Conjunto abierto

Ejemplo: El círculo azul representa el conjunto de puntos (x, Sí.) satisfactoria x² + Sí.² = r². El disco rojo representa el conjunto de puntos (x, Sí.) satisfactoria x² + Sí.². r². El conjunto rojo es un conjunto abierto, el conjunto azul es su conjunto de límites, y la unión de los conjuntos rojo y azul es un conjunto cerrado.

En matemáticas, un conjunto abierto es una generalización del intervalo abierto en la recta real.

En un espacio métrico (un conjunto junto con una distancia definida entre dos puntos cualesquiera), un conjunto abierto es un conjunto que, junto con cada punto P, contiene todos los puntos que están suficientemente cerca de P (es decir, todos los puntos cuya distancia a P es menor que algún valor dependiendo de P ).

Más generalmente, un conjunto abierto es un miembro de una colección dada de subconjuntos de un conjunto dado, una colección que tiene la propiedad de contener cada unión de sus miembros, cada intersección finita de sus miembros, el conjunto vacío y el todo el conjunto en sí. Un conjunto en el que se da tal colección se llama espacio topológico, y la colección se llama topología. Estas condiciones son muy flexibles y permiten una enorme flexibilidad en la elección de conjuntos abiertos. Por ejemplo, todos los subconjuntos pueden estar abiertos (la topología discreta), o ningún subconjunto puede estar abierto excepto el propio espacio y el conjunto vacío (la topología indiscreta).

En la práctica, sin embargo, los conjuntos abiertos suelen elegirse para proporcionar una noción de proximidad similar a la de los espacios métricos, sin tener una noción de distancia definida. En particular, una topología permite definir propiedades como la continuidad, la conectividad y la compacidad, que originalmente se definían por medio de una distancia.

El caso más común de una topología sin distancia está dado por las variedades, que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclidiano, pero en el que no hay distancia. definido en general. En otras ramas de las matemáticas se utilizan topologías menos intuitivas; por ejemplo, la topología de Zariski, que es fundamental en geometría algebraica y teoría de esquemas.

Motivación

Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos. Por ejemplo, si alrededor de uno de dos puntos en un espacio topológico existe un conjunto abierto que no contiene el otro punto (distinto), los dos puntos se denominan topológicamente distinguibles. De esta manera, se puede hablar de si dos puntos, o más generalmente dos subconjuntos, de un espacio topológico son "próximos" sin definir concretamente una distancia. Por tanto, los espacios topológicos pueden ser vistos como una generalización de los espacios dotados de una noción de distancia, que se denominan espacios métricos.

En el conjunto de todos los números reales, se tiene la métrica euclidiana natural; es decir, una función que mide la distancia entre dos números reales: d(x, y) = |x − y|. Por lo tanto, dado un número real x, se puede hablar del conjunto de todos los puntos cercanos a ese número real; es decir, dentro de ε de x. En esencia, los puntos dentro de ε de x se aproximan a x con una precisión de grado ε. Tenga en cuenta que ε > 0 siempre, pero a medida que ε se hace cada vez más pequeño, se obtienen puntos que se aproximan a x con un grado de precisión cada vez mayor. Por ejemplo, si x = 0 y ε = 1, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos del intervalo (−1, 1); es decir, el conjunto de todos los números reales entre −1 y 1. Sin embargo, con ε = 0,5, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos de (−0.5, 0.5). Claramente, estos puntos se aproximan a x con un mayor grado de precisión que cuando ε = 1.

La discusión anterior muestra, para el caso x = 0, que se puede aproximar x a grados de precisión cada vez mayores definiendo ε ser cada vez más pequeño. En particular, los conjuntos de la forma (−ε, ε) nos dan mucha información sobre puntos cercanos a x = 0. Por lo tanto, en lugar de hablar de una métrica euclidiana concreta, se pueden usar conjuntos para describir puntos cercanos a x. Esta idea innovadora tiene consecuencias de largo alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintos de los conjuntos (−ε, ε)), uno puede encontrar diferentes resultados con respecto a la distancia entre 0 y otros numeros reales. Por ejemplo, si tuviéramos que definir R como el único conjunto de este tipo para "medir la distancia", todos los puntos están cerca de 0 ya que solo hay un posible grado de precisión que se puede lograr en aproximar 0: ser miembro de R. Por lo tanto, encontramos que, en cierto sentido, cada número real está a una distancia de 0 de 0. Puede ayudar en este caso pensar en la medida como una condición binaria: todas las cosas en R están igualmente cerca a 0, mientras que cualquier elemento que no esté en R no está cerca de 0.

