Conjunto cantor

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Conjunto de puntos en un segmento de línea

En matemáticas, el conjunto de Cantor es un conjunto de puntos que se encuentran en un solo segmento de línea que tiene varias propiedades poco intuitivas. Fue descubierto en 1874 por Henry John Stephen Smith e introducido por el matemático alemán Georg Cantor en 1883.

Al considerar este conjunto, Cantor y otros ayudaron a sentar las bases de la topología moderna de conjuntos de puntos. La construcción más común es el conjunto ternario de Cantor, construido quitando el tercio medio de un segmento de línea y luego repitiendo el proceso con los segmentos más cortos restantes. Cantor mencionó la construcción ternaria solo de pasada, como ejemplo de una idea más general, la de un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte.

Más generalmente, en topología, a espacio de Cantor es un espacio topológico homeomorfo al conjunto ternario de Cantor (equipado con su topología de subespacio). Por un teorema de Brouwer, esto equivale a ser perfecto no vacío, compacto metrizable y de dimensión cero.

Zoom en Cantor set. Cada punto del conjunto está representado aquí por una línea vertical.

Construcción y fórmula del conjunto ternario

El Cantor ternary set ${mathcal {C}}$ se crea mediante la eliminación iterativa del tercio medio abierto de un conjunto de segmentos de línea. Uno comienza eliminando el tercio medio abierto ${textstyle left({frac {1}{3}},{frac {2}{3}}right)}$ desde el intervalo ${displaystyle textstyle left[0,1right]}$ , dejando dos segmentos de línea: ${textstyle left[0,{frac {1}{3}}right]cup left[{frac {2}{3}},1right]}$ . A continuación, se elimina el tercio medio abierto de cada uno de estos segmentos restantes, dejando cuatro segmentos de línea: ${textstyle left[0,{frac {1}{9}}right]cup left[{frac {2}{9}},{frac {1}{3}}right]cup left[{frac {2}{3}},{frac {7}{9}}right]cup left[{frac {8}{9}},1right]}$ . El conjunto ternario Cantor contiene todos los puntos en el intervalo $[0,1]$ que no se eliminan en ningún paso en este proceso infinito. Los mismos hechos pueden describirse recursivamente estableciendo

{displaystyle C_{0}:=[0,1]}

{displaystyle C_{n}:={frac {C_{n-1}}{3}}cup left({frac {2}{3}}+{frac {C_{n-1}}{3}}right)={frac {1}{3}}{bigl (}C_{n-1}cup left(2+C_{n-1}right){bigr)}}

para $ngeq 1$ Así que

{displaystyle {mathcal {C}}:=}

{displaystyle {color {Blue}lim _{nto infty }C_{n}}}

{displaystyle =bigcap _{n=0}^{infty }C_{n}=bigcap _{n=m}^{infty }C_{n}}

para cualquier

mgeq 0

Los primeros seis pasos de este proceso se ilustran a continuación.

Usando la idea de transformaciones auto-similares, ${displaystyle T_{L}(x)=x/3,}$ ${displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ y ${displaystyle C_{n}=T_{L}(C_{n-1})cup T_{R}(C_{n-1}),}$ las fórmulas cerradas explícitas para el conjunto Cantor son

{displaystyle {mathcal {C}}=[0,1],setminus ,bigcup _{n=0}^{infty }bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}left({frac {3k+1}{3^{n+1}}},{frac {3k+2}{3^{n+1}}}right)!,}

donde cada tercero medio es eliminado como intervalo abierto ${textstyle left({frac {3k+1}{3^{n+1}}},{frac {3k+2}{3^{n+1}}}right)}$ desde el intervalo cerrado ${textstyle left[{frac {3k+0}{3^{n+1}}},{frac {3k+3}{3^{n+1}}}right]=left[{frac {k+0}{3^{n}}},{frac {k+1}{3^{n}}}right]}$ rodearlo, o

