Conjetura de poincaré

En el campo matemático de la topología geométrica, la conjetura de Poincaré (, francés: [pwɛ̃kaʁe]) es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera, que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en un espacio de cuatro dimensiones.

Originalmente conjeturado por Henri Poincaré en 1904, el teorema de Grigori Perelman se refiere a espacios que localmente parecen espacios tridimensionales ordinarios pero que tienen una extensión finita. Poincaré planteó la hipótesis de que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio se puede apretar continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Los intentos de resolver la conjetura impulsaron un gran progreso en el campo de la topología geométrica durante el siglo XX.

La prueba de Perelman se basó en las ideas de Richard S. Hamilton de usar el flujo de Ricci para resolver el problema. Mediante el desarrollo de una serie de nuevas técnicas y resultados revolucionarios en la teoría del flujo de Ricci, Grigori Perelman pudo probar la conjetura y algo más que la conjetura. En documentos publicados en el repositorio arXiv en 2002 y 2003, Perelman presentó su trabajo que prueba la conjetura de Poincaré (y la conjetura de geometrización más poderosa de William Thurston). Durante los siguientes años, varios matemáticos estudiaron sus artículos y produjeron formulaciones detalladas de su trabajo.

El trabajo de Hamilton y Perelman sobre la conjetura es ampliamente reconocido como un hito de la investigación matemática. Hamilton fue reconocido con el Premio Shaw y el Premio Leroy P. Steele por Contribución Seminal a la Investigación. La revista Science marcó la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré como el Avance científico del año en 2006. El Clay Mathematics Institute, después de haber incluido la conjetura de Poincaré en su conocida lista de Problemas del Premio del Milenio, ofreció a Perelman su premio de US$1 millón por la resolución de la conjetura. Rechazó el premio, diciendo modestamente que la contribución de Hamilton había sido igual a la suya.

Historia

Ninguno de los dos lazos de colores en este toro puede ser continuamente ajustado a un punto. Un toro no es homeomórfico a una esfera.

La pregunta de Poincaré

Henri Poincaré estaba trabajando en los fundamentos de la topología, lo que más tarde se llamaría topología combinatoria y luego topología algebraica. Estaba particularmente interesado en qué propiedades topológicas caracterizaban una esfera.

Poincaré afirmó en 1900 que la homología, una herramienta que había ideado basándose en el trabajo anterior de Enrico Betti, era suficiente para saber si una variedad de 3 era una esfera de 3. Sin embargo, en un artículo de 1904, describió un contraejemplo a esta afirmación, un espacio ahora llamado esfera de homología de Poincaré. La esfera de Poincaré fue el primer ejemplo de una esfera de homología, una variedad que tenía la misma homología que una esfera, de la cual se han construido muchas otras desde entonces. Para establecer que la esfera de Poincaré era diferente de la de 3 esferas, Poincaré introdujo una nueva invariante topológica, el grupo fundamental, y mostró que la esfera de Poincaré tenía un grupo fundamental de orden 120, mientras que la de 3 esferas tenía un grupo fundamental trivial. De esta manera, pudo concluir que estos dos espacios eran, efectivamente, diferentes.

En el mismo artículo, Poincaré se preguntaba si una 3-variedad con la homología de una 3-esfera y también un grupo fundamental trivial tenía que ser una 3-esfera. La nueva condición de Poincaré, es decir, 'grupo fundamental trivial', puede reformularse como 'cada bucle puede reducirse a un punto'.

La redacción original era la siguiente:

Considere un manifold 3-dimensional compacto V sin límites. ¿Es posible que el grupo fundamental de V pueda ser trivial, a pesar de que V no es homeomórfico a la esfera tridimensional?

Poincaré nunca declaró si creía que esta condición adicional caracterizaría a las 3 esferas, pero sin embargo, la declaración que lo hace se conoce como la conjetura de Poincaré. Aquí está la forma estándar de la conjetura:

Cada sencillamente conectado, cerrado 3-manipple es homeomorfo al 3-sphere.

