Conjetura de Pólya
En teoría de números, la conjetura de Pólya (o conjetura de Pólya) afirmaba que la "mayoría" (es decir, el 50% o más) de los números naturales menores que cualquier número dado tienen un número "impar" de factores primos. La conjetura fue propuesta por el matemático húngaro George Pólya en 1919, y C. Brian Haselgrove demostró que era falsa en 1958. Aunque los matemáticos suelen referirse a esta afirmación como la conjetura de Pólya, Pólya nunca llegó a conjeturar que la afirmación fuera verdadera; en cambio, demostró que la verdad de la afirmación implicaría la hipótesis de Riemann. Por este motivo, se la denomina con más precisión "problema de Pólya".
El tamaño del contraejemplo más pequeño se utiliza a menudo para demostrar el hecho de que una conjetura puede ser cierta en muchos casos y aun así no ser válida en general, lo que proporciona una ilustración de la ley fuerte de los números pequeños.
Estado
La conjetura de Pólya establece que para cualquier n > 1, si los números naturales menores o iguales a n (excluyendo 0) se dividen en aquellos con un número impar de factores primos y aquellos con un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene al menos tantos miembros como el segundo. Los factores primos repetidos se cuentan repetidamente; por ejemplo, decimos que 18 = 2 × 3 × 3 tiene un número impar de factores primos, mientras que 60 = 2 × 2 × 3 × 5 tiene un número par de factores primos.
De manera equivalente, se puede expresar en términos de la función sumatoria de Liouville, con la conjetura de que
para todo n > 1. Aquí, λ(k) = (−1)Ω(k) es positivo si el número de factores primos del entero k es par, y es negativo si es impar. La función Omega grande cuenta el número total de factores primos de un entero.
A prueba
La conjetura de Pólya fue refutada por C. Brian Haselgrove en 1958. Demostró que la conjetura tiene un contraejemplo, que estimó en alrededor de 1,845 × 10361.
Un contraejemplo explícito (mucho más pequeño), de n = 906.180.359, fue dado por R. Sherman Lehman en 1960; el contraejemplo más pequeño es n = 906.150.257, hallado por Minoru Tanaka en 1980.
La conjetura no se cumple para la mayoría de los valores de n en la región de 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. En esta región, la función sumatoria de Liouville alcanza un valor máximo de 829 en n = 906.316.571.
Referencias
- ^ Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán). 28: 31–40 JFM 47.0882.06.
- ^ Stein, Sherman K. (2010). Matemáticas: El Universo Man-Made. Courier Dover Publications. p. 483. ISBN 9780486404509..
- ^ Haselgrove, C. B. (1958). "Un desmembramiento de una conjetura de Pólya". Mathematika. 5 (2): 141–145. doi:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. MR 0104638. Zbl 0085.27102.
- ^ Lehman, R. S. (1960). "Sobre la función de Liouville". Matemáticas de la computación. 14 (72): 311-320. doi:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5. JSTOR 2003890. MR 0120198.
- ^ Tanaka, M. (1980). "A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function". Tokyo Journal of Mathematics. 3 (1): 187–189. doi:10.3836/tjm/1270216093MR 0584557.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Pólya Conjecture". MathWorld.