{displaystyle {mathcal {C}}=bigcap _{n=1}^{infty }bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}left(left[{frac {3k+0}{3^{n}}},{frac {3k+1}{3^{n}}}right]cup left[{frac {3k+2}{3^{n}}},{frac {3k+3}{3^{n}}}right]right)!,}

donde el tercero medio ${textstyle left({frac {3k+1}{3^{n}}},{frac {3k+2}{3^{n}}}right)}$ del intervalo cerrado anterior ${textstyle left[{frac {k+0}{3^{n-1}}},{frac {k+1}{3^{n-1}}}right]=left[{frac {3k+0}{3^{n}}},{frac {3k+3}{3^{n}}}right]}$ es eliminado por intersección con ${textstyle left[{frac {3k+0}{3^{n}}},{frac {3k+1}{3^{n}}}right]cup left[{frac {3k+2}{3^{n}}},{frac {3k+3}{3^{n}}}right]!.}$

Este proceso de eliminación de tercios medios es un ejemplo simple de una regla de subdivisión finita. El complemento del conjunto ternario de Cantor es un ejemplo de cadena fractal.

En términos aritméticos, el conjunto Cantor consta de todos los números reales del intervalo de unidad $[0,1]$ que no requieren el dígito 1 para ser expresado como una fracción ternaria (base 3). Como ilustra el diagrama anterior, cada punto en el conjunto Cantor se encuentra únicamente ubicado por un camino a través de un árbol binario infinitamente profundo, donde el camino gira a la izquierda o a la derecha en cada nivel según cuál lado de un segmento eliminado se encuentra el punto. Representar cada giro izquierdo con 0 y cada giro derecho con 2 produce la fracción ternaria por un punto.

Composición

Dado que el conjunto de Cantor se define como el conjunto de puntos no excluidos, la proporción (es decir, la medida) del intervalo unitario restante se puede encontrar eliminando la longitud total. Este total es la progresión geométrica

sum_{n=0}^infty frac{2^n}{3^{n+1}} = frac{1}{3} + frac{2}{9} + frac{4}{27} + frac{8}{81} + cdots = frac{1}{3}left(frac{1}{1-frac{2}{3}}right) = 1.

Para que la proporción que queda sea 1 − 1 = 0.

Este cálculo sugiere que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de longitud distinta de cero. Puede parecer sorprendente que quede algo; después de todo, la suma de las longitudes de los intervalos eliminados es igual a la longitud del intervalo original. Sin embargo, una mirada más cercana al proceso revela que debe quedar algo, ya que al eliminar el "tercio medio" de cada intervalo implicó la eliminación de conjuntos abiertos (conjuntos que no incluyen sus puntos finales). Entonces eliminando el segmento de línea (1/3, 2/3) del intervalo original [0, 1] deja atrás los puntos 1/3 y 2/3 . Los pasos posteriores no eliminan estos (u otros) puntos finales, ya que los intervalos eliminados siempre son internos a los intervalos restantes. Entonces, el conjunto de Cantor no está vacío y, de hecho, contiene un número infinito e incontable de puntos (como se deduce de la descripción anterior en términos de caminos en un árbol binario infinito).

Puede parecer que solo quedan los puntos finales de los segmentos de construcción, pero tampoco es así. El número 1/4, por ejemplo, tiene la forma ternaria única 0.020202... = 0.02. Está en el tercio inferior, y en el tercio superior de ese tercio, y en el tercio inferior de ese tercio superior, y así sucesivamente. Como nunca está en uno de los segmentos medios, nunca se quita. Sin embargo, tampoco es un punto final de ningún segmento medio, porque no es un múltiplo de ninguna potencia de 1/3. Todos los extremos de los segmentos son fracciones ternarias terminantes y están contenidos en el conjunto

{displaystyle left{xin [0,1]mid exists iin mathbb {N} _{0}:x,3^{i}in mathbb {Z} right}qquad {Bigl (}subset mathbb {N} _{0},3^{-mathbb {N} _{0}}{Bigr)}}

que es un conjunto numerable infinito. En cuanto a la cardinalidad, casi todos los elementos del conjunto de Cantor no son extremos de intervalos, ni puntos racionales como 1/4. De hecho, todo el conjunto de Cantor no es contable.