En general, uno se refiere a la familia de conjuntos que contienen 0, usados para aproximar 0, como una base de vecindario; un miembro de esta base de vecindad se denomina conjunto abierto. De hecho, uno puede generalizar estas nociones a un conjunto arbitrario (X); en lugar de sólo los números reales. En este caso, dado un punto (x) de ese conjunto, se puede definir una colección de conjuntos "alrededor de" (es decir, que contiene) x, usado para aproximar x. Por supuesto, esta colección tendría que satisfacer ciertas propiedades (conocidas como axiomas) porque, de lo contrario, es posible que no tengamos un método bien definido para medir la distancia. Por ejemplo, cada punto en X debería aproximarse a x con algún grado de precisión. Por lo tanto, X debería estar en esta familia. Una vez que empezamos a definir "más pequeño" conjuntos que contienen x, tendemos a aproximar x con un mayor grado de precisión. Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que se requiere que satisfaga la familia de conjuntos sobre x.

Definiciones

Aquí se dan varias definiciones, en orden creciente de tecnicismo. Cada uno es un caso especial del siguiente.

Espacio euclidiano

Un subconjunto U{displaystyle U} del espacio n euclidiano Rⁿ es abierto si, por cada punto x dentro U{displaystyle U}, existe un número real positivo ε (dependiendo de x) tal que cualquier punto en Rⁿ cuya distancia de Euclidea x es más pequeño que ε pertenece U{displaystyle U}. Equivalentemente, un subconjunto U{displaystyle U} de Rⁿ está abierto si cada punto en U{displaystyle U} es el centro de una bola abierta contenida en U.{displaystyle U.}

Un ejemplo de un subconjunto de R que no está abierto es el intervalo cerrado [0,1] , ya que ni 0 - ε ni 1 + ε pertenece a [0,1] para cualquier ε > 0, por pequeño que sea.

Espacio métrico

Un subconjunto U de un espacio métrico ()M, d) se llama abierto si, para cualquier punto x dentro U, existe un número real ε ■ 0 tal que cualquier punto Sí.▪ ▪ M{displaystyle yin M} satisfacción d()x, Sí.) ε pertenece U. Equivalentemente, U está abierto si cada punto en U tiene un vecindario contenido en U.

Esto generaliza el ejemplo del espacio euclidiano, ya que el espacio euclidiano con la distancia euclidiana es un espacio métrico.

Espacio topológico

Una topología τ τ {displaystyle tau } en un set X es un conjunto de subconjuntos de X con las propiedades de abajo. Cada miembro de τ τ {displaystyle tau } se llama abierto.

• X▪ ▪ τ τ {displaystyle Xin tau } y ∅ ∅ ▪ ▪ τ τ {displaystyle varnothing in tau }
• Cualquier unión de juegos en τ τ {displaystyle tau } pertenecer a τ τ {displaystyle tau }Si {}Ui:i▪ ▪ I}⊆ ⊆ τ τ {displaystyle left{U_{i}:iin Iright}subseteq tau } entonces
  ⋃ ⋃ i▪ ▪ IUi▪ ▪ τ τ {displaystyle bigcup _{iin Yo...

  
• Cualquier intersección finita de conjuntos en τ τ {displaystyle tau } pertenecer a τ τ {displaystyle tau }Si U1,...... ,Un▪ ▪ τ τ {displaystyle U_{1},ldotsU_{n}in tau } entonces
  U1∩ ∩ ⋯ ⋯ ∩ ∩ Un▪ ▪ τ τ {displaystyle U_{1}cap cdots cap U_{n}in tau }

  

X junto con τ τ {displaystyle tau } se llama un espacio topológico.

