Conjunto borroso

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Conjuntos cuyos elementos tienen grados de membresía

En matemáticas, los conjuntos borrosos (también conocidos como conjuntos inciertos) son conjuntos cuyos elementos tienen grados de pertenencia. Los conjuntos difusos fueron introducidos de forma independiente por Lotfi A. Zadeh en 1965 como una extensión de la noción clásica de conjunto. Al mismo tiempo, Salii (1965) definió un tipo de estructura más general llamada relación L, que estudió en un contexto algebraico abstracto. Las relaciones difusas, que ahora se utilizan en las matemáticas difusas y tienen aplicaciones en áreas como la lingüística (De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000), la toma de decisiones (Kuzmin 1982) y la agrupación (Bezdek 1978), son casos especiales de L-relaciones cuando L es el intervalo unitario [0, 1].

En la teoría de conjuntos clásica, la pertenencia de los elementos a un conjunto se evalúa en términos binarios según una condición bivalente: un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. Por el contrario, la teoría de conjuntos borrosos permite la evaluación gradual de la pertenencia de los elementos a un conjunto; esto se describe con la ayuda de una función de pertenencia valorada en el intervalo unitario real [0, 1]. Los conjuntos borrosos generalizan los conjuntos clásicos, ya que las funciones indicadoras (también conocidas como funciones características) de los conjuntos clásicos son casos especiales de las funciones de pertenencia de los conjuntos borrosos, si estos últimos solo toman los valores 0 o 1. En la teoría de conjuntos borrosos, los conjuntos bivalentes clásicos suelen llamarse juegos crujientes. La teoría de conjuntos difusos se puede utilizar en una amplia gama de dominios en los que la información es incompleta o imprecisa, como la bioinformática.

Definición

Un juego borroso es un par $(U,m)$ Donde $U$ es un conjunto (a menudo necesario para ser no vacío) y ${displaystyle mcolon Urightarrow [0,1]}$ una función de membresía. El conjunto de referencia $U$ (a veces denotado por $Omega$ o $X$ ) se llama universo del discurso, y para cada $xin U,$ el valor $m(x)$ se llama grado de miembros de $x$ dentro $(U,m)$ . La función ${displaystyle m=mu _{A}}$ se llama Función de membresía del conjunto borroso ${displaystyle A=(U,m)}$ .

Para un conjunto finito $U={x_{1},dotsx_{n}},$ el equipo de fuzzy $(U,m)$ a menudo se denota ${m(x_{1})/x_{1},dotsm(x_{n})/x_{n}}.$

Vamos $xin U$ . Entonces... $x$ se llama

no incluido en el set de fuzzy $(U,m)$ si $m(x)=0$ (sin miembro)
Totalmente incluido si $m(x)=1$ (miembro completo)
parcialmente incluido si $<math alttext="{displaystyle 0<m(x)0.m()x).1{displaystyle 0 madem(x) <img alt="0<m(x)$ (miembro borroso).

El conjunto de todos los conjuntos borrosos en un universo $U$ es denotado con ${displaystyle SF(U)}$ (o a veces simplemente $F(U)$ ).

Conjuntos nítidos relacionados con un conjunto difuso

Para cualquier equipo borroso ${displaystyle A=(U,m)}$ y $alpha in [0,1]$ se definen los siguientes conjuntos nítidos:

${displaystyle A^{geq alpha }=A_{alpha }={xin Umid m(x)geq alpha }}$ se llama α-cut (aka α-level set)
$alpha }=A'_{alpha }={xin Umid m(x)>alpha }}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A■α α =Aα α .={}x▪ ▪ U▪ ▪ m()x)■α α }{displaystyle A^{}alpha }=A'_{alpha }={xin Umid m(x)}alpha }=A'_{alpha }={xin Umid m(x)>alpha }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aabc93efbd2a5039627e4a4d4e1813377a3a11e" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.51ex; height:3.009ex;"/>$ se llama fuerte α-cut (aka fuerte α-level set)
$0}={xin Umid m(x)>0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">S()A)=Supp⁡ ⁡ ()A)=A■0={}x▪ ▪ U▪ ▪ m()x)■0}{displaystyle S(A)=operatorname {Supp}(A)=A^{0}={xin Umid m(x)}}0}={xin Umid m(x)>0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f9b5b0c4b89bb5e56a8e15880153a2dfd5f566" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.801ex; height:3.176ex;"/>$ se llama Apoyo
${displaystyle C(A)=operatorname {Core} (A)=A^{=1}={xin Umid m(x)=1}}$ se llama núcleo (o a veces kernel ${displaystyle operatorname {Kern} (A)}$ ).