Propiedades

Cardinalidad

Se puede demostrar que hay tantos puntos detrás en este proceso como para empezar, y que por lo tanto, el conjunto Cantor es incontable. Para ver esto, mostramos que hay una función f del conjunto Cantor ${mathcal {C}}$ al intervalo cerrado [0,1] que es subjetivo (es decir, f mapas desde ${mathcal {C}}$ [0,1]) para que el cardenalismo ${mathcal {C}}$ no es menos que el de [0,1]. Desde ${mathcal {C}}$ es un subconjunto de [0,1], su cardenalidad tampoco es mayor, por lo que las dos cardenalidades deben ser iguales, por el teorema Cantor–Bernstein–Schröder.

Para construir esta función, considere los puntos en el intervalo [0, 1] en términos de notación base 3 (o ternaria). Recordemos que las fracciones ternarias adecuadas, más precisamente: los elementos de ${displaystyle {bigl (}mathbb {Z} setminus {0}{bigr)}cdot 3^{-mathbb {N} _{0}}}$ , admitir más de una representación en esta notación, como por ejemplo 1/3, que se puede escribir como 0.1₃ = 0,10₃, pero también como 0.0222...₃ = 0,02₃, y 2/3, que se puede escribir como 0,2₃ = 0,20₃ pero también como 0.1222...₃ = 0,12₃. Cuando eliminamos el tercio medio, esto contiene los números con números ternarios de la forma 0.1xxxxxx...₃ donde xxxxx...₃ es estrictamente entre 00000...₃ y 22222...₃. Así que los números restantes después del primer paso consisten en

Números de la forma 0.0xxxxxx...₃ (incluyendo 0.022222...₃ = 1/3)
Números de la forma 0.2xxxxxx...₃ (incluyendo 0.222222...₃ = 1)

Esto se puede resumir diciendo que aquellos números con una representación ternaria tal que el primer dígito después del punto base no es 1 son los que quedan después del primer paso.

El segundo paso elimina los números de la forma 0.01xxxx...₃ y 0.21xxxx...₃, y (con el debido cuidado de los extremos) puede Se concluye que los números restantes son aquellos con numeral ternario donde ninguno de los primeros dos dígitos es 1.

Continuando así, para que un número no sea excluido en el paso n, debe tener una representación ternaria cuyo nésimo dígito no sea 1. Para un número para estar en el conjunto de Cantor, no debe ser excluido en ningún paso, debe admitir una representación numérica que consista enteramente en 0s y 2s.

Vale la pena destacar que números como 1, 1/3 = 0,1₃ y 7/9 = 0,21₃ están en el conjunto Cantor, ya que tienen números ternarios que consisten enteramente de 0s y 2s: 1 = 0.222...₃ = 0.2₃, 1/3 = 0,0222...₃ = 0,02₃ y 7/9 = 0.20222...₃ = 0,202₃. Todos estos últimos números son “puntos finales”, y estos ejemplos son puntos de límite correcto ${mathcal {C}}$ . Lo mismo es cierto para los puntos límite izquierdo ${mathcal {C}}$ , por ejemplo. 2/3 = 0.1222...₃ = 0,12₃ = 0,20₃ y 8/9 = 0.21222...₃ = 0,212₃ = 0,220₃. Todos estos puntos finales son ternario apropiado fracciones (elementos de ${displaystyle mathbb {Z} cdot 3^{-mathbb {N} _{0}}}$ ) de la forma p/q, donde denominador q es un poder de 3 cuando la fracción está en su forma irreducible. La representación ternaria de estas fracciones termina (es decir, es finita) o —recuerde desde arriba que las fracciones ternarias apropiadas cada una tiene 2 representaciones— es infinita y "fines" en o infinitamente muchos 0s recurrentes o infinitamente muchos 2s recurrentes. Tal fracción es un punto límite izquierdo ${mathcal {C}}$ si su representación ternaria no contiene 1's y "ends" en infinitamente muchos 0s recurrentes. Del mismo modo, una fracción ternaria adecuada es un punto límite derecho ${mathcal {C}}$ si de nuevo su expansión ternaria contiene no 1's y "ends" en infinitamente muchos 2s recurrentes.

Este conjunto de endpoints es denso en ${mathcal {C}}$ (pero no denso en [0, 1]) y compone un conjunto contablemente infinito. Los números en ${mathcal {C}}$ que son no endpoints también tienen sólo 0s y 2s en su representación ternaria, pero no pueden terminar en una repetición infinita del dígito 0, ni del dígito 2, porque entonces sería un punto final.

