Conjetura débil de Goldbach

En teoría de números, la conjetura débil de Goldbach, también conocida como la conjetura impar de Goldbach, el problema ternario de Goldbach, o el problema de los 3 primos, establece que

Cada número impar superior a 5 se puede expresar como la suma de tres primos. (Una prima puede usarse más de una vez en la misma suma.)

Esta conjetura se llama "débil" porque si se prueba la conjetura fuerte de Goldbach (sobre la suma de dos números primos), entonces esto también sería cierto. Porque si todo número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, sumar 3 a cada número par mayor que 4 producirá los números impares mayores que 7 (y el mismo 7 es igual a 2+2+3).

En 2013, Harald Helfgott publicó una prueba de la conjetura débil de Goldbach. A partir de 2018, la prueba es ampliamente aceptada en la comunidad matemática, pero aún no se ha publicado en una revista revisada por pares. La prueba fue aceptada para su publicación en la serie Annals of Mathematics Studies en 2015, y ha estado en revisión y revisión desde entonces; En el proceso, se están haciendo públicos capítulos totalmente arbitrados en forma casi final.

Algunos establecen la conjetura como

Cada número impar superior a 7 se puede expresar como la suma de tres primas impares.

Esta versión excluye 7 = 2+2+3 porque requiere el par primo 2. En números impares mayores que 7 es un poco más fuerte ya que también excluye sumas como 17 = 2+2+13, que están permitidas en el otra formulación. La prueba de Helfgott cubre ambas versiones de la conjetura. Al igual que la otra formulación, esta también se sigue inmediatamente de la fuerte conjetura de Goldbach.

Orígenes

La conjetura se originó en la correspondencia entre Christian Goldbach y Leonhard Euler. Una formulación de la conjetura fuerte de Goldbach, equivalente a la más común en términos de sumas de dos números primos, es

Cada entero mayor de 5 puede ser escrito como la suma de tres primos.

La conjetura débil es simplemente esta declaración restringida al caso donde el número entero es impar (y posiblemente con el requisito adicional de que los tres números primos en la suma sean impares).

Cronología de resultados

En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que, asumiendo la hipótesis generalizada de Riemann, la débil conjetura de Goldbach es verdadera para todos los números impares suficientemente grandes. En 1937, Ivan Matveevich Vinogradov eliminó la dependencia de la hipótesis generalizada de Riemann y demostró directamente (ver el teorema de Vinogradov) que todos los números impares suficientemente grandes se pueden expresar como la suma de tres primos. La prueba original de Vinogradov, ya que usaba el teorema ineficaz Siegel-Walfisz, no daba un límite para "suficientemente grande"; su estudiante K. Borozdkin (1956) derivaba que ee16.038.. 3315{displaystyle E^{e^{16.038}approx 3^{3^{15}} es lo suficientemente grande. La parte entero de este número tiene 4,008,660 dígitos decimales, por lo que comprobar cada número bajo esta figura sería completamente infeible.

En 1997, Deshouillers, Effinger, te Riele y Zinoviev publicaron un resultado que mostraba que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach para todos los números. Este resultado combina una afirmación general válida para números mayores de 10²⁰ con una búsqueda informática exhaustiva de los casos pequeños. Saouter también realizó una búsqueda informática que cubría los mismos casos aproximadamente al mismo tiempo.

Olivier Ramaré en 1995 demostró que todo número par n ≥ 4 es de hecho la suma de como máximo seis números primos, de lo que se sigue que todo número impar n ≥ 5 es la suma de como mucho siete números primos. Leszek Kaniecki demostró que todo número impar es una suma de cinco números primos como máximo, según la hipótesis de Riemann. En 2012, Terence Tao demostró esto sin la hipótesis de Riemann; esto mejora ambos resultados.

En 2002, Liu Ming-Chit (Universidad de Hong Kong) y Wang Tian-Ze bajaron el umbral de Borozdkin a aproximadamente e^{3100}approx 2times 10^{1346}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■e3100.. 2× × 101346{displaystyle n títuloe^{3100}approx 2times 10^{1346}e^{3100}approx 2 times 10^{1346}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade8145ff2e78ae99ccdcbdc87394df3ed531437" style="vertical-align: -0.338ex; width:22.043ex; height:2.676ex;"/>. El exponente es todavía demasiado grande para admitir comprobar todos los números más pequeños por computadora. (Las búsquedas de ordenador sólo han llegado hasta 10¹⁸ para la fuerte conjetura de Goldbach, y no mucho más que eso para la débil conjetura de Goldbach.)

En 2012 y 2013, el matemático peruano Harald Helfgott publicó un par de documentos que mejoran las principales y menores estimaciones de arco lo suficientemente para demostrar incondicionalmente la débil conjetura de Goldbach. Aquí, los arcos principales M{\displaystyle {\fnK}} es la unión de intervalos ()a/q− − cr0/qx,a/q+cr0/qx){displaystyle left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qxright)} alrededor de los racionales <math alttext="{displaystyle a/q,qa/q,q.r0{fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="a/q,q Donde c{displaystyle c} es una constante. Arcos menores m{displaystyle {m} se definen como m=()R/Z)∖ ∖ M{displaystyle {mathfrak}=(mathbb {R} /mathbb {Z})setminus {mathfrak {M}}}.