Tenga en cuenta que "cerrado" aquí significa, como es costumbre en esta área, la condición de ser compacto en términos de topología de conjuntos, y también sin límite (el espacio euclidiano tridimensional es un ejemplo de una variedad tridimensional simplemente conectada no homeomorfa a la esfera tridimensional; pero no es compacto y por lo tanto no es un contraejemplo).

Soluciones

En la década de 1930, J. H. C. Whitehead afirmó una prueba pero luego la retractó. En el proceso, descubrió algunos ejemplos de simple conexión (indeed contractible, es decir, homotópicamente equivalente a un punto) no-compacto 3-manifolds no homeomorphic to ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$, el prototipo de que ahora se llama el múltiple Whitehead.

En las décadas de 1950 y 1960, otros matemáticos intentaron probar la conjetura solo para descubrir que contenía fallas. Matemáticos influyentes como Georges de Rham, R. H. Bing, Wolfgang Haken, Edwin E. Moise y Christos Papakyriakopoulos intentaron probar la conjetura. En 1958, Bing demostró una versión débil de la conjetura de Poincaré: si cada curva cerrada simple de una variedad compacta de 3 está contenida en una bola de 3, entonces la variedad es homeomorfa a la esfera de 3. Bing también describió algunas de las trampas al tratar de probar la conjetura de Poincaré.

Włodzimierz Jakobsche demostró en 1978 que, si la conjetura de Bing-Borsuk es cierta en la dimensión 3, entonces la conjetura de Poincaré también debe ser cierta.

Con el tiempo, la conjetura se ganó la reputación de ser particularmente difícil de abordar. John Milnor comentó que a veces los errores en las pruebas falsas pueden ser "bastante sutiles y difíciles de detectar". El trabajo en la conjetura mejoró la comprensión de las 3 variedades. Los expertos en el campo a menudo se mostraban reacios a anunciar pruebas y tendían a ver cualquier anuncio de este tipo con escepticismo. Las décadas de 1980 y 1990 fueron testigos de algunas pruebas falaces muy publicitadas (que en realidad no se publicaron en forma de revisión por pares).

Se puede encontrar una exposición de los intentos de probar esta conjetura en el libro no técnico Poincaré's Prize de George Szpiro.

Dimensiones

La clasificación de superficies cerradas da una respuesta afirmativa a la pregunta análoga en dos dimensiones. Para dimensiones superiores a tres, se puede plantear la conjetura generalizada de Poincaré: ¿es una homotopía n-esfera homeomorfa a la n-esfera? Es necesaria una suposición más fuerte; en las dimensiones cuatro y superiores hay variedades cerradas simplemente conectadas que no son equivalentes homotópicos a una esfera n.

Históricamente, mientras que la conjetura en la dimensión tres parecía plausible, se pensaba que la conjetura generalizada era falsa. En 1961, Stephen Smale sorprendió a los matemáticos al demostrar la conjetura generalizada de Poincaré para dimensiones mayores de cuatro y amplió sus técnicas para demostrar el teorema fundamental del h-cobordismo. En 1982, Michael Freedman demostró la conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones. El trabajo de Freedman dejó abierta la posibilidad de que haya una homeomorfa cuádruple uniforme a la cuatro esfera que no sea difeomorfa a la cuatro esfera. Esta llamada conjetura suave de Poincaré, en dimensión cuatro, permanece abierta y se cree que es muy difícil. Las esferas exóticas de Milnor muestran que la suave conjetura de Poincaré es falsa en la dimensión siete, por ejemplo.

Estos éxitos anteriores en dimensiones superiores dejaron el caso de las tres dimensiones en el limbo. La conjetura de Poincaré era esencialmente cierta tanto en la dimensión cuatro como en todas las dimensiones superiores por razones sustancialmente diferentes. En la dimensión tres, la conjetura tenía una reputación incierta hasta que la conjetura de geometrización la colocó en un marco que rige todas las 3 variedades. Juan Morgan escribió:

Es mi opinión que antes del trabajo de Thurston en hiperbólicos 3-manifolds y... la conjetura de Geometrización no hubo consenso entre los expertos en cuanto a si la conjetura Poincaré era verdadera o falsa. Después de la labor de Thurston, a pesar de que no tenía ninguna relación directa con la conjetura Poincaré, un consenso desarrolló que la conjetura Poincaré (y la conjetura de Geometrización) eran verdaderas.