La función de ${mathcal {C}}$ a [0,1] se define tomando los numerales ternarios que consisten enteramente de 0s y 2s, reemplazando todos los 2s por 1s, e interpretando la secuencia como una representación binaria de un número real. En una fórmula,

{displaystyle f{bigg (}sum _{kin mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{bigg)}=sum _{kin mathbb {N} }{frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}

Donde

{displaystyle forall kin mathbb {N}:a_{k}in {0,2}.}

Para cualquier número Sí. en [0,1], su representación binaria puede traducirse en una representación ternaria de un número x dentro ${mathcal {C}}$ reemplazando los 1s por 2s. Con esto, f()x) Sí. así Sí. está en el rango de f. Por ejemplo si Sí. = 3/5 = 0,100110011001...₂ = 0.1001, escribimos x = 0.2002 = 0.200220022002...₃ = 7/10. En consecuencia, f es subjetivo. Sin embargo, f es no inyección - los valores para los cuales f()x) coincidencias son los en extremos opuestos de uno de los Tercera mitad Retirada. Por ejemplo, tome

13 = 0,02₃ (que es un punto límite adecuado

{mathcal {C}}

y un punto límite izquierdo de la tercera mitad [13, 23]) y

23 = 0,20₃ (que es un punto límite izquierdo

{mathcal {C}}

y un punto límite derecho de la tercera mitad [13, 23])

entonces

{displaystyle {begin{array}{lcl}f{bigl (}{}^{1}!!/!_{3}{bigr)}=f(0.0{overline {2}}_{3})=0.0{overline {1}}_{2}=!!&!!0.1_{2}!!&!!=0.1{overline {0}}_{2}=f(0.2{overline {0}}_{3})=f{bigl (}{}^{2}!!/!_{3}{bigr)}.\&parallel \&{}^{1}!!/!_{2}end{array}}}

Así hay tantos puntos en el Cantor establecidos como en el intervalo [0, 1] (que tiene la cardenalidad incontable ${displaystyle {mathfrak {c}}=2^{aleph _{0}}}$ ). Sin embargo, el conjunto de puntos finales de los intervalos eliminados es contable, por lo que debe haber incontablemente muchos números en el conjunto Cantor que no son puntos finales de intervalo. Como se señaló anteriormente, un ejemplo de ese número es 1/4, que se puede escribir como 0.020202...₃ = 0.02 en notación ternaria. De hecho, dado cualquier ${displaystyle ain [-1,1]}$ , existen ${displaystyle x,yin {mathcal {C}}}$ tales que ${displaystyle a=y-x}$ . Esto fue demostrado por Steinhaus en 1917, quien demostró, a través de un argumento geométrico, la afirmación equivalente de que ${displaystyle {(x,y)in mathbb {R} ^{2}mid y=x+a};cap ;({mathcal {C}}times {mathcal {C}})neq emptyset }$ para todos ${displaystyle ain [-1,1]}$ . Dado que esta construcción proporciona una inyección desde $[-1,1]$ a ${displaystyle {mathcal {C}}times {mathcal {C}}}$ , tenemos ${displaystyle |{mathcal {C}}times {mathcal {C}}|geq |[-1,1]|={mathfrak {c}}}$ como corolario inmediato. Suponiendo que ${displaystyle |Atimes A|=|A|}$ para cualquier conjunto infinito $A$ (una declaración que parece ser equivalente al axioma de elección de Tarski), esto proporciona otra demostración de que ${displaystyle |{mathcal {C}}|={mathfrak {c}}}$ .

El conjunto de Cantor contiene tantos puntos como el intervalo del que se toma, pero no contiene ningún intervalo de longitud distinta de cero. Los números irracionales tienen la misma propiedad, pero el conjunto de Cantor tiene la propiedad adicional de ser cerrado, por lo que ni siquiera es denso en ningún intervalo, a diferencia de los números irracionales que son densos en todo intervalo.

Se ha conjeturado que todos los números irracionales algebraicos son normales. Dado que los miembros del conjunto de Cantor no son normales, esto implicaría que todos los miembros del conjunto de Cantor son racionales o trascendentales.

