero no mínimo el límite superior, la imagen. (También tenga en cuenta que sin 1111, el conjunto no está dirigido.)

Subconjuntos dirigidos

La relación de orden en un conjunto dirigido no es necesaria para ser antisimétrico, y por lo tanto los conjuntos dirigidos no siempre son órdenes parciales. Sin embargo, el término set también se utiliza con frecuencia en el contexto de las posetas. En este entorno, un subconjunto ${displaystyle A}$ de un conjunto parcialmente ordenado ${displaystyle (P,leq)}$ se llama subconjunto si es un conjunto dirigido según el mismo orden parcial: en otras palabras, no es el conjunto vacío, y cada par de elementos tiene un límite superior. Aquí la relación de orden sobre los elementos ${displaystyle A}$ es heredado de ${displaystyle P}$; por esta razón, la reflexividad y la transitividad no deben ser requeridas explícitamente.

No se requiere que un subconjunto dirigido de un poset esté cerrado hacia abajo; un subconjunto de un poset es dirigido si y solo si su cierre hacia abajo es un ideal. Si bien la definición de un conjunto dirigido es para un conjunto "dirigido hacia arriba" conjunto (cada par de elementos tiene un límite superior), también es posible definir un conjunto dirigido hacia abajo en el que cada par de elementos tiene un límite inferior común. Un subconjunto de un poset está dirigido hacia abajo si y solo si su cierre superior es un filtro.

Los subconjuntos dirigidos se utilizan en la teoría de dominios, que estudia los órdenes parciales dirigidos-completos. Estos son conjuntos en los que se requiere que cada conjunto dirigido hacia arriba tenga un límite superior mínimo. En este contexto, los subconjuntos dirigidos nuevamente brindan una generalización de secuencias convergentes.