Tenga en cuenta que algunos autores entienden "kernel" de una manera diferente; vea abajo.

Otras definiciones

Un juego borroso ${displaystyle A=(U,m)}$ es vacío () ${displaystyle A=varnothing }$ ) iff (si y sólo si)

forall

{displaystyle xin U:mu _{A}(x)=m(x)=0}

Dos juegos de fuzzy $A$ y $B$ son iguales () $A=B$ Si.

{displaystyle forall xin U:mu _{A}(x)=mu _{B}(x)}

Un juego borroso $A$ es incluido en un conjunto borroso $B$ () $Asubseteq B$ Si.

{displaystyle forall xin U:mu _{A}(x)leq mu _{B}(x)}

Para cualquier equipo borroso $A$ , cualquier elemento $xin U$ que satisfice

{displaystyle mu _{A}(x)=0.5}

se llama punto de cruce.

Dada una serie borrosa $A$ , cualquier $alpha in [0,1]$ , por el cual ${displaystyle A^{=alpha }={xin Umid mu _{A}(x)=alpha }}$ no está vacío, se llama nivel de A.
El nivel establecido de A es el conjunto de todos los niveles $alpha in [0,1]$ representando cortes distintos. Es la imagen de $mu _{A}$ :

{displaystyle Lambda _{A}={alpha in [0,1]:A^{=alpha }neq varnothing }={alpha in [0,1]:{}}

exist

{displaystyle xin U(mu _{A}(x)=alpha)}=mu _{A}(U)}

Para un equipo borroso $A$ , su altura es dado por

{displaystyle operatorname {Hgt} (A)=sup{mu _{A}(x)mid xin U}=sup(mu _{A}(U))}

Donde

sup

denota el supremum, que existe porque

{displaystyle mu _{A}(U)}

no está vacío y está obligado por encima de 1. Si U es finito, podemos simplemente reemplazar el supremum por el máximo.

Un juego borroso $A$ se dice que normalizado Sip

{displaystyle operatorname {Hgt} (A)=1}

En el caso finito, donde el supremum es un máximo, esto significa que al menos un elemento del conjunto de fuzzy tiene una membresía completa. Un set de fuzzy no vacío

A

puede ser normalizado con resultado

{tilde {A}}

dividiendo la función de membresía del fuzzy fijado por su altura:

{displaystyle forall xin U:mu _{tilde {A}}(x)=mu _{A}(x)/operatorname {Hgt} (A)}

Además de similitudes esto difiere de la normalización habitual en que la constante normalizadora no es una suma.

Para juegos de fuzzy $A$ de números reales (U ⊆ R) con apoyo atado, el ancho se define como

{displaystyle operatorname {Width} (A)=sup(operatorname {Supp} (A))-inf(operatorname {Supp} (A))}

En el caso cuando

{displaystyle operatorname {Supp} (A)}

es un conjunto finito, o más generalmente un conjunto cerrado, el ancho es sólo

{displaystyle operatorname {Width} (A)=max(operatorname {Supp} (A))-min(operatorname {Supp} (A))}

En el n- caso dimensionalU ⊆ Rⁿ) el anterior puede ser reemplazado por el n- volumen dimensional de

{displaystyle operatorname {Supp} (A)}

En general, esto se puede definir dado cualquier medida sobre U, por ejemplo por integración (por ejemplo, integración de Lebesgue)

{displaystyle operatorname {Supp} (A)}

Un juego muy borroso $A$ ()U Se dice que convex (en el sentido borroso, no confundirse con un set de convexo nítido), iff