Autosimilitud

El conjunto Cantor es el prototipo de un fractal. Es auto-similar, porque es igual a dos copias de sí mismo, si cada copia es arrugada por un factor de 3 y traducido. Más precisamente, el conjunto Cantor es igual a la unión de dos funciones, las transformaciones de auto-similaridad izquierda y derecha de sí mismo, ${displaystyle T_{L}(x)=x/3}$ y ${displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ , que deja el Cantor invariante hasta el homeomorfismo: ${displaystyle T_{L}({mathcal {C}})cong T_{R}({mathcal {C}})cong {mathcal {C}}=T_{L}({mathcal {C}})cup T_{R}({mathcal {C}}).}$

Repetida iteración de $T_{L}$ y $T_{R}$ se puede visualizar como un árbol binario infinito. Es decir, en cada nodo del árbol, se puede considerar el subárbol a la izquierda o a la derecha. Tomando el set ${displaystyle {T_{L},T_{R}}}$ junto con la composición de la función forma un monoide, el monoide dyadic.

Los automorfismos del árbol binario son sus rotaciones hiperbólicas, y son dadas por el grupo modular. Así, el conjunto Cantor es un espacio homogéneo en el sentido de que para cada dos puntos $x$ y $y$ en el conjunto Cantor ${mathcal {C}}$ , existe un homeomorfismo ${displaystyle h:{mathcal {C}}to {mathcal {C}}}$ con $h(x)=y$ . Una construcción explícita de $h$ se puede describir más fácilmente si vemos el conjunto de Cantor como un espacio de producto de muchas copias del espacio discreto ${0,1}$ . Entonces el mapa ${displaystyle h:{0,1}^{mathbb {N} }to {0,1}^{mathbb {N} }}$ definidas por ${displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}mod 2}$ es un homeomorfismo involutivo $x$ y $y$ .

Ley de conservación

Se ha encontrado que alguna forma de ley de conservación es siempre responsable detrás de escalar y auto-similaridad. En el caso de Cantor se puede ver que $d_{f}$ (donde) ${displaystyle d_{f}=ln(2)/ln(3)}$ es la dimensión fractal) de todos los intervalos sobrevivientes en cualquier etapa del proceso de construcción es igual a constante que es igual a uno en el caso de conjunto Cantor. Sabemos que hay $N=2^n$ intervalos de tamaño ${displaystyle 1/3^{n}}$ presente en el sistema $n$ a paso de su construcción. Entonces si etiquetamos los intervalos de supervivencia como ${displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{2^{n}}}$ entonces el $d_{f}$ El momento es ${displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}$ desde entonces ${displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}$ .

La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor es igual a ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Propiedades topológicas y analíticas

Aunque "el" El conjunto de Cantor generalmente se refiere al conjunto de Cantor de tercios medios original descrito anteriormente, los topólogos a menudo hablan de "a" Conjunto de Cantor, que significa cualquier espacio topológico que sea homeomorfo (topológicamente equivalente) a él.

Como muestra el argumento de suma anterior, el conjunto de Cantor es incontable pero tiene la medida de Lebesgue 0. Dado que el conjunto de Cantor es el complemento de una unión de conjuntos abiertos, en sí mismo es un subconjunto cerrado de los reales y, por lo tanto, una métrica completa espacio. Como también está totalmente acotado, el teorema de Heine-Borel dice que debe ser compacto.

Para cualquier punto en el conjunto de Cantor y cualquier vecindad arbitrariamente pequeña del punto, hay algún otro número con un número ternario de solo 0 y 2, así como números cuyos números ternarios contienen 1. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación (también llamado punto de conglomerado o punto límite) del conjunto de Cantor, pero ninguno es un punto interior. Un conjunto cerrado en el que cada punto es un punto de acumulación también se denomina conjunto perfecto en topología, mientras que un subconjunto cerrado del intervalo sin puntos interiores no es denso en ninguna parte del intervalo.

Cada punto del conjunto de Cantor es también un punto de acumulación del complemento del conjunto de Cantor.