Las intersecciones infinitas de conjuntos abiertos no necesitan ser abiertas. Por ejemplo, la intersección de todos los intervalos de la forma ()− − 1/n,1/n),{displaystyle left(-1/n,1/nright),} Donde n{displaystyle n} es un entero positivo, es el conjunto {}0}{displaystyle {0}} que no está abierto en la línea real.

Un espacio métrico es un espacio topológico, cuya topología consiste en la colección de todos los subconjuntos que son uniones de bolas abiertas. Hay, sin embargo, espacios topológicos que no son espacios métricos.

Tipos especiales de conjuntos abiertos

Conjuntos abiertos y conjuntos no abiertos y/o no cerrados

Un juego puede ser abierto, cerrado, ambos o ninguno. En particular, los conjuntos abiertos y cerrados no son mutuamente excluyentes, lo que significa que es en general posible que un subconjunto de un espacio topológico sea simultáneamente un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado. Tales subconjuntos se conocen como conjuntos de clopen. Explícitamente, un subconjunto S{displaystyle S. de un espacio topológico ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} se llama clopen si ambos S{displaystyle S. y su complemento X∖ ∖ S{displaystyle Xsetminus S} son subconjuntos abiertos de ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)}; o equivalentemente, si S▪ ▪ τ τ {displaystyle Sin tau } y X∖ ∖ S▪ ▪ τ τ .{displaystyle Xsetminus Sin tau.}

In cualquiera espacio topológico ()X,τ τ ),{displaystyle (X,tau),} el conjunto vacío ∅ ∅ {displaystyle varnothing } y el conjunto X{displaystyle X} en sí mismo son siempre coágulos. Estos dos conjuntos son los ejemplos más conocidos de subconjuntos de clopen y muestran que subconjuntos de clopen existen en cada uno espacio topológico. Para ver por qué X{displaystyle X} es clopen, comienza recordando que los sets X{displaystyle X} y ∅ ∅ {displaystyle varnothing } son, por definición, subconjuntos siempre abiertos (de X{displaystyle X}). También por definición, un subconjunto S{displaystyle S. se llama cerrado si (y sólo si) su complemento en X,{displaystyle X. que es el conjunto X∖ ∖ S,{displaystyle Xsetminus S,} es un subconjunto abierto. Porque el complemento (en) X{displaystyle X}) de todo el conjunto S:=X{displaystyle S:=X} es el conjunto vacío (es decir, X∖ ∖ S=∅ ∅ {displaystyle Xsetminus S=varnothing }), que es un subconjunto abierto, esto significa que S=X{displaystyle S=X} es un subconjunto cerrado X{displaystyle X} (por definición de "subconjunto cerrado"). Por lo tanto, no importa en qué topología se coloca X,{displaystyle X. todo el espacio X{displaystyle X} es simultáneamente un subconjunto abierto y también un subconjunto cerrado X{displaystyle X}; dicho diferente, X{displaystyle X} es siempre a clopen subset of X.{displaystyle X.} Porque el complemento del set vacío es X∖ ∖ ∅ ∅ =X,{displaystyle Xsetminus varnothing =X,} que es un subconjunto abierto, el mismo razonamiento se puede utilizar para concluir que S:=∅ ∅ {displaystyle S:=varnothing } es también un subconjunto de clopen X.{displaystyle X.}

Considere la línea real R{displaystyle mathbb {R} dotada de su topología Euclideana habitual, cuyos conjuntos abiertos se definen de la siguiente manera: cada intervalo ()a,b){displaystyle (a,b)} de números reales pertenece a la topología, cada unión de tales intervalos, por ejemplo. ()a,b)∪ ∪ ()c,d),{displaystyle (a,b)cup (c,d),} pertenece a la topología, y como siempre, ambos R{displaystyle mathbb {R} y ∅ ∅ {displaystyle varnothing } pertenecen a la topología.

