Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

En matemáticas, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (a menudo llamada conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer) describe el conjunto de soluciones racionales de ecuaciones que definen una curva elíptica.. Es un problema abierto en el campo de la teoría de números y es ampliamente reconocido como uno de los problemas matemáticos más desafiantes. Lleva el nombre de los matemáticos Bryan John Birch y Peter Swinnerton-Dyer, quienes desarrollaron la conjetura durante la primera mitad de la década de 1960 con la ayuda de la computación mecánica. Hasta 2023, sólo se han demostrado casos especiales de la conjetura.

La formulación moderna de la conjetura relaciona los datos aritméticos asociados con una curva elíptica E sobre un campo numérico K con el comportamiento de la función L de Hasse-Weil L(E, s) de E en s = 1. Más específicamente, Se conjetura que el rango del grupo abeliano E(K) de puntos de E es del orden del cero de L(E, s) en s = 1, y el primer coeficiente distinto de cero en la expansión de Taylor de L (E, s) en s = 1 viene dado por datos aritméticos más refinados adjuntos a E sobre K (Wiles 2006).

La conjetura fue elegida como uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Clay Mathematics Institute, que ha ofrecido un premio de 1.000.000 de dólares a la primera demostración correcta.

Fondo

Mordell (1922) demostró el teorema de Mordell: el grupo de puntos racionales en una curva elíptica tiene una base finita. Esto significa que para cualquier curva elíptica hay un subconjunto finito de puntos racionales en la curva, a partir del cual se pueden generar todos los puntos racionales adicionales.

Si el número de puntos racionales en una curva es infinito, entonces algún punto en una base finita debe tener orden infinito. El número de puntos básicos independientes con orden infinito se denomina rango de la curva y es una propiedad invariante importante de una curva elíptica.

Si el rango de una curva elíptica es 0, entonces la curva tiene sólo un número finito de puntos racionales. Por otro lado, si el rango de la curva es mayor que 0, entonces la curva tiene un número infinito de puntos racionales.

Aunque el teorema de Mordell muestra que el rango de una curva elíptica es siempre finito, no proporciona un método eficaz para calcular el rango de cada curva. El rango de ciertas curvas elípticas se puede calcular utilizando métodos numéricos pero (según el estado actual del conocimiento) se desconoce si estos métodos manejan todas las curvas.

Una función L L(E, s) puede ser definido para una curva elíptica E mediante la construcción de un producto de Euler a partir del número de puntos en la curva módulo cada primo p. Esta función L es análoga a la función zeta de Riemann y a la serie L de Dirichlet que se define para una forma cuadrática binaria. Es un caso especial de función L de Hasse-Weil.

La definición natural de L(E, s) solo converge para valores de s en el complejo plano con Re(s) > 3/2. Helmut Hasse conjeturó que L(E, s) podría extenderse mediante continuación analítica a todo el plano complejo. Esta conjetura fue demostrada por primera vez por Deuring (1941) para curvas elípticas con multiplicación compleja. Posteriormente se demostró que era cierto para todas las curvas elípticas sobre Q, como consecuencia del teorema de modularidad en 2001.

Encontrar puntos racionales en una curva elíptica general es un problema difícil. Encontrar los puntos en una curva elíptica módulo un primo dado p es conceptualmente sencillo, ya que solo hay un número finito de posibilidades para verificar. Sin embargo, para números primos grandes es un proceso computacional intensivo.

Historia

A principios de la década de 1960, Peter Swinnerton-Dyer utilizó la computadora EDSAC-2 en el Laboratorio de Computación de la Universidad de Cambridge para calcular el número de puntos módulo p (denotado por N_p ) para un gran número de primos p en curvas elípticas cuyo rango se conocía. A partir de estos resultados numéricos Birch & Swinnerton-Dyer (1965) conjeturó que N_p para una curva E con rango r obedece a una ley asintótica

∏ ∏ p≤ ≤ xNpp.. Clog⁡ ⁡ ()x)rcomox→ → JUEGO JUEGO {displaystyle prod _{pleq x}{frac {N_{p}{p}approx Clog(x)^{r}{mbox{ as }xrightarrow infty }

donde C es una constante.

Inicialmente esto se basó en tendencias algo tenues en las tramas gráficas; esto indujo cierto escepticismo en J. W. S. Cassels (asesor de doctorado de Birch). Con el tiempo, la evidencia numérica se fue acumulando.

Esto a su vez los llevó a hacer una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva L(E, s) en s = 1, es decir, que tendría un cero de orden r en este punto. Esta era una conjetura previsora para la época, dado que la continuación analítica de L(E, s) allí sólo se establecía para curvas con multiplicación compleja, que también fueron la principal fuente de ejemplos numéricos. (NB: el recíproco de la función L es, desde algunos puntos de vista, un objeto de estudio más natural; en ocasiones, esto significa que se deben considerar polos en lugar de ceros).