Para dos puntos cualesquiera del conjunto de Cantor, habrá algún dígito ternario en el que difieran: uno tendrá 0 y el otro 2. Al dividir el conjunto de Cantor en "mitades" dependiendo del valor de este dígito, se obtiene una partición del conjunto de Cantor en dos conjuntos cerrados que separan los dos puntos originales. En la topología relativa sobre el conjunto de Cantor, los puntos han sido separados por un conjunto cerrado. En consecuencia, el conjunto de Cantor es totalmente desconectado. Como un espacio compacto de Hausdorff totalmente desconectado, el conjunto de Cantor es un ejemplo de un espacio de piedra.

Como espacio topológico, el conjunto Cantor es naturalmente homeomorfico al producto de muchas copias del espacio ${0,1}$ , donde cada copia lleva la topología discreta. Este es el espacio de todas las secuencias en dos dígitos

{displaystyle 2^{mathbb {N} }={(x_{n})mid x_{n}in {0,1}{text{ for }}nin mathbb {N} },}

que también se puede identificar con el conjunto de enteros 2-ádicos. La base para los conjuntos abiertos de la topología del producto son los conjuntos de cilindros; el homeomorfismo los asigna a la topología del subespacio que el conjunto de Cantor hereda de la topología natural en la línea real. Esta caracterización del espacio de Cantor como producto de espacios compactos da una segunda prueba de que el espacio de Cantor es compacto, a través del teorema de Tychonoff.

De la caracterización anterior, el conjunto de Cantor es homeomorfo a los números enteros p-ádicos y, si se le quita un punto, a los números p-ádicos.

El conjunto Cantor es un subconjunto de los reales, que son un espacio métrico con respecto a la métrica de distancia ordinaria; por lo tanto el Cantor se ha fijado es un espacio métrico, utilizando esa misma métrica. Alternativamente, se puede utilizar la métrica p-adic en $2^mathbb{N}$ : dadas dos secuencias $(x_n),(y_n)in 2^mathbb{N}$ , la distancia entre ellos es ${displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$ , donde $k$ es el índice más pequeño tal que $x_k ne y_k$ ; si no hay tal índice, entonces las dos secuencias son las mismas, y uno define la distancia a ser cero. Estas dos métricas generan la misma topología en el conjunto Cantor.

Hemos visto anteriormente que el conjunto de Cantor es un espacio métrico compacto perfecto totalmente desconectado. De hecho, en cierto sentido es el único: todo espacio métrico compacto perfecto no vacío totalmente desconectado es homeomorfo al conjunto de Cantor. Consulte el espacio de Cantor para obtener más información sobre los espacios homeomorfos al conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor a veces se considera "universal" en la categoría de espacios métricos compactos, ya que todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor; sin embargo, esta construcción no es única, por lo que el conjunto de Cantor no es universal en el sentido categórico preciso. El "universal" La propiedad tiene aplicaciones importantes en el análisis funcional, donde a veces se conoce como el teorema de representación para espacios métricos compactos.

Para cualquier número entero q ≥ 2, la topología en el grupo G = Z_q^ω (la suma directa contable) es discreta. Aunque el Pontrjagin dual Γ también es Z_q^ω, la topología de Γ es compacta. Se puede ver que Γ es totalmente desconectado y perfecto, por lo que es homeomorfo al conjunto de Cantor. Es más fácil escribir el homeomorfismo explícitamente en el caso q = 2. (Ver Rudin 1962 p 40).

La media geométrica del conjunto de Cantor es aproximadamente 0,274974.

Medida y probabilidad

El conjunto de Cantor puede verse como el grupo compacto de sucesiones binarias y, como tal, está dotado de una medida de Haar natural. Cuando se normaliza para que la medida del conjunto sea 1, es un modelo de una secuencia infinita de lanzamientos de monedas. Además, se puede mostrar que la medida habitual de Lebesgue en el intervalo es una imagen de la medida de Haar en el conjunto de Cantor, mientras que la inyección natural en el conjunto ternario es un ejemplo canónico de una medida singular. También se puede demostrar que la medida de Haar es una imagen de cualquier probabilidad, lo que hace que Cantor establezca un espacio de probabilidad universal de alguna manera.

En la teoría de la medida de Lebesgue, el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto incontable y de medida cero. En cambio, el conjunto tiene una medida de Hausdorff de 1 en su dimensión de log 2 / log 3.