{displaystyle forall x,yin U,forall lambda in [0,1]:mu _{A}(lambda {x}+(1-lambda)y)geq min(mu _{A}(x),mu _{A}(y))}

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x ≤ Sí., que da la formulación equivalente

{displaystyle forall zin [x,y]:mu _{A}(z)geq min(mu _{A}(x),mu _{A}(y))}

Esta definición se puede ampliar a una para un espacio topológico general U: diremos el set de fuzzy

A

es convex cuando, para cualquier subconjunto Z de U, la condición

{displaystyle forall zin Z:mu _{A}(z)geq inf(mu _{A}(partial Z))}

Oportunidad, donde

{displaystyle partial Z}

denota la frontera Z y

{displaystyle f(X)={f(x)mid xin X}}

denota la imagen de un conjunto X (Aquí)

{displaystyle partial Z}

) bajo una función f (Aquí)

mu _{A}

Operaciones de conjuntos borrosos

Aunque el complemento de un conjunto borroso tiene una única definición más común, las otras operaciones principales, unión e intersección, tienen cierta ambigüedad.

Para un determinado conjunto borroso $A$ , su complemento ${displaystyle neg {A}}$ (a veces denotado como $A^{c}$ o ${displaystyle cA}$ ) se define por la siguiente función de membresía:

{displaystyle forall xin U:mu _{neg {A}}(x)=1-mu _{A}(x)}

Dejar ser un t-norm, y s el s-norm correspondiente (aka t-conorm). Dada un par de sets borrosos $A,B$ , sus intersección ${displaystyle Acap {B}}$ se define por:

{displaystyle forall xin U:mu _{Acap {B}}(x)=t(mu _{A}(x),mu _{B}(x))}

y sus sindicato

{displaystyle Acup {B}}

se define por:

{displaystyle forall xin U:mu _{Acup {B}}(x)=s(mu _{A}(x),mu _{B}(x))}

Por la definición de la norma t, vemos que la unión y la intersección son conmutativas, monótonas, asociativas y tienen tanto un elemento nulo como uno de identidad. Para la intersección, estos son ∅ y U, respectivamente, mientras que para la unión, estos se invierten. Sin embargo, la unión de un conjunto borroso y su complemento puede no dar como resultado el universo completo U, y la intersección de ellos puede no dar el conjunto vacío ∅. Dado que la intersección y la unión son asociativas, es natural definir recursivamente la intersección y la unión de una familia finita de conjuntos borrosos.

Si el negociador estándar ${displaystyle n(alpha)=1-alphaalpha in [0,1]}$ es reemplazado por otro negador fuerte, la diferencia de conjunto borroso puede ser generalizado por

{displaystyle forall xin U:mu _{neg {A}}(x)=n(mu _{A}(x)).}

El triple de intersección borrosa, unión y complemento forman una De Morgan Triplet. Es decir, las leyes de De Morgan se extienden a este triple.

Ejemplos de pares de intersección/unión borrosos con negador estándar pueden derivarse de muestras proporcionadas en el artículo sobre t-normas.

La intersección borrosa no es idempotente en general, porque el norm estándar

min

es el único que tiene esta propiedad. De hecho, si la multiplicación aritmética se utiliza como el ronm, la operación de intersección borrosa resultante no es idempotente. Es decir, tomar iterativamente la intersección de un conjunto borroso con sí mismo no es trivial. En su lugar define el m- el poder de un conjunto borroso, que se puede generalizar canónicamente para los exponentes no enteros de la siguiente manera:

Para cualquier equipo borroso $A$ y ${displaystyle nu in mathbb {R} ^{+}}$ el poder de $A$ se define por la función de membresía:

{displaystyle forall xin U:mu _{A^{nu }}(x)=mu _{A}(x)^{nu }.}

El caso del exponente dos es lo suficientemente especial como para darle un nombre.

