Conjunto borel

En matemáticas, un conjunto de Borel es cualquier conjunto en un espacio topológico que puede formarse a partir de conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, a partir de conjuntos cerrados) a través de las operaciones de unión contable, intersección contable y complemento relativo. Los conjuntos de Borel llevan el nombre de Émile Borel.

Para un espacio topológico X, la colección de todos los conjuntos de Borel en X forma una σ-álgebra, conocida como Álgebra de Borel o σ-álgebra de Borel. El álgebra de Borel en X es la σ-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, todos los conjuntos cerrados).

Los conjuntos de Borel son importantes en la teoría de la medida, ya que cualquier medida definida en los conjuntos abiertos de un espacio, o en los conjuntos cerrados de un espacio, también debe definirse en todos los conjuntos de Borel de ese espacio. Cualquier medida definida en los conjuntos de Borel se denomina medida de Borel. Los conjuntos de Borel y la jerarquía de Borel asociada también juegan un papel fundamental en la teoría de conjuntos descriptiva.

En algunos contextos, los conjuntos de Borel se definen como generados por los conjuntos compactos del espacio topológico, en lugar de los conjuntos abiertos. Las dos definiciones son equivalentes para muchos espacios de buen comportamiento, incluidos todos los espacios compactos σ de Hausdorff, pero pueden ser diferentes en espacios más patológicos.

Generando el álgebra de Borel

En el caso de que X sea un espacio métrico, el álgebra de Borel en el primer sentido puede describirse generativamente de la siguiente manera.

Para una colección T de subconjuntos de X (es decir, para cualquier subconjunto del conjunto potencia P(X) de X), sea

• Tσ σ {displaystyle T_{sigma } ser todos sindicatos contables de elementos T
• Tδ δ {displaystyle T_{delta } todas las intersecciones contables de elementos T
• Tδ δ σ σ =()Tδ δ )σ σ .{displaystyle T_{delta sigma }=(T_{delta })_{sigma }

Ahora defina por inducción transfinita una secuencia G^m, donde m es un número ordinal, de la siguiente manera:

• Para el caso base de la definición, dejemos G0{displaystyle G^{0} ser la colección de subconjuntos abiertos de X.
• Si i no es un ordinal límite, entonces i tiene un ordinal inmediatamente anterior i − 1. Let
  Gi=[Gi− − 1]δ δ σ σ .{displaystyle G^{i}= [G^{i-1] sigma }.

  
• Si i es un ordinal límite, conjunto
  <math alttext="{displaystyle G^{i}=bigcup _{jGi=⋃ ⋃ j.iGj.{displaystyle G^{i}=bigcup _{j identificadoi}G^{j}

  <img alt="{displaystyle G^{i}=bigcup _{j

La afirmación es que el álgebra de Borel es G^ω₁, donde ω₁ es el primer incontable número ordinal. Es decir, el álgebra de Borel se puede generar a partir de la clase de conjuntos abiertos iterando la operación

G↦ ↦ Gδ δ σ σ .{displaystyle Gmapsto G_{delta sigma }.

Para probar esta afirmación, tenga en cuenta que cualquier conjunto abierto en un espacio métrico es la unión de una secuencia creciente de conjuntos cerrados. En particular, la complementación de conjuntos mapea G^m en sí mismo para cualquier límite ordinal m; además, si m es un ordinal límite incontable, G^m está cerrado bajo uniones contables.

Tenga en cuenta que para cada conjunto de Borel B, hay algún ordinal contable α_B tal que B puede obtener iterando la operación sobre α_B. Sin embargo, como B varía en todos los conjuntos de Borel, α_B variará en todos los ordinales contables y, por lo tanto, el primer ordinal en el que todos los Los conjuntos de Borel que se obtienen son ω₁, el primer ordinal incontable.

Ejemplo

Un ejemplo importante, especialmente en la teoría de la probabilidad, es el álgebra de Borel sobre el conjunto de los números reales. Es el álgebra sobre la que se define la medida de Borel. Dada una variable aleatoria real definida en un espacio de probabilidad, su distribución de probabilidad es, por definición, también una medida del álgebra de Borel.

El álgebra de Borel sobre los reales es la σ-álgebra más pequeña sobre R que contiene todos los intervalos.

En la construcción por inducción transfinita, se puede demostrar que, en cada paso, el número de conjuntos es, como máximo, la cardinalidad del continuo. Entonces, el número total de conjuntos de Borel es menor o igual que

א א 1⋅ ⋅ 2א א 0=2א א 0.{displaystyle aleph _{1}cdot 2^{aleph ¿Por qué? - Sí.

De hecho, la cardinalidad de la colección de conjuntos Borel es igual a la del continuum (compare al número de conjuntos mensurables Lebesgue que existen, que es estrictamente mayor e igual a 22א א 0{displaystyle 2^{2^{aleph ♪♪).

