Conjetura abc

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El producto de factores principales distintos de a,b,c, donde c es a+b, es rara vez mucho menos que c

Mathematician Joseph Oesterlé

Matemático David Masser

La abc conjetura (también conocida como la conjetura de Oesterlé-Masser) es una conjetura en teoría de números que surgió de una discusión de Joseph Oesterlé y David Masser en 1985. Se expresa en términos de tres números enteros positivos a, b y c (de ahí el nombre) que son relativamente primo y satisface a + b = c. La conjetura establece esencialmente que el producto de los distintos factores primos de abc normalmente no es mucho más pequeño que c. Varias conjeturas y teoremas famosos en la teoría de números se derivarían inmediatamente de la conjetura abc o sus versiones. El matemático Dorian Goldfeld describió la conjetura abc como "El problema sin resolver más importante en el análisis diofántico".

La conjetura abc se originó como resultado de los intentos de Oesterlé y Masser de comprender la conjetura de Szpiro sobre las curvas elípticas, que involucra más estructuras geométricas en su declaración que la abc conjetura. Se demostró que la conjetura abc es equivalente a la conjetura de Szpiro modificada.

Se han realizado varios intentos para probar la conjetura abc, pero actualmente la comunidad matemática dominante no acepta ninguno y, a partir de 2020, la conjetura todavía se considera no probada.

Formulaciones

Antes de enunciar la conjetura, se debe introducir la noción de radical de un entero: para un entero positivo n, el radical de n, denotado rad(n), es el producto de los distintos factores primos de n. Por ejemplo

rad(16) = rad(2)⁴) = rad(2) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 = 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2)⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

Si a, b y c son enteros positivos coprimos tales que a + b = c, resulta que "generalmente" c < rad(abc). La conjetura abc se ocupa de las excepciones. Específicamente, establece que:

Por cada número real positivo ε, sólo existen finitamente muchos triples (a, b, c) de los enteros positivos coprime, con a + b = c, tal que

operatorname {rad} (abc)^{1+varepsilon }.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■rad⁡ ⁡ ()abc)1+ε ε .{displaystyle c]operatorname {rad} (abc)^{1+varepsilon }operatorname {rad} (abc)^{1+varepsilon }.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160636ed9e976d568050bc607307391d23ae187" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.261ex; height:3.176ex;"/>

Una formulación equivalente es:

Por cada número real positivo ε, existe una constante K_ε tal que para todos los triples (a, b, c) de los enteros positivos coprime, con a + b = c:

<math alttext="{displaystyle cc.Kε ε ⋅ ⋅ rad⁡ ⁡ ()abc)1+ε ε .{displaystyle c)K_{varepsilon }cdot operatorname {rad} (abc)^{1+varepsilon }<img alt="{displaystyle c

Equivalentemente (usando la notación o minúscula):

Para todos los triples (a, b, c) de los enteros positivos coprime con a + b = c, rad(abc) es al menos c^1-o1).

Una cuarta formulación equivalente de la conjetura implica la cualidad q(a, b, c) de la terna (a, b, c), que se define como

{displaystyle q(a,b,c)={frac {log(c)}{log {big (}operatorname {rad} (abc){big)}}}.}

Por ejemplo:

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Un triple típico (a, b, c) de enteros positivos coprimos con a + b = c tendrá c < rad(abc), es decir, q(a, b, c) < 1. Triples con q > 1 como en el segundo ejemplo son bastante especiales, consisten en números divisibles por altas potencias de pequeños números primos. La cuarta formulación es:

Por cada número real positivo ε, sólo existen finitamente muchos triples (a, b, c) de los enteros positivos coprime con a + b = c tales que q()a, b, c) 1 + ε.

Mientras que se sabe que hay infinitos triples (a, b, c) de enteros positivos coprimos con a + b = c tal que q(a, b, c) > 1, la conjetura predice que solo un número finito de ellos tienen q > 1.01 o q > 1.001 o incluso q > 1.0001, etc. En particular, si la conjetura es verdadera, entonces debe existir una terna (a, b, c) que logre el máxima calidad posible q(a, b, c).

Ejemplos de ternas con radical pequeño

La condición de que ε > 0 es necesario ya que existen infinitas ternas a, b, c con c > rad(abc). Por ejemplo, deja

1.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a=1,b=26n− − 1,c=26n,n■1.{displaystyle a=1,quad b=2^{6n}-1,quad c=2^{6n},qquad n título1.}1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7972d463707adc10dd79bebd06b8fa1e816330f" style="vertical-align: -0.671ex; width:42.795ex; height:3.009ex;"/>

El entero b es divisible por 9:

{displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(cdots)=9cdot 7cdot (cdots).}