Para cualquier equipo borroso $A$ el concentración ${displaystyle CON(A)=A^{2}}$ se define

{displaystyle forall xin U:mu _{CON(A)}(x)=mu _{A^{2}}(x)=mu _{A}(x)^{2}.}

Tomando $0^{0}=1$ , tenemos ${displaystyle A^{0}=U}$ y ${displaystyle A^{1}=A.}$

Dada la confusión $A,B$ , el equipo de fuzzy diferencia $Asetminus B$ , también denotado ${displaystyle A-B}$ , puede definirse directamente a través de la función de membresía:

{displaystyle forall xin U:mu _{Asetminus {B}}(x)=t(mu _{A}(x),n(mu _{B}(x))),}

que significa

{displaystyle Asetminus B=Acap neg {B}}

, e. g.:

{displaystyle forall xin U:mu _{Asetminus {B}}(x)=min(mu _{A}(x),1-mu _{B}(x)).}

Otra propuesta para una diferencia determinada podría ser:

{displaystyle forall xin U:mu _{A-{B}}(x)=mu _{A}(x)-t(mu _{A}(x),mu _{B}(x)).}

Dubois y Prade (1980), ya sea tomando el valor absoluto, dando propuestas para las diferencias de conjuntos simétricos.

{displaystyle forall xin U:mu _{Atriangle B}(x)=|mu _{A}(x)-mu _{B}(x)|,}

o usando una combinación de sólo

max

min

, y negación estándar, dando

{displaystyle forall xin U:mu _{Atriangle B}(x)=max(min(mu _{A}(x),1-mu _{B}(x)),min(mu _{B}(x),1-mu _{A}(x))).}

Axioms for definition of generalized symmetric differences analogous to those for t-norms, t-conorms, and negators have been proposed by Vemur et al. (2014) with predecessors by Alsina et al. (2005) and Bedregal et al. (2009).

En contraste con los conjuntos nítidos, las operaciones de promediación también se pueden definir para conjuntos borrosos.

Conjuntos borrosos disjuntos

A diferencia de la ambigüedad general de las operaciones de intersección y unión, hay claridad para los conjuntos descomunados: Dos juegos de fuzzy $A,B$ son disjoint Sip

{displaystyle forall xin U:mu _{A}(x)=0lor mu _{B}(x)=0}

que es equivalente a

nexists

0land mu _{B}(x)>0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x▪ ▪ U:μ μ A()x)■0∧ ∧ μ μ B()x)■0{displaystyle xin U:mu _{A}(x) confianza0land mu _{B}(x) confianza0}0land mu _{B}(x)>0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a511d38dc166c14f09cfa857b4c70ec80cddcab" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.02ex; height:2.843ex;"/>

y también equivalente a

{displaystyle forall xin U:min(mu _{A}(x),mu _{B}(x))=0}

Tenemos en cuenta que in/max es un par t/s-norma, y cualquier otro funcionará aquí también.

Los conjuntos borrosos son disjuntos si y solo si sus soportes son disjuntos según la definición estándar para conjuntos nítidos.

Para conjuntos descompuestos $A,B$ cualquier intersección dará ∅, y cualquier unión dará el mismo resultado, que se denota como

{displaystyle A,{dot {cup }},B=Acup B}

con su función de pertenencia dada por

{displaystyle forall xin U:mu _{A{dot {cup }}B}(x)=mu _{A}(x)+mu _{B}(x)}

Tenga en cuenta que solo uno de los dos sumandos es mayor que cero.

Para conjuntos descompuestos $A,B$ lo siguiente es cierto:

{displaystyle operatorname {Supp} (A,{dot {cup }},B)=operatorname {Supp} (A)cup operatorname {Supp} (B)}

Esto puede ser generalizado para familias finitas de conjuntos de mareas como sigue: Dada una familia ${displaystyle A=(A_{i})_{iin I}}$ de conjuntos borrosos con conjunto de índice I (por ejemplo. I = {1,2,3,...,n}). Esta familia es (pairwise) disjoint Sip

0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">para todosx▪ ▪ Uexiste en la mayoría dei▪ ▪ Itales queμ μ Ai()x)■0.{displaystyle {text{for all}xin U{text{ there exists at most one }}iin I{text{ such that }mu _{A_{i}(x)} {0}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375b575b5a4a38070f38b4d3345e0d497e725cd4" style="vertical-align: -1.005ex; width:64.024ex; height:3.009ex;"/>

Una familia de conjuntos borrosos ${displaystyle A=(A_{i})_{iin I}}$ es descomunal, si la familia de apoyos subyacentes ${displaystyle operatorname {Supp} circ A=(operatorname {Supp} (A_{i}))_{iin I}}$ está descompuesto en el sentido estándar para las familias de conjuntos nítidos.