La conjetura se amplió posteriormente para incluir la predicción del coeficiente de Taylor principal preciso de la función L en s = 1. Está dado conjeturalmente por

L()r)()E,1)r!=# # Sha()E)Ω Ω ERE∏ ∏ pSilencioNcp()# # ETor)2{displaystyle {frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}={frac {\#mm} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}f}}f}f}fnMicrocf}f}fnMicrocf}fnMicroc\fnMicrocf}\fnMicrocfnMicroc\fnMisigual}}\\\fnMicrocfnMicroc\fnMicrocfnMicrocfnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {f}fn {Sha} (E) Omega ¿Qué? ¿Por qué?

donde las cantidades del lado derecho son invariantes de la curva, estudiada por Cassels, Tate, Shafarevich y otros (Wiles 2006):

# # ETor{displaystyle #E_{mathrm {Tor} es el orden del grupo de torsión,

# # Sha()E){displaystyle #mathrm {Sha} (E)} es el orden del grupo Tate-Shafarevich,

Ω Ω E{displaystyle Omega ¿Qué? es el período real E multiplicado por el número de componentes conectados de E,

RE{displaystyle R_{E} es el regulador de E que se define a través de las alturas canónicas de una base de puntos racionales,

cp{displaystyle c_{p} es el número de Tamagawa E en un principio p dividiendo el conductor N de E. Puede ser encontrado por el algoritmo de Tate.

Estado actual

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ha demostrado sólo en casos especiales:

1. Coates " Wiles (1977) demostró que si E es una curva sobre un campo número F con multiplicación compleja por un campo cuadrático imaginario K de clase número 1, F = K o Q, y L()E, 1) no es 0 entonces E()F) es un grupo finito. This was extended to the case where F es cualquier extensión abeliana finita K por Arthaud (1978).
2. Gross " Zagier (1986) mostró que si una curva elíptica modular tiene un cero de primer orden en s = 1 entonces tiene un punto racional de orden infinito; vea el teorema Gross–Zagier.
3. Kolyvagin (1989) mostró que una curva elíptica modular E para la cual L()E, 1) no es cero tiene rango 0, y una curva elíptica modular E para la cual L()E, 1) tiene un cero de primer orden s = 1 tiene rango 1.
4. Rubin (1991) mostró que para curvas elípticas definidas sobre un campo cuadrático imaginario K con multiplicación compleja por K, si el L- la serie de la curva elíptica no era cero s = 1, entonces el p- parte del grupo Tate-Shafarevich tenía el orden predicho por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, para todos los primos p ■ 7.
5. Breuil et al. (2001), trabajo de extensión de Wiles (1995), demostró que todas las curvas elípticas definidas sobre los números racionales son modulares, que extiende los resultados #2 y #3 a todas las curvas elípticas sobre los racionales, y muestra que los resultados L- Funciones de todas las curvas elípticas sobre Q se definen en s = 1.
6. Bhargava & Shankar (2015) demostró que el rango medio del grupo Mordell-Weil de una curva elíptica sobre Q está obligado por encima de 7/6. Combinando esto con el teorema de p-paridad de Nekovář (2009) y Dokchitser " Dokchitser (2010) y con la prueba de la principal conjetura de la teoría de Iwasawa para GL(2) por Skinner " Urban (2014), concluyen que una proporción positiva de curvas elípticas sobre Q tienen rango analítico cero, y por lo tanto, por Kolyvagin (1989), satisfacer la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

Actualmente no existen pruebas que incluyan curvas con rango superior a 1.

Existe una amplia evidencia numérica de la veracidad de la conjetura.

Consecuencias

Al igual que la hipótesis de Riemann, esta conjetura tiene múltiples consecuencias, incluidas las dos siguientes:

• Vamos n ser un extraño entero libre de cuadrados. Asumiendo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, n es el área de un triángulo derecho con longitudes laterales racionales (un número congruente) si y sólo si el número de trillizos de enteros (x, Sí., z) satisfactoria 2x² + Sí.² + 8z² = n es el doble del número de trillizos que satisfacen 2x² + Sí.² + 32z² = n. Esta declaración, debido al teorema de Tunnell (Tunnell 1983), está relacionada con el hecho de que n es un número congruente si y sólo si la curva elíptica Sí.² = x³ − n²x tiene un punto racional de orden infinito (por eso, bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, su L- La función tiene cero 1). El interés en esta declaración es que la condición se verifica fácilmente.
• En una dirección diferente, ciertos métodos analíticos permiten una estimación del orden de cero en el centro de la tira crítica de las familias de L- Funciones. Admitiendo la conjetura BSD, estas estimaciones corresponden a información sobre el rango de familias de curvas elípticas en cuestión. Por ejemplo: suponer la hipótesis generalizada Riemann y la conjetura BSD, el rango promedio de curvas dadas por Sí.² = x³ + ax+ b es más pequeño que 2.