Conjunto cerrado

En geometría, topología y ramas relacionadas de las matemáticas, un conjunto cerrado es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto. En un espacio topológico, un conjunto cerrado se puede definir como un conjunto que contiene todos sus puntos límite. En un espacio métrico completo, un conjunto cerrado es un conjunto que se cierra bajo la operación límite. Esto no debe confundirse con un colector cerrado.

Definiciones equivalentes

Por definición, un subconjunto ${displaystyle A}$ de un espacio topológico ${displaystyle (X,tau)}$ se llama cerrado si su complemento ${displaystyle Xsetminus A}$ es un subconjunto abierto de ${displaystyle (X,tau)}$; es decir, si ${displaystyle Xsetminus Ain tau.}$ Un set está cerrado ${displaystyle X}$ si es igual a su cierre ${displaystyle X.}$ Equivalentemente, un conjunto está cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite. Otra definición equivalente es que un conjunto está cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite. Cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X}$ está siempre contenida en su cierre (topológico) ${displaystyle X.$ que se denota ${displaystyle operatorname {cl} _{X}A;}$ si ${displaystyle Asubseteq X}$ entonces ${displaystyle Asubseteq operatorname {cl} A.$ Además, ${displaystyle A}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle X}$ si ${displaystyle A=operatorname {cl} A.$

Una caracterización alternativa de conjuntos cerrados está disponible a través de secuencias y redes. Un subconjunto ${displaystyle A}$ de un espacio topológico ${displaystyle X}$ está cerrado ${displaystyle X}$ si y sólo si cada límite de cada red de elementos ${displaystyle A}$ también pertenece a ${displaystyle A.}$ En un espacio de primera cuenta (como un espacio métrico), es suficiente considerar sólo secuencias convergentes, en lugar de todas las redes. Un valor de esta caracterización es que puede ser utilizado como una definición en el contexto de los espacios de convergencia, que son más generales que los espacios topológicos. Note que esta caracterización también depende del espacio circundante ${displaystyle X.$ porque si una secuencia o una red convergen en ${displaystyle X}$ depende de los puntos presentes en ${displaystyle X.}$ Un punto ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle X}$ se dice que cerca a subconjunto ${displaystyle Asubseteq X}$ si ${displaystyle xin operatorname {cl} ¿Qué?$ (o equivalentemente, si ${displaystyle x}$ pertenece al cierre de ${displaystyle A}$ en el subespacial topológico ${displaystyle Acup {x},}$ significado ${displaystyle xin operatorname {cl} ¿Qué?$ Donde ${displaystyle Acup {x}}$ está dotado con la topología subespacial inducida por ${displaystyle X}$). Porque el cierre ${displaystyle A}$ dentro ${displaystyle X}$ es así el conjunto de todos los puntos en ${displaystyle X}$ que están cerca ${displaystyle A,}$ esta terminología permite una descripción sencilla en inglés de subconjuntos cerrados:

un subconjunto está cerrado si y sólo si contiene cada punto que está cerca de él.

En términos de convergencia neta, un punto ${displaystyle xin X}$ está cerca de un subconjunto ${displaystyle A}$ si y sólo si existe alguna red (valorada) ${displaystyle A}$ que converge en ${displaystyle x.}$ Si ${displaystyle X}$ es un subespacio topológico de algún otro espacio topológico ${displaystyle Sí.$ en qué caso ${displaystyle Sí.$ se llama superespacial topológico de ${displaystyle X.$ entonces allí podría ser existen algunos puntos ${displaystyle Ysetminus X}$ que está cerca ${displaystyle A}$ (aunque no es un elemento de ${displaystyle X}$), que es cómo es posible para un subconjunto ${displaystyle Asubseteq X}$ para ser cerrado ${displaystyle X}$ pero no estar cerrado en el "más grande" que rodea super-espacio ${displaystyle Sí.$ Si ${displaystyle Asubseteq X}$ y si ${displaystyle Sí.$ es cualquiera superespacio topológico ${displaystyle X}$ entonces ${displaystyle A}$ es siempre un subconjunto (potencialmente apropiado) ${displaystyle operatorname {cl} A.$ que denota el cierre ${displaystyle A}$ dentro ${displaystyle Sí.$ incluso si ${displaystyle A}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle X}$ (que sucede si y sólo si ${displaystyle A=operatorname {cl} _{X}A}$), sin embargo es posible para ${displaystyle A}$ ser un subconjunto adecuado ${displaystyle operatorname {cl} A.$ Sin embargo, ${displaystyle A}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle X}$ si ${displaystyle A=Xcap operatorname {cl} ¿Qué?$ para algunos (o equivalentemente, para cada) superespacio topológico ${displaystyle Sí.$ de ${displaystyle X.}$