Independientemente del par de normas t/s, la intersección de una familia disjunta de conjuntos borrosos dará ∅ nuevamente, mientras que la unión no tiene ambigüedad:

{displaystyle {dot {bigcup limits _{iin I}}},A_{i}=bigcup _{iin I}A_{i}}

con su función de pertenencia dada por

{displaystyle forall xin U:mu _{{dot {bigcup limits _{iin I}}}A_{i}}(x)=sum _{iin I}mu _{A_{i}}(x)}

De nuevo, solo uno de los sumandos es mayor que cero.

Para familias descomunadas de conjuntos borrosos ${displaystyle A=(A_{i})_{iin I}}$ lo siguiente es cierto:

{displaystyle operatorname {Supp} left({dot {bigcup limits _{iin I}}},A_{i}right)=bigcup limits _{iin I}operatorname {Supp} (A_{i})}

Cardinalidad escalar

Para un equipo borroso $A$ con apoyo finito ${displaystyle operatorname {Supp} (A)}$ (es decir, un "conjunto completo borroso"), su cardinalidad (aka Escalar Cardinality o sigma-count) es dado por

{displaystyle operatorname {Card} (A)=operatorname {sc} (A)=|A|=sum _{xin U}mu _{A}(x)}

En el caso de que U sea un conjunto finito, la cardinalidad relativa viene dada por

{displaystyle operatorname {RelCard} (A)=|A|=operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}

Esto se puede generalizar para que el divisor sea un conjunto no vacío: Para los juegos de fuzzy ${displaystyle A,G}$ con G ل ∅, podemos definir el relativa cardenalidad por:

{displaystyle operatorname {RelCard} (A,G)=operatorname {sc} (A|G)=operatorname {sc} (Acap {G})/operatorname {sc} (G)}

que se parece mucho a la expresión de probabilidad condicional. Nota:

$0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">sc⁡ ⁡ ()G)■0{displaystyle operatorname {sc} (G)}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1e7280693b4e05a4006357f2b065c9ce1d69c8" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.846ex; height:2.843ex;"/>$ Aquí.
El resultado puede depender de la intersección específica (t-norm) elegida.
Para ${displaystyle G=U}$ el resultado es inequívoco y se asemeja a la definición anterior.

Distancia y similitud

Para cualquier equipo borroso $A$ la función de membresía ${displaystyle mu _{A}:Uto [0,1]}$ puede considerarse como una familia ${displaystyle mu _{A}=(mu _{A}(x))_{xin U}in [0,1]^{U}}$ . Este último es un espacio métrico con varias métricas $d$ conocido. Una métrica puede derivarse de una norma (norma vencedora) ${displaystyle |,|}$ via

{displaystyle d(alphabeta)=|alpha -beta |}

Por ejemplo, si $U$ es finito, es decir. ${displaystyle U={x_{1},x_{2},...x_{n}}}$ , tal métrica puede definirse por:

{displaystyle d(alphabeta):=max{|alpha (x_{i})-beta (x_{i})|:i=1,...,n}}

Donde

alpha

beta

son secuencias de números reales entre 0 y 1.

Para infinito $U$ , el máximo puede ser reemplazado por un supremum. Debido a que los conjuntos borrosos están definidos inequívocamente por su función de membresía, esta métrica puede utilizarse para medir distancias entre conjuntos borrosos en el mismo universo:

{displaystyle d(A,B):=d(mu _{A},mu _{B})}

que se convierte en el ejemplo anterior:

{displaystyle d(A,B)=max{|mu _{A}(x_{i})-mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n}}

Otra vez para infinito $U$ el máximo debe ser reemplazado por un supremum. Otras distancias (como el canónico 2-norm) pueden divergir, si los conjuntos de marea infinita son demasiado diferentes, por ejemplo, $varnothing$ y $U$ .