• El intervalo I=()0,1){displaystyle I=(0,1)} está abierto R{displaystyle mathbb {R} porque pertenece a la topología Euclideana. Si I{displaystyle Yo... era tener un complemento abierto, significaría por definición que I{displaystyle Yo... estaban cerrados. Pero... I{displaystyle Yo... no tiene un complemento abierto; su complemento es R∖ ∖ I=()− − JUEGO JUEGO ,0]∪ ∪ [1,JUEGO JUEGO ),{displaystyle mathbb {R} setminus I=(-infty0]cup [1,infty),} que hace no pertenece a la topología Euclideana ya que no es una unión de intervalos abiertos de la forma ()a,b).{displaystyle (a,b). } Por lo tanto, I{displaystyle Yo... es un ejemplo de un conjunto que está abierto pero no cerrado.
• Por un argumento similar, el intervalo J=[0,1]{displaystyle J=[0,1]} es un subconjunto cerrado pero no un subconjunto abierto.
• Finalmente, ya que ninguno K=[0,1){displaystyle K=[0,1)} ni su complemento R∖ ∖ K=()− − JUEGO JUEGO ,0)∪ ∪ [1,JUEGO JUEGO ){displaystyle mathbb {R} setminus K=(-infty0)cup [1,infty)} pertenece a la topología Euclideana (porque no se puede escribir como unión de intervalos de la forma ()a,b){displaystyle (a,b)}), esto significa que K{displaystyle K} no está abierto ni cerrado.

Si un espacio topológico X{displaystyle X} está dotado con la topología discreta (para que por definición, cada subconjunto de X{displaystyle X} está abierto) entonces cada subconjunto de X{displaystyle X} es un subconjunto de clopen. Para un ejemplo más avanzado reminiscencia de la topología discreta, supongamos que U{displaystyle {fnMithcal}} es un ultrafiltro en un conjunto no vacío X.{displaystyle X.} Entonces el sindicato τ τ :=U∪ ∪ {}∅ ∅ }{displaystyle tau:={mathcal {U}cup {varnothing} es una topología en X{displaystyle X} con la propiedad que cada uno subconjunto adecuado no vacío S{displaystyle S. de X{displaystyle X} es o un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado, pero nunca ambos; es decir, si ∅ ∅ ل ل S⊊ ⊊ X{displaystyle varnothing neq Ssubsetneq X} (donde) Sل ل X{displaystyle Sneq X}entonces exactamente uno de las dos declaraciones siguientes es cierto: S▪ ▪ τ τ {displaystyle Sin tau } o si no, 2) X∖ ∖ S▪ ▪ τ τ .{displaystyle Xsetminus Sin tau.} Dicho de otra manera, cada uno subconjunto está abierto o cerrado pero sólo subsets that are both (i.e. that are clopen) are ∅ ∅ {displaystyle varnothing } y X.{displaystyle X.}

Conjuntos abiertos regulares

Un subconjunto S{displaystyle S. de un espacio topológico X{displaystyle X} se llama conjunto abierto regular si Int⁡ ⁡ ()S̄ ̄ )=S{displaystyle operatorname {Int} left({overline {S}right)=S} o equivalente, si Bd⁡ ⁡ ()S̄ ̄ )=Bd⁡ ⁡ S,{displaystyle operatorname {Bd} left({overline {S}right)=operatorname S... Donde Bd⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {Bd} S} (Resp. Int⁡ ⁡ S,{displaystyle operatorname S, S̄ ̄ {displaystyle {bis}}}) denota el límite topológico (resp. interior, cierre) de S{displaystyle S. dentro X.{displaystyle X.} Un espacio topológico para el cual existe una base consistente en conjuntos abiertos regulares se llama un espacio semiregular. Un subconjunto de X{displaystyle X} es un conjunto abierto regular si y sólo si su complemento en X{displaystyle X} es un conjunto cerrado regular, donde por definición un subconjunto S{displaystyle S. de X{displaystyle X} se llama Conjunto cerrado ordinario si Int⁡ ⁡ S̄ ̄ =S{displaystyle {overline {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {Int} s}=S} o equivalente, si Bd⁡ ⁡ ()Int⁡ ⁡ S)=Bd⁡ ⁡ S.{displaystyle operatorname {Bd} left(operatorname {Int} Sright)=nombre del operador S. Cada conjunto abierto regular (conjunto cerrado regular) es un subconjunto abierto (resp. es un subconjunto cerrado) aunque en general, los conversos son no Cierto.