Los conjuntos cerrados también se pueden utilizar para caracterizar funciones continuas: un mapa ${displaystyle f:Xto Sí.$ es continuo si y sólo si ${displaystyle fleft {cl} ¿Por qué?$ para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X}$; esto puede ser reescribido en inglés claro como: ${displaystyle f}$ es continuo si y sólo si para cada subconjunto ${displaystyle Asubseteq X,}$ ${displaystyle f}$ mapas puntos que están cerca ${displaystyle A}$ a puntos que están cerca ${displaystyle f(A).}$ Análogamente, ${displaystyle f}$ es continuo en un punto dado fijo ${displaystyle xin X}$ si ${displaystyle x}$ está cerca de un subconjunto ${displaystyle Asubseteq X,}$ entonces ${displaystyle f(x)}$ está cerca ${displaystyle f(A).}$

Más sobre conjuntos cerrados

La noción de conjunto cerrado se define anteriormente en términos de conjuntos abiertos, un concepto que tiene sentido para espacios topológicos, así como para otros espacios que tienen estructuras topológicas, como espacios métricos, variedades diferenciables, espacios uniformes y calibre. espacios.

Si un conjunto está cerrado depende del espacio en el que esté incrustado. Sin embargo, los espacios compactos Hausdorff están "absolutamente cerrados", en el sentido de que, si incrustas un espacio compacto Hausdorff ${displaystyle D}$ en un espacio Hausdorff arbitrario ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle D}$ será siempre un subconjunto cerrado de ${displaystyle X}$; el "espacio circundante" no importa aquí. La compactación Stone-Čech, un proceso que convierte un espacio Hausdorff completamente regular en un espacio Hausdorff compacto, puede describirse como límites adyacentes de ciertas redes no convergentes al espacio.

Además, todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto y todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Los conjuntos cerrados también dan una caracterización útil de la compactidad: un espacio topológico ${displaystyle X}$ es compacto si y sólo si cada colección de subconjuntos cerrados no vacíos de ${displaystyle X}$ con intersección vacía admite una subcollección finita con intersección vacía.

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ se desconecta si existen subconjuntos descomunados, no vacíos y abiertos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ de ${displaystyle X}$ cuya unión es ${displaystyle X.}$ Además, ${displaystyle X}$ está totalmente desconectado si tiene una base abierta que consiste en conjuntos cerrados.

Propiedades

Un conjunto cerrado contiene su propio límite. En otras palabras, si usted es "fuera" un conjunto cerrado, puede mover una pequeña cantidad en cualquier dirección y permanecer fuera del set. Tenga en cuenta que esto también es cierto si el límite es el conjunto vacío, por ejemplo en el espacio métrico de números racionales, para el conjunto de números de los cuales el cuadrado es menos que ${displaystyle 2.}$

• Cualquier intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados está cerrada (esto incluye intersecciones de infinitamente muchos conjuntos cerrados)
• La unión de finitamente muchos Los sets cerrados están cerrados.
• El set vacío está cerrado.
• Todo está cerrado.

De hecho, si se da un conjunto ${displaystyle X}$ y una colección ${displaystyle mathbb {F} neq varnothing }$ of subsets of ${displaystyle X}$ tales que los elementos de ${displaystyle mathbb {F}$ tienen las propiedades enumeradas anteriormente, entonces existe una topología única ${displaystyle tau }$ on ${displaystyle X}$ tales que los subconjuntos cerrados de ${displaystyle (X,tau)}$ son exactamente los conjuntos que pertenecen a ${displaystyle mathbb {F}$ La propiedad intersección también permite definir el cierre de un conjunto ${displaystyle A}$ en un espacio ${displaystyle X.$ que se define como el subconjunto cerrado más pequeño ${displaystyle X}$ que es un superset ${displaystyle A.}$Específicamente, el cierre de ${displaystyle X}$ se puede construir como la intersección de todos estos supersets cerrados.

Los conjuntos que se pueden construir como la unión de muchos conjuntos cerrados numerables se denominan conjuntos Fσ. Estos conjuntos no necesitan ser cerrados.

Ejemplos

• El intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]}$ de números reales está cerrado. (Véase Interval (mathematics) para una explicación de la notación de paréntesis y paréntesis)
• El intervalo de unidad ${displaystyle [0,1]}$ está cerrado en el espacio métrico de números reales, y el conjunto ${displaystyle [0,1]cap mathbb {Q}$ de los números racionales entre ${displaystyle 0}$ y ${displaystyle 1}$ (inclusivo) está cerrado en el espacio de números racionales, pero ${displaystyle [0,1]cap mathbb {Q}$ no está cerrado en los números reales.
• Algunos conjuntos no son abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo medio-abierto ${displaystyle [0,1)}$ en los números reales.
• Algunos conjuntos están abiertos y cerrados y se llaman conjuntos de clopen.
• El rayo ${displaystyle [1,+infty]}$ está cerrado.
• El conjunto Cantor es un conjunto cerrado inusual en el sentido de que consiste enteramente de puntos de límite y no es en ninguna parte denso.
• Los puntos Singleton (y por lo tanto conjuntos finitos) están cerrados en espacios T1 y espacios Hausdorff.
• El conjunto de enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ es un conjunto cerrado infinito y sin límites en los números reales.
• Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es una función entre los espacios topológicos entonces ${displaystyle f}$ es continuo si y sólo si preimages de conjuntos cerrados en ${displaystyle Sí.$ cerrado en ${displaystyle X.}$