Medidas de similitud (here denotado por $S$ ) puede ser derivado de la distancia, por ejemplo después de una propuesta de Koczy:

{displaystyle S=1/(1+d(A,B))}

d(A,B)

es finito,

{displaystyle 0}

si no,

o después de Williams y Steele:

{displaystyle S=exp(-alpha {d(A,B)})}

d(A,B)

es finito,

{displaystyle 0}

más

Donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■0{displaystyle alpha œ0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;"/>$ es un parámetro de empinado y ${displaystyle exp(x)=e^{x}}$ .

Otra definición para medidas de similitud valoradas por intervalos (más 'fuzzy') $zeta$ es proporcionado por Beg y Ashraf también.

L-conjuntos difusos

A veces, se utilizan variantes más generales de la noción de conjunto borroso, con funciones de membresía tomando valores en un álgebra o estructura (fijo o variable) $L$ de un tipo dado; generalmente se requiere que $L$ ser por lo menos una pose o celo. Estos generalmente se llaman L- Divertidos., para distinguirlos de aquellos valorados en el intervalo de unidad. Las funciones habituales de membresía con valores en [0, 1] se denominan [0, 1] funciones de membresía valoradas. Estos tipos de generalizaciones fueron considerados por primera vez en 1967 por Joseph Goguen, estudiante de Zadeh. Un corolario clásico puede estar indicando la verdad y los valores de membresía por {f, t} en lugar de {0, 1}.

Atanassov ha proporcionado una extensión de conjuntos borrosos. An intuitionistic fuzzy set (IFS) $A$ se caracteriza por dos funciones:

mu _{A}(x)

– grado de membresía x

{displaystyle nu _{A}(x)}

- grado de no pertenencia x

con funciones ${displaystyle mu _{A},nu _{A}:Uto [0,1]}$ con ${displaystyle forall xin U:mu _{A}(x)+nu _{A}(x)leq 1}$ .

Esto se asemeja a una situación como una persona denotada por $x$ votación

propuesta $A$ # ${displaystyle mu _{A}(x)=1,nu _{A}(x)=0}$ ),
contra él: ( ${displaystyle mu _{A}(x)=0,nu _{A}(x)=1}$ ),
o abstenerse de votar: ( ${displaystyle mu _{A}(x)=nu _{A}(x)=0}$ ).

Después de todo, tenemos un porcentaje de aprobaciones, un porcentaje de denegaciones y un porcentaje de abstenciones.

Para esta situación se pueden definir los negociadores especiales "intuitivos borrosos", t- y s-norms. Con ${displaystyle D^{*}={(alphabeta)in [0,1]^{2}:alpha +beta =1}}$ y combinando ambas funciones a ${displaystyle (mu _{A},nu _{A}):Uto D^{*}}$ esta situación se asemeja a un tipo especial L- Mocosos.

Una vez más, esto se ha ampliado definiendo imagen fuzzy juegos (PFS) as follows: A PFS A se caracteriza por tres funciones cartográficas U [0, 1]: ${displaystyle mu _{A},eta _{A},nu _{A}}$ , "acuerdo de membresía positiva", "acuerdo de membresía neutral", y "grado de membresía negativa" respectivamente y condición adicional ${displaystyle forall xin U:mu _{A}(x)+eta _{A}(x)+nu _{A}(x)leq 1}$ Esto expande la muestra de votación arriba por una posibilidad adicional de "refuso de votación".

Con ${displaystyle D^{*}={(alphabetagamma)in [0,1]^{3}:alpha +beta +gamma =1}}$ y los negociadores especiales de "fotografía borrosa", t- y s-norms esto se parece a otro tipo de L- Mocosos.

Conjuntos difusos neutrosóficos

Algunos desarrollos clave en la introducción de conceptos de conjuntos borrosos.

El concepto de IFS se ha ampliado a dos modelos principales. Las dos extensiones de IFS son los conjuntos borrosos neutrosóficos y los conjuntos borrosos pitagóricos.

