Conjugado isogonal

En geometría, el conjugado isogonal de un punto P con respecto a un triángulo △ABC se construye reflejando las líneas PA, PB, PC< /span> sobre las bisectrices de los ángulos de A, B, C respectivamente. Estas tres líneas reflejadas concurren en el conjugado isogonal de P. (Esta definición se aplica sólo a puntos que no están en una línea lateral del triángulo △ABC.) Este es un resultado directo de la forma trigonométrica de Ceva' teorema.

El conjugado isogonal de un punto P a veces se denota por P*. El conjugado isogonal de P* es P .

El conjugado isogonal del incentro I es él mismo. El conjugado isogonal del ortocentro H es el circuncentro O. El conjugado isogonal del centroide G es (por definición) el punto simediano K. Los conjugados isogonales de los puntos de Fermat son los puntos isodinámicos y viceversa. Los puntos de Brocard son conjugados isogonales entre sí.

En coordenadas trilineales, si ${\displaystyle X=x:y:z}$ es un punto no en una línea lateral del triángulo ABC, entonces su conjugado isogonal es ${\displaystyle {\tfrac}{x}}{\tfrac {1}{y}:{\tfrac {1}{z}.}$ Por esta razón, el conjugado isogonal de X a veces se denota X ^–1. El set S de centros triángulos bajo el producto trilineal, definido por

${\displaystyle (p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,}$

es un grupo conmutativo y el inverso de cada X en S es X ^–1.

Como la conjugación isogonal es una función, tiene sentido hablar del conjugado isogonal de conjuntos de puntos, como líneas y círculos. Por ejemplo, el conjugado isogonal de una recta es circuncónico; específicamente, una elipse, parábola o hipérbola según que la línea corte al círculo circunstante en 0, 1 o 2 puntos. El conjugado isogonal del círculo circunstante es la recta en el infinito. Varias cúbicas conocidas (por ejemplo, la cúbica de Thompson, la cúbica de Darboux y la cúbica de Neuberg) son conjugadas autoisogonales, en el sentido de que si X< /span> está en el cúbico, entonces X ^–1 también está en el cúbico.

Otra construcción para el conjugado isogonal de un punto

Para un punto dado P en el plano del triángulo △ABC, deja las reflexiones de P al margen BC, CA, AB ser P_a, P_b, P_c. Entonces el centro del círculo 〇P_aP_bP_c< /span> es el conjugado isogonal de P.