Programa y solución de Hamilton

Varias etapas del flujo Ricci en un manifold bidimensional

El programa de Hamilton se inició en su artículo de 1982 en el que presentó el flujo de Ricci en una variedad y mostró cómo usarlo para probar algunos casos especiales de la conjetura de Poincaré. En los años siguientes, amplió este trabajo pero no pudo probar la conjetura. La solución real no se encontró hasta que Grigori Perelman publicó sus artículos.

A finales de 2002 y 2003, Perelman publicó tres artículos en arXiv. En estos documentos, esbozó una prueba de la conjetura de Poincaré y una conjetura más general, la conjetura de geometrización de Thurston, completando el programa de flujo de Ricci descrito anteriormente por Richard S. Hamilton.

De mayo a julio de 2006, varios grupos presentaron documentos que completaban los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, de la siguiente manera:

• Bruce Kleiner y John W. Lott publicaron un artículo sobre el arXiv en mayo de 2006 que llenó los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización, siguiendo versiones parciales que habían estado disponibles públicamente desde 2003. Su manuscrito fue publicado en la revista "Geometría y Topología" en 2008. En 2011 y 2013 se realizó un pequeño número de correcciones; por ejemplo, la primera versión de su documento publicado hizo uso de una versión incorrecta del teorema de compactación de Hamilton para el flujo de Ricci.
• Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu publicó un documento en la edición de junio de 2006 del Asian Journal of Mathematics con una exposición de la prueba completa de las conjeturas Poincaré y geometrización. El párrafo de apertura de su documento

En este artículo presentaremos la teoría Hamilton-Perelman del flujo de Ricci. Basándonos en ello, daremos la primera cuenta escrita de una prueba completa de la conjetura Poincaré y la conjetura de geometrización de Thurston. Mientras que el trabajo completo es un esfuerzo acumulado de muchos analistas geométricos, los principales contribuyentes son sin duda Hamilton y Perelman.

Algunos observadores interpretaron a Cao y Zhu como tomar crédito para el trabajo de Perelman. Posteriormente publicaron una versión revisada, con nueva redacción, en el arXiv. Además, una página de su exposición era esencialmente idéntica a una página en uno de los primeros borradores disponibles públicamente de Kleiner y Lott; esto también fue modificado en la versión revisada, junto con una disculpa por la junta editorial de la revista.

• John Morgan y Gang Tian publicaron un documento sobre el arXiv en julio de 2006 que dio una prueba detallada de la Conjetura Poincaré (que es algo más fácil que la conjetura total de geometrización) y expandió esto a un libro.

Los tres grupos descubrieron que las lagunas en los documentos de Perelman eran menores y podían llenarse con sus propias técnicas.

El 22 de agosto de 2006, el ICM otorgó a Perelman la Medalla Fields por su trabajo en el flujo de Ricci, pero Perelman rechazó la medalla. John Morgan habló en el ICM sobre la conjetura de Poincaré el 24 de agosto de 2006 y declaró que "en 2003, Perelman resolvió la conjetura de Poincaré".

En diciembre de 2006, la revista Science honró la prueba de la conjetura de Poincaré como el Avance del Año y la presentó en su portada.

Flujo de Ricci con cirugía

El programa de Hamilton para probar la conjetura de Poincaré consiste primero en poner una métrica de Riemann en la variedad triple cerrada simplemente conectada desconocida. La idea básica es tratar de "mejorar" esta métrica; por ejemplo, si la métrica se puede mejorar lo suficiente para que tenga una curvatura positiva constante, entonces, según los resultados clásicos de la geometría riemanniana, debe ser la de 3 esferas. Hamilton prescribió las "ecuaciones de flujo de Ricci" por mejorar la métrica;

${displaystyle partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}$

donde g es la métrica y R su curvatura de Ricci, y se espera que, a medida que aumenta el tiempo t, la variedad se vuelve más fácil comprender. El flujo de Ricci expande la parte de curvatura negativa del colector y contrae la parte de curvatura positiva.