Propiedades

La unión de cualquier número de conjuntos abiertos, o infinitos conjuntos abiertos, es abierta. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta.

Un complemento de un conjunto abierto (relativo al espacio en el que se define la topología) se denomina conjunto cerrado. Un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado (un conjunto cerrado). El conjunto vacío y el espacio lleno son ejemplos de conjuntos abiertos y cerrados.

Usos

Los conjuntos abiertos tienen una importancia fundamental en la topología. Se requiere el concepto para definir y dar sentido al espacio topológico y otras estructuras topológicas que se ocupan de las nociones de cercanía y convergencia para espacios tales como espacios métricos y espacios uniformes.

Cada subconjunto A de un espacio topológico X contiene un conjunto abierto (posiblemente vacío); el máximo (ordenado bajo inclusión) de dicho conjunto abierto se denomina interior de A. Se puede construir tomando la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A.

Una función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. entre dos espacios topológicos X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. es continuo si el preimage de cada conjunto abierto en Y{displaystyle Sí. está abierto X.{displaystyle X.}La función f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. se llama abierto si la imagen de cada conjunto abierto en X{displaystyle X} está abierto Y.{displaystyle Sí.

Un conjunto abierto sobre la recta real tiene la propiedad característica de que es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.

Notas y precauciones

"Abrir" se define en relación con una topología particular

Si un conjunto está abierto depende de la topología bajo consideración. Habiendo optado por una mayor brevedad sobre mayor claridad, nos referimos a un conjunto X dotado de una topología τ τ {displaystyle tau } como "el espacio topológico X"en lugar de "el espacio topológico ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)}", a pesar de que todos los datos topológicos están contenidos en τ τ .{displaystyle tau.} Si hay dos topologías en el mismo set, un conjunto U que está abierto en la primera topología podría no estar abierto en la segunda topología. Por ejemplo, si X es cualquier espacio topológico y Y es cualquier subconjunto de X, el conjunto Y se puede dar su propia topología (llamado la 'topología subespacial') definida por "un conjunto U está abierto en la topología subespacial Y si U es la intersección de Y con un conjunto abierto de la topología original en X." Esto potencialmente introduce nuevos conjuntos abiertos: si V está abierto en la topología original en X, pero V∩ ∩ Y{displaystyle Vcap Y} no está abierto en la topología original en X, entonces V∩ ∩ Y{displaystyle Vcap Y} está abierto en la topología subespacial Y.

Como ejemplo concreto de esto, si U se define como el conjunto de números racionales en el intervalo ()0,1),{displaystyle (0,1),} entonces U es un subconjunto abierto de los números racionales, pero no de los números reales. Esto es porque cuando el espacio circundante es el número racional, para cada punto x dentro U, existe un número positivo a tal que todo racional puntos a distancia a de x también están U. Por otro lado, cuando el espacio circundante es el real, entonces por cada punto x dentro U hay no positivo a tal que todo real puntos a distancia a de x están dentro U (porque U no contiene números no racionales).

Generalizaciones de conjuntos abiertos

A lo largo de todo, ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} será un espacio topológico.

Un subconjunto A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} de un espacio topológico X{displaystyle X} se llama:

• α-open si A⊆ ⊆ intX⁡ ⁡ ()clX⁡ ⁡ ()intX⁡ ⁡ A)){displaystyle A~subseteq ~operatorname {int} _{X}left(operatorname) {cl} _{X}left(operatorname {int} _{X}Aright)}, y el complemento de tal conjunto se llama α-clorado.
• preopen, casi abierto, o localmente denso si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. A⊆ ⊆ intX⁡ ⁡ ()clX⁡ ⁡ A).{displaystyle A~subseteq ~operatorname {int} _{X}left(operatorname {cl} _{X}Aright). }
  2. Existen subconjuntos D,U⊆ ⊆ X{displaystyle D,Usubseteq X} tales que U{displaystyle U} está abierto X,{displaystyle X. D{displaystyle D} es un subconjunto denso X,{displaystyle X. y A=U∩ ∩ D.{displaystyle A=Ucap D.}
  3. Existe un abierto (en X{displaystyle X}Subconjunto U⊆ ⊆ X{displaystyle Usubseteq X} tales que A{displaystyle A} es un subconjunto denso U.{displaystyle U.}

  El complemento de un conjunto preabierto se llama incluido.