Números de Cantor

Si definimos un número de Cantor como miembro del conjunto de Cantor, entonces

Cada número real en [0, 2] es la suma de dos números Cantor.
Entre los dos números Cantor hay un número que no es un número Cantor.

Teoría de conjuntos descriptiva

El conjunto Cantor es un conjunto de measgre (o un conjunto de primera categoría) como subconjunto de [0,1] (aunque no como subconjunto de sí mismo, ya que es un espacio de Baire). El conjunto Cantor demuestra así que las nociones de "tamaño" en términos de cardenalidad, medida y (Baire) categoría no necesitan coincidir. Como el set ${displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]}$ , el conjunto Cantor ${mathcal {C}}$ es "pequeño" en el sentido de que es un conjunto nulo (un conjunto de medida cero) y es un subconjunto de [0,1]. Sin embargo, a diferencia de ${displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]}$ , que es contable y tiene una "pequeña" cardenalidad, $aleph _{0}$ , el cardenalismo ${mathcal {C}}$ es el mismo que el [0,1], el continuum ${mathfrak {c}}$ , y es "grande" en el sentido de la cardenalidad. De hecho, también es posible construir un subconjunto de [0,1] que es mero pero de medida positiva y un subconjunto que no es de acuerdo pero de medida cero: Al tomar la unión contable de cantores "fat" ${displaystyle {mathcal {C}}^{(n)}}$ de medidas ${displaystyle lambda =(n-1)/n}$ (ver Smith–Volterra–Cantor establecido a continuación para la construcción), obtenemos un conjunto ${textstyle {mathcal {A}}:=bigcup _{n=1}^{infty }{mathcal {C}}^{(n)}}$ que tiene una medida positiva (igual a 1) pero es mero en [0,1], ya que cada ${displaystyle {mathcal {C}}^{(n)}}$ No es denso. Entonces considere el conjunto ${textstyle {mathcal {A}}^{mathrm {c} }=[0,1]setminus bigcup _{n=1}^{infty }{mathcal {C}}^{(n)}}$ . Desde ${displaystyle {mathcal {A}}cup {mathcal {A}}^{mathrm {c} }=[0,1]}$ , ${displaystyle {mathcal {A}}^{mathrm {c} }}$ no puede ser mal, pero desde ${displaystyle mu ({mathcal {A}})=1}$ , ${displaystyle {mathcal {A}}^{mathrm {c} }}$ Debe tener la medida cero.

Variantes

Conjunto Smith-Volterra-Cantor

En lugar de retirar repetidamente el tercio medio de cada pieza como en el conjunto Cantor, también podríamos seguir eliminando cualquier otro porcentaje fijo (más del 0% y el 100%) del medio. En el caso donde el medio 8/10 del intervalo se elimina, obtenemos un caso notablemente accesible — el conjunto consta de todos los números en [0,1] que se pueden escribir como un decimal consistente enteramente de 0s y 9s. Si se elimina un porcentaje fijo en cada etapa, entonces el conjunto de limitación tendrá la medida cero, ya que la longitud del resto ${displaystyle (1-f)^{n}to 0}$ como $nto infty$ para cualquier $f$ tales que $<math alttext="{displaystyle 00.f\leq \leq 1{displaystyle 0 1} <img alt="{displaystyle 0$ .

Por otro lado, los "grupos de cantor en grasa" de medida positiva pueden ser generados por la eliminación de fracciones más pequeñas del medio del segmento en cada iteración. Por lo tanto, se puede construir conjuntos homeomorfos al conjunto Cantor que tienen una medida positiva de Lebesgue mientras todavía no están en ninguna parte densa. Si un intervalo de longitud $r^{n}$ () ${displaystyle rleq 1/3}$ ) se retira de la mitad de cada segmento en el nla iteración, entonces la longitud total removida es ${textstyle sum _{n=1}^{infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$ , y el conjunto de limitación tendrá una medida de Lebesgue ${displaystyle lambda =(1-3r)/(1-2r)}$ . Así, en cierto sentido, el conjunto de los tercios intermedios Cantor es un caso limitado con ${displaystyle r=1/3}$ . Si $<math alttext="{displaystyle 0<r0.r.1/3{displaystyle 0cantador <img alt="{displaystyle 0<r$ , entonces el resto tendrá una medida positiva con $<math alttext="{displaystyle 0<lambda 0.λ λ .1{displaystyle 0 realizadaslambda. <img alt="0<lambda$ . El caso ${displaystyle r=1/4}$ es conocido como el conjunto Smith-Volterra-Cantor, que tiene una medida de Lebesgue $1/2$ .