En algunos casos, Hamilton pudo demostrar que esto funciona; por ejemplo, su avance original fue mostrar que si el manifold Riemanniano tiene curvatura Ricci positiva en todas partes, entonces el procedimiento anterior sólo puede ser seguido por un intervalo de valores de parámetro ligado, ${displaystyle tin [0,T]$ con ${displaystyle - No.$, y más significativamente, que hay números ${displaystyle c_{t}$ tales como ${displaystyle tnearrow T}$, la métrica Riemanniana ${displaystyle c_{t}g(t)}$ convergen suavemente a una de constante curvatura positiva. Según la geometría clásica de Riemann, el único manifold compacto simplemente conectado que puede soportar una métrica Riemanniana de constante curvatura positiva es la esfera. Así que, en efecto, Hamilton mostró un caso especial de la conjetura Poincaré: si un compacto simple-conectado 3-manifold soporta una métrica Riemanniana de curvatura Ricci positiva, entonces debe ser diffeomorfa a la 3-sphere.

Si, en cambio, uno solo tiene una métrica riemanniana arbitraria, las ecuaciones de flujo de Ricci deben conducir a singularidades más complicadas. El mayor logro de Perelman fue mostrar que, si uno toma una cierta perspectiva, si aparecen en un tiempo finito, estas singularidades solo pueden verse como esferas o cilindros que se encogen. Con una comprensión cuantitativa de este fenómeno, corta la variedad a lo largo de las singularidades, dividiendo la variedad en varias partes y luego continúa con el flujo de Ricci en cada una de estas partes. Este procedimiento se conoce como flujo de Ricci con cirugía.

Perelman proporcionó un argumento separado basado en el flujo de acortamiento de la curva para mostrar que, en una variedad compacta de 3 conexiones simples, cualquier solución del flujo de Ricci con cirugía se extingue en un tiempo finito. Tobias Colding y William Minicozzi proporcionaron un argumento alternativo, basado en la teoría min-max de superficies mínimas y la teoría de la medida geométrica. Por lo tanto, en el contexto de conexión simple, todo lo que es relevante es el fenómeno de tiempo finito del flujo de Ricci con la cirugía. De hecho, esto es cierto incluso si el grupo fundamental es un producto libre de grupos finitos y grupos cíclicos.

Esta condición sobre el grupo fundamental resulta necesaria y suficiente para la extinción en tiempo finito. Es equivalente a decir que la descomposición prima de la variedad no tiene componentes acíclicos y resulta ser equivalente a la condición de que todas las piezas geométricas de la variedad tengan geometrías basadas en las dos geometrías de Thurston S²×R y S³. En el contexto de que no se hace ninguna suposición sobre el grupo fundamental, Perelman realizó un estudio técnico adicional del límite de la variedad para tiempos infinitamente grandes y, al hacerlo, demostró la conjetura de geometrización de Thurston: en tiempos grandes, el variedad tiene una descomposición gruesa-delgada, cuya parte gruesa tiene una estructura hiperbólica, y cuya parte delgada es una variedad gráfica. Sin embargo, debido a los resultados de Perelman, Colding y Minicozzi, estos resultados adicionales son innecesarios para probar la conjetura de Poincaré.

Solución

Grigori Perelman

El 13 de noviembre de 2002, el matemático ruso Grigori Perelman publicó el primero de una serie de tres eprints en arXiv que describen una solución a la conjetura de Poincaré. La demostración de Perelman utiliza una versión modificada de un programa de flujo de Ricci desarrollado por Richard S. Hamilton. En agosto de 2006, Perelman recibió, pero rechazó, la Medalla Fields (con un valor de $ 15,000 CAD) por su trabajo en el flujo de Ricci. El 18 de marzo de 2010, el Clay Mathematics Institute otorgó a Perelman el Premio Millennium de $ 1 millón en reconocimiento a su demostración. Perelman también rechazó ese premio.

Perelman demostró la conjetura al deformar la variedad usando el flujo de Ricci (que se comporta de manera similar a la ecuación de calor que describe la difusión de calor a través de un objeto). El flujo de Ricci suele deformar la variedad hacia una forma más redonda, excepto en algunos casos en los que estira la variedad alejándola de sí misma hacia lo que se conoce como singularidades. Perelman y Hamilton luego cortan la variedad en las singularidades (un proceso llamado 'cirugía'), lo que hace que las piezas separadas se conviertan en bolas. Los pasos principales en la prueba implican mostrar cómo se comportan las variedades cuando son deformadas por el flujo de Ricci, examinar qué tipo de singularidades se desarrollan, determinar si este proceso de cirugía se puede completar y establecer que la cirugía no necesita repetirse infinitamente muchas veces.