• b-abierto si A⊆ ⊆ intX⁡ ⁡ ()clX⁡ ⁡ A)∪ ∪ clX⁡ ⁡ ()intX⁡ ⁡ A){displaystyle A~subseteq ~operatorname {int} _{X}left(operatorname) {cl} ¿Por qué?. El complemento de un conjunto b-abierto se llama b.
• β-abierto o semi-preopen si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. A⊆ ⊆ clX⁡ ⁡ ()intX⁡ ⁡ ()clX⁡ ⁡ A)){displaystyle A~subseteq ~operatorname {cl} _{X}left(operatorname {int} _{X}left(operatorname {cl} _{X}Aright)}}
  2. clX⁡ ⁡ A{displaystyle operatorname {cl} _{X}A} es un subconjunto cerrado regular de X.{displaystyle X.}
  3. Existe un subconjunto preabierto U{displaystyle U} de X{displaystyle X} tales que U⊆ ⊆ A⊆ ⊆ clX⁡ ⁡ U.{displaystyle Usubseteq Asubseteq operatorname {cl} -U.

  El complemento de un conjunto β-abierto se llama β-cerrado.

• secuencialmente abierto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. Cada vez que una secuencia X{displaystyle X} convergen a algún punto A,{displaystyle A,} entonces esa secuencia finalmente está en A.{displaystyle A.} Explícitamente, esto significa que si x∙ ∙ =()xi)i=1JUEGO JUEGO {displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{i=1}^{infty } es una secuencia en X{displaystyle X} y si existe algo a▪ ▪ A{displaystyle ain A} es tal que x∙ ∙ → → x{displaystyle x_{bullet }to x} dentro ()X,τ τ ),{displaystyle (X,tau),} entonces x∙ ∙ {displaystyle x_{bullet}} eventualmente A{displaystyle A} (es decir, hay un número entero i{displaystyle i} tal si j≥ ≥ i,{displaystyle jgeq i,} entonces xj▪ ▪ A{displaystyle x_{j}in A}).
  2. A{displaystyle A} es igual a su interior secuencial dentro X,{displaystyle X. que por definición es el conjunto

     SeqIntX⁡ ⁡ A:={}a▪ ▪ A:cuando una secuenciaXconvergencias aadentro()X,τ τ ),entonces esa secuencia finalmente está enA}={}a▪ ▪ A:no existe una secuencia enX∖ ∖ Aque converge en()X,τ τ )a un punto enA}{displaystyle {begin{alignedat}{4}operatorname {SeqInt} _{X}A: A~:~{text{ siempre que una secuencia en }}X{text{ converge to }a{text{ in }(X,tau),{text{ entonces esa secuencia es eventualmente en }A}\\\\={ain] A~:~{text{ there does NO exist a sequence in }Xsetminus A{text{ that converge in }(X,tau){text{ to a point in }A}end{alignedat}}

  El complemento de un conjunto secuencialmente abierto se llama cerrado secuencialmente. Un subconjunto S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} está cerrado secuencialmente X{displaystyle X} si S{displaystyle S. es igual a su cierre secuencial, que por definición es el conjunto SeqClX⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {SeqCl} _{X}S} que consiste en todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X} para el cual existe una secuencia S{displaystyle S. que converge en x{displaystyle x} (en X{displaystyle X}).

