Conjunto acotado

La impresión de un artista de un conjunto atado (top) y de un conjunto sin límites (abajo). El conjunto en el fondo continúa para siempre hacia la derecha.

"Bounded" y "boundary" son conceptos distintos; porque este último ve el límite (topología). Un círculo en aislamiento es un conjunto delimitado sin límites, mientras que el medio plano está sin límites y tiene un límite.

En análisis matemático y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto se llama acotado si es, en cierto sentido, de medida finita. Por el contrario, un conjunto que no está acotado se llama no acotado. La palabra 'limitado' no tiene sentido en un espacio topológico general sin una métrica correspondiente.

Un conjunto acotado no es necesariamente un conjunto cerrado y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional R² restringido por dos curvas parabólicas x² + 1 y x² - 1 definido en un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema cerrado pero no acotado (ilimitado).).

Definición en los números reales

Un juego real con bordes superiores y su supremum.

Un conjunto S de números reales se llama acotado superiormente si existe algún número real k (no necesariamente en S ) tal que k ≥ s para todos los s en S. El número k se denomina límite superior de S. Los términos limitado desde abajo y límite inferior se definen de manera similar.

Un conjunto S está acotado si tiene límites superiores e inferiores. Por tanto, un conjunto de números reales está acotado si está contenido en un intervalo finito.

Definición en un espacio métrico

Un subconjunto S de un espacio métrico (M, d) está acotado si existe r > 0 tal que para todos los s y t en S, tenemos d(s, t) < r. El espacio métrico (M, d) es un espacio métrico acotado (o d es un acotado métrica) si M está acotado como un subconjunto de sí mismo.

• El límite total implica la obligatoriedad. Para subconjuntos de Rⁿ los dos son equivalentes.
• Un espacio métrico es compacto si es completo y totalmente atado.
• Un subconjunto del espacio Euclideano Rⁿ es compacto si y sólo si está cerrado y atado.

Acotación en espacios vectoriales topológicos

En espacios vectoriales topológicos, existe una definición diferente para conjuntos acotados que a veces se denomina acotación de von Neumann. Si la topología del espacio vectorial topológico es inducida por una métrica que es homogénea, como en el caso de una métrica inducida por la norma de espacios vectoriales normados, entonces las dos definiciones coinciden.

Acotación en la teoría del orden

Un conjunto de números reales está acotado si y solo si tiene un límite superior e inferior. Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado. Tenga en cuenta que este concepto más general de delimitación no corresponde a una noción de "tamaño".

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se llama acotado arriba si hay un elemento k en P tales que k ≥ s para todos los s en S. El elemento k se denomina límite superior de S. Los conceptos de límite inferior y límite inferior se definen de manera similar. (Véase también límites superior e inferior).

Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se llama acotado si tiene un límite superior e inferior, o de manera equivalente, si está contenido en un intervalo. Tenga en cuenta que esta no es solo una propiedad del conjunto S sino también una del conjunto S como subconjunto de P.

Un poset acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento máximo. Tenga en cuenta que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto S de un poset acotado P con como orden la restricción del orden en P no es necesariamente un poset acotado.

Un subconjunto S de Rⁿ está acotado con respecto a la distancia euclidiana si y solo si delimitado como subconjunto de Rⁿ con el pedido del producto. Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de Rⁿ con el orden lexicográfico, pero no con respecto al Distancia euclidiana.

Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada, o cofinal, cuando dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él. Así, en este caso, "ilimitado" no significa ilimitado por sí mismo sino ilimitado como una subclase de la clase de todos los números ordinales.