Conjunto estocástico de Cantor

Se puede modificar la construcción del conjunto de Cantor dividiendo al azar en lugar de por igual. Además, para incorporar tiempo podemos dividir solo uno de los intervalos disponibles en cada paso en lugar de dividir todos los intervalos disponibles. En el caso del conjunto triádico estocástico de Cantor, el proceso resultante se puede describir mediante la siguiente ecuación de velocidad

{displaystyle {frac {partial c(x,t)}{partial t}}=-{frac {x^{2}}{2}}c(x,t)+2int _{x}^{infty }(y-x)c(y,t),dy,}

y para el conjunto estocástico diádico de Cantor

{displaystyle {{partial c(x,t)} over {partial t}}=-xc(x,t)+(1+p)int _{x}^{infty }c(y,t),dy,}

Donde ${displaystyle c(x,t)dx}$ es el número de intervalos de tamaño entre $x$ y ${displaystyle x+dx}$ . En el caso del Cantor triádico se establece la dimensión fractal ${displaystyle 0.5616}$ que es menos que su contraparte determinista ${displaystyle 0.6309}$ . En el caso de conjunto de cántor dyadico estocástico la dimensión fractal es $p$ que es otra vez inferior a la de su contraparte determinista ${displaystyle ln(1+p)/ln 2}$ . En el caso de cántor dyadico estocástico establece la solución para ${displaystyle c(x,t)}$ muestra escalada dinámica como su solución en el límite de largo tiempo es ${displaystyle t^{-(1+d_{f})}e^{-xt}}$ donde la dimensión fractal del conjunto de cántor dyadico estocástico ${displaystyle d_{f}=p}$ . En cualquier caso, como conjunto triádico Cantor, el $d_{f}$ momento ${textstyle int x^{d_{f}}c(x,t),dx={text{constant}}}$ ) de corte triádico estocástico y dyadic también se conservan cantidades.

Polvo de Cantor

El polvo de Cantor es una versión multidimensional del conjunto de Cantor. Se puede formar tomando un producto cartesiano finito del conjunto de Cantor consigo mismo, convirtiéndolo en un espacio de Cantor. Al igual que el conjunto de Cantor, el polvo de Cantor tiene medida cero.

Cubos de cantor progresión de recursión hacia polvo de cañón

polvo de cañón (2D)

polvo de cañón (3D)

Un análogo 2D diferente del conjunto de Cantor es la alfombra de Sierpinski, donde un cuadrado se divide en nueve cuadrados más pequeños y se elimina el del medio. Luego, los cuadrados restantes se dividen en nueve cada uno y se elimina el medio, y así hasta el infinito. Un análogo 3D de esto es la esponja Menger.

Comentarios históricos

una imagen de la segunda iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones

una imagen de la cuarta iteración del polvo Cantor en dos dimensiones

Cantor presentó lo que llamamos hoy el Cantor ternary set ${mathcal {C}}$ como ejemplo "de un punto-set perfecto, que no es en todas partes-denso en cualquier intervalo, por pequeño." Cantor descrito ${mathcal {C}}$ en términos de expansiones ternarias, como "el conjunto de todos los números reales dados por la fórmula: ${displaystyle z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+cdots +c_{nu }/3^{nu }+cdots }$ donde los coeficientes ${displaystyle c_{nu }}$ arbitrariamente tomar los dos valores 0 y 2, y la serie puede consistir en un número finito o un número infinito de elementos."

Un espacio topológico $P$ es perfecto si todos sus puntos son puntos límite o, equivalentemente, si coincide con su conjunto derivado $P'$ . Subconjuntos de la línea real, como ${mathcal {C}}$ , se puede ver como espacios topológicos bajo la topología subespacial inducida.

Cantor se dedicó al estudio de los conjuntos derivados por sus resultados sobre la unicidad de las series trigonométricas. Este último hizo mucho para ponerlo en el camino para desarrollar una teoría general abstracta de conjuntos infinitos.

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