Smarandache presentó conjuntos de fuzzy neutrosopáticos en 1998. Como IFS, los conjuntos de fuzzy neutrosófico tienen las dos funciones anteriores: una para la membresía $mu _{A}(x)$ y otro para no miembros ${displaystyle nu _{A}(x)}$ . La diferencia principal es que los conjuntos de mareas neutróficas tienen una función más: para indeterminar ${displaystyle i_{A}(x)}$ . Este valor indica que el grado de indeciso que la entidad x pertenece al conjunto. Este concepto de tener indeterminado ${displaystyle i_{A}(x)}$ valor puede ser particularmente útil cuando no se puede confiar en los valores de membresía o no membresía para los artículos x. En resumen, los conjuntos de fuzzy neutrosóficos están asociados con las siguientes funciones:

mu _{A}(x)

- grado de membresía x

{displaystyle nu _{A}(x)}

- grado de no pertenencia x

{displaystyle i_{A}(x)}

- el grado de valor indeterminado x

Conjuntos borrosos pitagóricos

La otra extensión de IFS es lo que se conoce como conjuntos de fuzzy pitagóricos. Los juegos de pythagorean fuzzy son más flexibles que los IFS. Los IFS se basan en la limitación ${displaystyle mu _{A}(x)+nu _{A}(x)leq 1}$ , que puede considerarse demasiado restrictivo en algunas ocasiones. Por eso Yager propuso el concepto de conjuntos de fuzzy pitagóricos. Tales conjuntos satisfacen la limitación ${displaystyle mu _{A}(x)^{2}+nu _{A}(x)^{2}leq 1}$ , que recuerda al teorema pitagórico. Pythagorean fuzzy sets puede ser aplicable a aplicaciones de la vida real en las cuales la condición previa de ${displaystyle mu _{A}(x)+nu _{A}(x)leq 1}$ no es válido. Sin embargo, la condición menos restrictiva de ${displaystyle mu _{A}(x)^{2}+nu _{A}(x)^{2}leq 1}$ puede ser adecuado en más dominios.

Lógica difusa

Como extensión del caso de lógica multivalorada, valoraciones ( $mu:{mathit {V}}_{o}to {mathit {W}}$ ) de variables proposicionales ( ${mathit {V}}_{o}$ ) en un conjunto de grados de membresía ( ${mathit {W}}$ ) se puede considerar como funciones de membresía mapear predicados en conjuntos borrosos (o más formalmente, en un conjunto ordenado de pares borrosos, llamada una relación borrosa). Con estas valoraciones, se puede ampliar la lógica de gran valor para permitir locales borrosos de los que se pueden extraer conclusiones calificadas.

Esta extensión a veces se denomina "lógica difusa en sentido estricto" a diferencia de la "lógica difusa en el sentido más amplio," que se originó en los campos de ingeniería de control automatizado e ingeniería del conocimiento, y que abarca muchos temas relacionados con conjuntos borrosos y "razonamiento aproximado".

Aplicaciones industriales de conjuntos borrosos en el contexto de "lógica difusa en el sentido más amplio" se puede encontrar en la lógica difusa.

Número borroso y único número

Un número borroso es un conjunto borroso que satisface todas las siguientes condiciones:

A se normaliza;
A es un conjunto convexo;
${displaystyle exists !x^{*}in A,mu _{A}(x^{*})=1}$ ;
Función de membresía $mu _{{A}}(x)$ es al menos segmentadamente continuo.

Si estas condiciones no se cumplen, entonces A no es un número borroso. El núcleo de este número borroso es un singleton; su ubicación es:

{displaystyle ,C(A)=x^{*}:mu _{A}(x^{*})=1}

Cuando la condición sobre la singularidad de ${displaystyle {x^{*}}}$ no se cumple, entonces el conjunto borroso se caracteriza como intervalo borroso. El núcleo de este intervalo borroso es un intervalo nítido con:

{displaystyle ,C(A)=left[min{xin mathbb {R} mid mu _{A}(x)=1};max{xin mathbb {R} mid mu _{A}(x)=1}right]}

Los números borrosos se pueden comparar con el juego de feria "adivina tu peso," donde alguien adivina el peso del concursante, siendo las conjeturas más cercanas las más correctas, y donde el que adivina 'gana'; si él o ella adivina lo suficientemente cerca del peso del concursante, siendo el peso real completamente correcto (asignación a 1 por la función de pertenencia).

