Conjunto de soluciones

En matemáticas, un conjunto solución es el conjunto de valores que satisfacen un conjunto dado de ecuaciones o desigualdades.

Por ejemplo, para un conjunto ${displaystyle {f}}$ de polinomios sobre un anillo ${displaystyle R.$, el conjunto de la solución es el subconjunto ${displaystyle R.$ sobre los cuales todos los polinomios desaparecen (valor a 0), formalmente

${displaystyle {xin R:forall iin I,f_{i}(x)=0}$

La región factible de un problema de optimización restringido es el conjunto de soluciones de las restricciones.

Ejemplos

1. El conjunto de solución de la ecuación única ${displaystyle x=0}$ es el set {0}.
2. Para cualquier polinomio no cero ${displaystyle f}$ sobre los números complejos en una variable, el conjunto de la solución se compone de finitos muchos puntos.
3. Sin embargo, para un polinomio complejo en más de una variable el conjunto de solución no tiene puntos aislados.

Observaciones

En geometría algebraica, los conjuntos solución se llaman conjuntos algebraicos si no hay desigualdades. Sobre los reales, y con desigualdades, se conocen los llamados conjuntos semialgebraicos.

Otros significados

Más generalmente, el solución a una colección arbitraria E de las relaciones (E_i)i variable en un conjunto de índices I) para una colección de desconocidos ${displaystyle {(x_{j}}_{jin J}$, supuestamente para tomar valores en los espacios respectivos ${displaystyle {(X_{j}}_{jin J.$, es el conjunto S de todas las soluciones a las relaciones E, donde una solución ${displaystyle x^{(k)}}$ es una familia de valores ${fnMicrosoft Sans Serif}_{jin J}in prod _{jin J}X_{j}$ tales que sustituyen ${displaystyle {left(x_{j}right)}_{jin J.$ por ${displaystyle x^{(k)}}$ en la colección E hace que todas las relaciones sean "verdaderas".

(En lugar de relaciones que dependen de incógnitas, deberíamos hablar más correctamente de predicados, la colección E es su conjunción lógica y el conjunto solución es la imagen inversa del valor booleano true por la función con valor booleano asociada.)

El significado anterior es un caso especial de éste, si el conjunto de polinomios f_i se interpreta como el conjunto de ecuaciones f_i (x)=0.

Ejemplos

• La solución para E = x+Sí. Con respecto a ${displaystyle (x,y)in mathbb {R} ^{2}$ es S = {}a, -a) a ▪ R }.
• La solución para E = x+Sí. Con respecto a ${displaystyle xin mathbb {R}$ es S = {}Sí. }. (Aquí, Sí. no es "declarado" como un desconocido, y por lo tanto ser visto como un parámetro en el que depende la ecuación, y por lo tanto la solución establecida.)
• La solución para ${displaystyle E={sqrt {x}leq 4}$ con respecto a ${displaystyle xin mathbb {R}$ es el intervalo S [0,2] ${displaystyle {sqrt {x}}$ es indefinido para valores negativos de x).
• La solución para ${displaystyle E={e^{ix}=1}$ con respecto a ${displaystyle xin mathbb {C}$ es S = 2πZ (ver la identidad de Euler).