Espacios estándar de Borel y teoremas de Kuratowski

Sea X un espacio topológico. El espacio de Borel asociado a X es el par (X,B), donde B es el σ-álgebra de los conjuntos de Borel de X.

George Mackey definió un espacio de Borel de manera algo diferente, escribiendo que es "un conjunto junto con un campo σ distinguido de subconjuntos llamados conjuntos de Borel." Sin embargo, el uso moderno es llamar a la subálgebra distinguida los conjuntos medibles y tales espacios espacios medibles. La razón de esta distinción es que los conjuntos de Borel son el σ-álgebra generado por conjuntos abiertos (de un espacio topológico), mientras que la definición de Mackey se refiere a un conjunto equipado con un σ-álgebra arbitraria. Existen espacios medibles que no son espacios de Borel, para cualquier elección de topología en el espacio subyacente.

Los espacios mensurables forman una categoría en la que los morfismos son funciones mensurables entre espacios mensurables. Una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xrightarrow Sí. es mensurable si hace retroceder conjuntos mensurables, es decir, para todos los conjuntos mensurables B dentro Y, el conjunto f− − 1()B){displaystyle f^{-1}(B)} es mensurable X.

Teorema. Sea X un espacio polaco, es decir, un espacio topológico tal que hay una métrica d en X que define la topología de X y eso hace que X sea un espacio métrico completamente separable. Entonces X como espacio de Borel es isomorfo a uno de

1. R,
2. Z,
3. un espacio finito.

(Este resultado recuerda al teorema de Maharam).

Considerados como espacios de Borel, la recta real R, la unión de R con un conjunto contable, y Rⁿ son isomorfos.

Un espacio estándar de Borel es el espacio de Borel asociado a un espacio polaco. Un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad, y cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo.

Para subconjuntos de espacios polacos, los conjuntos de Borel se pueden caracterizar como aquellos conjuntos que son los rangos de mapas inyectivos continuos definidos en espacios polacos. Tenga en cuenta, sin embargo, que el rango de un mapa no inyectivo continuo puede no ser Borel. Véase conjunto analítico.

Cada medida de probabilidad en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar.

Conjuntos no Borel

A continuación se describe un ejemplo de un subconjunto de los reales que no es Borel, debido a Lusin. Por el contrario, no se puede exhibir un ejemplo de un conjunto no medible, aunque se puede probar su existencia.

Todo número irracional tiene una representación única por una fracción continua infinita

x=a0+1a1+1a2+1a3+1⋱ ⋱ {displaystyle x=a_{0}+{cfrac {1}{a_{1}+{cfrac {1}{a_{2}+{cfrac {1}{a_{3}+{cfrac {1}{ddots {fnMicrosoft Sans Serif}}}}}}}

Donde a0{displaystyle A_{0} es algo entero y todos los otros números ak{displaystyle A_{k} son positivo enteros. Vamos A{displaystyle A} ser el conjunto de todos los números irracionales que corresponden a secuencias ()a0,a1,...... ){displaystyle (a_{0},a_{1},dots)} con la siguiente propiedad: existe una subsecuencia infinita ()ak0,ak1,...... ){fnMicrosoft Sans Serif} tal que cada elemento es un divisor del siguiente elemento. Este juego A{displaystyle A} No es Borel. De hecho, es analítico y completo en la clase de conjuntos analíticos. Para más detalles vea la teoría de conjuntos descriptivos y el libro de Kechris, especialmente el ejercicio (27.2) en la página 209, Definición (22.9) en la página 169, y Ejercicio (3.4)(ii) en la página 14.

Es importante notar que mientras A{displaystyle A} se puede construir en ZF, no se puede probar que no sea pelea en ZF solo. De hecho, es consistente con ZF que R{displaystyle mathbb {R} es una unión contable de conjuntos contables, por lo que cualquier subconjunto de R{displaystyle mathbb {R} Es un Borel.

Otro conjunto no relacionado es una imagen inversa f− − 1[0]{displaystyle f^{-1}[0] de una función de paridad infinita f:: {}0,1}⋅ ⋅ → → {}0,1}{displaystyle fcolon {0,1}{omega }to {0,1}}. Sin embargo, esta es una prueba de la existencia (a través del axioma de la elección), no un ejemplo explícito.

Definiciones alternativas no equivalentes

Según Paul Halmos, un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Borel si pertenece al anillo σ más pequeño que contiene todos los conjuntos compactos.

Norberg y Vervaat redefinen el álgebra Borel de un espacio topológico X{displaystyle X} como σ σ {displaystyle sigma }- álgebra generada por sus subconjuntos abiertos y sus subconjuntos saturados compactos. Esta definición es adecuada para aplicaciones en el caso en que X{displaystyle X} No es Hausdorff. Coincide con la definición habitual si X{displaystyle X} es segundo contable o si cada subconjunto saturado compacto está cerrado (que es el caso en particular si X{displaystyle X} es Hausdorff).