El núcleo ${displaystyle K(A)=operatorname {Kern} (A)}$ de un intervalo borroso $A$ se define como la parte "inner", sin las partes "outbound" donde el valor de la membresía es constante ad infinitum. En otras palabras, el subconjunto más pequeño $mathbb {R}$ Donde $mu _{A}(x)$ es constante fuera de ella, se define como el núcleo.

Sin embargo, existen otros conceptos de números borrosos e intervalos ya que algunos autores no insisten en la convexidad.

Categorías difusas

El uso de la pertenencia a conjuntos como componente clave de la teoría de categorías puede generalizarse a conjuntos borrosos. Este enfoque, que comenzó en 1968 poco después de la introducción de la teoría de conjuntos borrosos, condujo al desarrollo de las categorías de Goguen en el siglo XXI. En estas categorías, en lugar de utilizar la pertenencia a conjuntos de dos valores, se utilizan intervalos más generales y pueden ser retículas como en los conjuntos difusos L.

Ecuación de relación difusa

La ecuación de relación difusa es una ecuación de la forma A · R = B, donde A y B son conjuntos difusos, R es una relación difusa y A · R representa la composición de A con R.

Entropía

Medida d de mareos para conjuntos borrosos del universo $U$ debe cumplir las siguientes condiciones para todos $xin U$ :

${displaystyle d(A)=0}$ si $A$ es un conjunto nítido: ${displaystyle mu _{A}(x)in {0,,1}}$
$d(A)$ tiene un máximo único ${displaystyle forall xin U:mu _{A}(x)=0.5}$
${displaystyle mu _{A}leq mu _{B}iff }$

{displaystyle mu _{A}leq mu _{B}leq 0.5}

{displaystyle mu _{A}geq mu _{B}geq 0.5}

que significa que B es "crisper" que A.

${displaystyle d(neg {A})=d(A)}$

En este caso $d(A)$ se llama entropía del conjunto borroso A.

Para finito ${displaystyle U={x_{1},x_{2},...x_{n}}}$ la entropía de un conjunto borroso $A$ es dado por

{displaystyle d(A)=H(A)+H(neg {A})}

{displaystyle H(A)=-ksum _{i=1}^{n}mu _{A}(x_{i})ln mu _{A}(x_{i})}

o simplemente

{displaystyle d(A)=-ksum _{i=1}^{n}S(mu _{A}(x_{i}))}

Donde ${displaystyle S(x)=H_{e}(x)}$ es la función de Shannon (función entropía natural)

{displaystyle S(alpha)=-alpha ln alpha -(1-alpha)ln(1-alpha), alpha in [0,1]}

y $k$ es una constante dependiendo de la unidad de medida y la base de logaritmo utilizada (aquí hemos utilizado la base natural e). La interpretación física k es la constante de Boltzmann k^B.

Vamos $A$ ser un equipo borroso con un continuo función de membresía (variable borroso). Entonces...

{displaystyle H(A)=-kint _{-infty }^{infty }operatorname {Cr} lbrace Ageq trbrace ln operatorname {Cr} lbrace Ageq trbrace ,dt}

y su entropía es

{displaystyle d(A)=-kint _{-infty }^{infty }S(operatorname {Cr} lbrace Ageq trbrace),dt.}

Extensiones

Hay muchas construcciones matemáticas similares o más generales que los conjuntos borrosos. Desde que se introdujeron los conjuntos borrosos en 1965, se han desarrollado muchas construcciones y teorías matemáticas nuevas que tratan la imprecisión, la inexactitud, la ambigüedad y la incertidumbre. Algunas de estas construcciones y teorías son extensiones de la teoría de conjuntos borrosos, mientras que otras intentan modelar matemáticamente la imprecisión y la incertidumbre de una manera diferente (Burgin & Chunihin 1997 error de harvnb: sin destino: CITEREFBurginChunihin1997 (ayuda); Kerre 2001; Deschrijver y Kerre, 2003).

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