• casi abierto y se dice que propiedad Baire si existe un subconjunto abierto U⊆ ⊆ X{displaystyle Usubseteq X} tales que A  U{displaystyle Abigtriángulo U} es un subset meager, donde   {displaystyle bigtriangleup} denota la diferencia simétrica.
  • El subconjunto A⊆ ⊆ X{displaystyle Asubseteq X} se dice que propiedad de Baire en el sentido restringido si por cada subconjunto E{displaystyle E} de X{displaystyle X} la intersección A∩ ∩ E{displaystyle Acap E} tiene la propiedad de Baire relativa a E{displaystyle E}.
• semiabierto si A⊆ ⊆ clX⁡ ⁡ ()intX⁡ ⁡ A){displaystyle A~subseteq ~operatorname {cl} _{X}left(operatorname {int} _{X}Aright)}. El complemento en X{displaystyle X} de un conjunto semi-abierto se llama semicerradas set.
  • El semiclosure (en X{displaystyle X}) de un subconjunto A⊆ ⊆ X,{displaystyle Asubseteq X,} denotado por sClX⁡ ⁡ A,{displaystyle operatorname ¿Qué? es la intersección de todos los subconjuntos semicerrados de X{displaystyle X} que contienen A{displaystyle A} como subconjunto.
• semi-θ-open si para cada x▪ ▪ A{displaystyle xin A} existe un subconjunto semipenal U{displaystyle U} de X{displaystyle X} tales que x▪ ▪ U⊆ ⊆ sClX⁡ ⁡ U⊆ ⊆ A.{displaystyle xin Usubseteq operatorname {Cl} -U-subseteq A.
• θ-open (Resp. δ-open) si su complemento en X{displaystyle X} es un θ-closed (resp. δ-closed) set, where by definition, a subset of X{displaystyle X} se llama θ-closed (Resp. δ-closed) si es igual al conjunto de todos sus puntos θ-cluster (resp. δ-cluster puntos). Un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} se llama θ-cluster point (resp. a δ-cluster point) de un subconjunto B⊆ ⊆ X{displaystyle Bsubseteq X} si por cada barrio abierto U{displaystyle U} de x{displaystyle x} dentro X,{displaystyle X. la intersección B∩ ∩ clX⁡ ⁡ U{displaystyle Bcap operatorname {cl} _{X}U} no está vacío (resp. B∩ ∩ intX⁡ ⁡ ()clX⁡ ⁡ U){displaystyle Bcap operatorname {int} _{X}left(operatorname {cl} ¿Qué? no está vacío).

Utilizando el hecho de que

A⊆ ⊆ clX⁡ ⁡ A⊆ ⊆ clX⁡ ⁡ B{displaystyle A~subseteq ~operatorname {cl} - ¿Qué? ¿Qué? y intX⁡ ⁡ A⊆ ⊆ intX⁡ ⁡ B⊆ ⊆ B{displaystyle operatorname {int} - ¿Qué? - ¿Qué? ~B}

cuando dos subconjuntos A,B⊆ ⊆ X{displaystyle A,Bsubseteq X} satisfacer satisfacción A⊆ ⊆ B,{displaystyle Asubseteq B,} se puede deducir lo siguiente:

• Cada subconjunto α-abierto es semi-abierto, semi-preopen, preabierto y b-abierto.
• Cada conjunto b-abierto es semi-preopen (es decir, β-abierto).
• Cada preabierto es b-abierto y semi-preopen.
• Cada conjunto semiabierto es b-abierto y semi-preopen.

Además, un subconjunto es un conjunto abierto regular si y solo si es preabierto y semicerrado. La intersección de un conjunto α-abierto y un conjunto semipreabierto (resp. semiabierto, preabierto, b-abierto) es un conjunto semipreabierto (resp. semiabierto, preabierto, b-abierto). Los conjuntos preabiertos no necesitan ser semiabiertos y los conjuntos semiabiertos no necesitan ser preabiertos.

Las uniones arbitrarias de preabiertos (resp. α-abierto, b-abierto, semi-preopen) son una vez más preabiertos (resp. α-abierto, b-abierto, semi-preopen). Sin embargo, las intersecciones finitas de conjuntos preabiertos no necesitan ser preabiertas. El conjunto de todos los subconjuntos α-abiertos de un espacio ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} formas una topología en X{displaystyle X} que es más fino que τ τ .{displaystyle tau.}

Un espacio topológico X{displaystyle X} es Hausdorff si y sólo si cada subespacio compacto X{displaystyle X} Está cerrado. Un espacio X{displaystyle X} está totalmente desconectado si y sólo si cada subconjunto cerrado regular es preabierto o equivalente, si cada subconjunto semiabierto es preabierto. Además, el espacio está totalmente desconectado si y sólo si el cierre de cada subconjunto preabierto está abierto.