El primer paso es deformar la variedad utilizando el flujo de Ricci. El flujo de Ricci fue definido por Richard S. Hamilton como una forma de deformar variedades. La fórmula del flujo de Ricci es una imitación de la ecuación del calor, que describe la forma en que fluye el calor en un sólido. Al igual que el flujo de calor, el flujo de Ricci tiende a un comportamiento uniforme. A diferencia del flujo de calor, el flujo de Ricci podría encontrarse con singularidades y dejar de funcionar. Una singularidad en una variedad es un lugar donde no es diferenciable: como una esquina, una cúspide o un pellizco. El flujo de Ricci solo se definió para variedades diferenciables suaves. Hamilton usó el flujo de Ricci para probar que algunas variedades compactas eran difeomorfas a las esferas, y esperaba aplicarlo para probar la conjetura de Poincaré. Necesitaba entender las singularidades.

Hamilton creó una lista de posibles singularidades que podrían formarse, pero le preocupaba que algunas singularidades pudieran generar dificultades. Quería cortar la variedad en las singularidades y pegar mayúsculas y luego volver a ejecutar el flujo de Ricci, por lo que necesitaba comprender las singularidades y demostrar que ciertos tipos de singularidades no ocurren. Perelman descubrió que las singularidades eran todas muy simples: esencialmente cilindros tridimensionales hechos de esferas estiradas a lo largo de una línea. Un cilindro ordinario se hace tomando círculos estirados a lo largo de una línea. Perelman demostró esto usando algo llamado "Volumen reducido" que está estrechamente relacionado con un valor propio de cierta ecuación elíptica.

A veces, una operación complicada se reduce a la multiplicación por un escalar (un número). Tales números se llaman valores propios de esa operación. Los valores propios están estrechamente relacionados con las frecuencias de vibración y se utilizan para analizar un problema famoso: ¿puedes oír la forma de un tambor? Esencialmente, un valor propio es como una nota tocada por la variedad. Perelman demostró que esta nota sube cuando la variedad se deforma por el flujo de Ricci. Esto lo ayudó a eliminar algunas de las singularidades más problemáticas que preocupaban a Hamilton, en particular la solución del solitón puro, que parecía una hebra que sobresalía de un colector sin nada al otro lado. En esencia, Perelman demostró que todas las hebras que se forman se pueden cortar y tapar y ninguna sobresale por un solo lado.

Al completar la prueba, Perelman toma cualquier variedad tridimensional compacta, simplemente conexa y sin límite y comienza a ejecutar el flujo de Ricci. Esto deforma el colector en piezas redondas con hebras que corren entre ellas. Corta los hilos y continúa deformando la variedad hasta que, finalmente, se queda con una colección de esferas tridimensionales redondas. Luego, reconstruye la variedad original conectando las esferas con cilindros tridimensionales, las transforma en una forma redonda y ve que, a pesar de toda la confusión inicial, la variedad era, de hecho, homeomorfa a una esfera.

Una pregunta inmediata que se planteó fue cómo se puede estar seguro de que no son necesarios infinitos cortes. Esto se planteó debido a que el corte podría progresar para siempre. Perelman demostró que esto no puede suceder usando superficies mínimas en el colector. Una superficie mínima es esencialmente una película de jabón. Hamilton había demostrado que el área de una superficie mínima disminuye a medida que la variedad experimenta el flujo de Ricci. Perelman verificó lo que sucedía con el área de la superficie mínima cuando se cortaba la variedad. Demostró que, finalmente, el área es tan pequeña que cualquier corte después del área es tan pequeño que solo puede cortar esferas tridimensionales y no piezas más complicadas. Sormani describe esto como una batalla con una hidra en el libro de Szpiro citado a continuación. Esta última parte de la prueba apareció en el tercer y último artículo de Perelman sobre el tema.