Conjunto abierto regular

Un subconjunto ${displaystyle S.$ de un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama conjunto abierto regular si es igual al interior de su cierre; expresado simbólicamente, si ${displaystyle operatorname {Int} ({overline {S})=S}$ o, equivalentemente, si ${displaystyle partial ({overline {S}})=partial S,}$ Donde ${displaystyle operatorname S,$ ${displaystyle {bis}}}$ y ${displaystyle partial S}$ denota, respectivamente, el interior, el cierre y el límite ${displaystyle S.}$

Un subconjunto ${displaystyle S.$ de ${displaystyle X}$ se llama Conjunto cerrado ordinario si es igual al cierre de su interior; expresado simbólicamente, si ${displaystyle {overline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Int} s}=S}$ o, equivalentemente, si ${displaystyle partial (operatorname {Int} S)=partial S.}$

Ejemplos

Si ${displaystyle mathbb {R}$ tiene su topología Euclideana habitual, entonces el conjunto abierto ${displaystyle S=(0,1)cup (1,2)}$ no es un conjunto abierto regular, ya que ${displaystyle operatorname {Int} ({overline {S})=(0,2)neq S}$. Cada intervalo abierto en ${displaystyle mathbb {R}$ es un conjunto abierto regular y cada intervalo cerrado no degenerado (es decir, un intervalo cerrado que contiene al menos dos puntos distintos) es un conjunto cerrado regular. Un singleton ${displaystyle {x}}$ es un subconjunto cerrado ${displaystyle mathbb {R}$ pero no un conjunto cerrado regular porque su interior es el conjunto vacío ${displaystyle varnothing}$ así ${displaystyle {overline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Int} {x}}={overline Nada.$

Propiedades

Un subconjunto de ${displaystyle X}$ es un conjunto abierto regular si y sólo si su complemento en ${displaystyle X}$ es un conjunto cerrado regular. Cada conjunto abierto regular es un conjunto abierto y cada conjunto cerrado regular es un conjunto cerrado.

Cada subconjunto de clopen ${displaystyle X}$ (que incluye ${displaystyle varnothing }$ y ${displaystyle X}$ es simultáneamente un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular.

El interior de un subconjunto cerrado ${displaystyle X}$ es un subconjunto abierto regular de ${displaystyle X}$ e igualmente, el cierre de un subconjunto abierto de ${displaystyle X}$ es un subconjunto cerrado regular de ${displaystyle X.}$ La intersección (pero no necesariamente la unión) de dos conjuntos abiertos regulares es un conjunto abierto regular. Del mismo modo, el sindicato (pero no necesariamente la intersección) de dos conjuntos cerrados regulares es un conjunto cerrado regular.

La colección de todos los conjuntos abiertos regulares en ${displaystyle X}$ forma un álgebra booleana completa; la operación de unión es dada por ${displaystyle Uvee V=operatorname {Int} ({overline {Ucup V})}$, el encuentro es ${displaystyle Uland V=Ucap V}$ y el complemento ${displaystyle neg U=operatorname (Xsetminus U)}$.