Usando este hecho, se hace el siguiente cálculo:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}operatorname {rad} (abc)&=operatorname {rad} (a)operatorname {rad} (b)operatorname {rad} (c)\&=operatorname {rad} (1)operatorname {rad} left(2^{6n}-1right)operatorname {rad} left(2^{6n}right)\&=2operatorname {rad} left(2^{6n}-1right)\&=2operatorname {rad} left(9cdot {tfrac {b}{9}}right)\&leqslant 2cdot 3cdot {tfrac {b}{9}}\&=2{tfrac {b}{3}}\&rad⁡ ⁡ ()abc)=rad⁡ ⁡ ()a)rad⁡ ⁡ ()b)rad⁡ ⁡ ()c)=rad⁡ ⁡ ()1)rad⁡ ⁡ ()26n− − 1)rad⁡ ⁡ ()26n)=2rad⁡ ⁡ ()26n− − 1)=2rad⁡ ⁡ ()9⋅ ⋅ b9)⩽ ⩽ 2⋅ ⋅ 3⋅ ⋅ b9=2b3.23c.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c]fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {b}{9}derecha)\\leqslant 2cdot 3cdot {tfrac] {b}{9}\\\\cH00}\\\\\\\\\cH00}\\\\cH00}\\\\\\\\\\cH00}\\\\cH3}\\\\\\\\\\\\\\cH3}\\\\cH3}}}}\\\cH3}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH3}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\ {b} {3}\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\cH3}\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\cH3}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\ {2} {3}c.end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}operatorname {rad} (abc)&=operatorname {rad} (a)operatorname {rad} (b)operatorname {rad} (c)\&=operatorname {rad} (1)operatorname {rad} left(2^{6n}-1right)operatorname {rad} left(2^{6n}right)\&=2operatorname {rad} left(2^{6n}-1right)\&=2operatorname {rad} left(9cdot {tfrac {b}{9}}right)\&leqslant 2cdot 3cdot {tfrac {b}{9}}\&=2{tfrac {b}{3}}\&

Al reemplazar el exponente 6n por otros exponentes forzando a b a tener factores cuadrados más grandes, la relación entre el radical y c puede ser hecho arbitrariamente pequeño. Específicamente, permita que p > 2 ser primo y considerar

1.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a=1,b=2p()p− − 1)n− − 1,c=2p()p− − 1)n,n■1.{displaystyle a=1,quad b=2^{p(p-1)n}-1,quad c=2^{p(p-1)n},qquad n título1.}1.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394e1b40f7865aae12f82f68e27f135bab09e5a9" style="vertical-align: -0.671ex; width:51.219ex; height:3.176ex;"/>

Ahora se puede afirmar plausiblemente que b es divisible por p²:

{displaystyle {begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\&=left(2^{p(p-1)}right)^{n}-1\&=left(2^{p(p-1)}-1right)(cdots)\&=p^{2}cdot r(cdots).end{aligned}}}

El último paso utiliza el hecho de que p² divide a 2^p(p−1) − 1. Esto se deduce del pequeño teorema de Fermat, que muestra que, para p > 2, 2^p−1 = pk + 1 para algún número entero k. Elevar ambos lados a la potencia de p muestra que 2^p(p−1) = p²(...) + 1.

Y ahora con un cálculo similar al anterior, los siguientes resultados:

<math alttext="{displaystyle operatorname {rad} (abc)rad ()abc).2pc.{displaystyle operatorname {rad} (abc) {2} {p}c.} <img alt="{displaystyle operatorname {rad} (abc)

A continuación se proporciona una lista de los triples de mayor calidad (triples con un radical particularmente pequeño en relación con c); la calidad más alta, 1.6299, fue encontrada por Eric Reyssat (Lando & Zvonkin 2004, p. 137) para

a = 2,

b = 3¹⁰·109 = 6436341,

c = 23⁵ = 6436343,

rad(abc) 15042.

Algunas consecuencias

La conjetura abc tiene un gran número de consecuencias. Estos incluyen tanto resultados conocidos (algunos de los cuales se han demostrado por separado solo desde que se estableció la conjetura) como conjeturas para las que proporciona una prueba condicional. Las consecuencias incluyen:

Teorema de Roth sobre aproximación Diofantina de números algebraicos.
La conjetura Mordell (ya probada en general por Gerd Faltings).
Como equivalente, la conjetura de Vojta en la dimensión 1.
La conjetura Erdős-Woods permite un número finito de contraexamples.
La existencia de infinitamente muchos primos no-Wieferich en cada base b ■ 1.
La forma débil de la conjetura de Marshall Hall en la separación entre cuadrados y cubos de enteros.
El último Fermat Theorem tiene una prueba muy difícil de Andrew Wiles. Sin embargo, sigue fácilmente, al menos por ${displaystyle ngeq 6}$ , desde una forma efectiva de una versión débil de la abc conjetura. El abc la conjetura dice que el sudor de lim del conjunto de todas las cualidades (definido anteriormente) es 1, lo que implica la afirmación mucho más débil de que hay un límite superior finito para las cualidades. La conjetura de que 2 es un límite superior basta para una prueba muy corta del último teorema de Fermat para ${displaystyle ngeq 6}$ .
La conjetura Fermat-Catalan, una generalización del último teorema de Fermat sobre poderes que son sumas de poderes.
La función L L()s, χ_d) formado con el símbolo Legendre, no tiene Siegel cero, dada una versión uniforme de la abc conjetura en campos número, no sólo el abc conjetura como formulada anteriormente para los enteros racionales.
Un polinomio P()x) tiene sólo finitamente muchos poderes perfectos para todos los enteros x si P tiene al menos tres ceros simples.
Una generalización del teorema de Tijdeman sobre el número de soluciones Sí.^m = xⁿ + k (Tijdeman teorema responde al caso k = 1), y la conjetura de Pillai (1931) relativa al número de soluciones Ay^m = Bxⁿ + k.
Como equivalente, la conjetura Granville-Langevin, que si f es una forma binaria libre de cuadrado de grado n > 2, entonces por cada real β ■ 2 hay una constante C()f, β) tal que para todos los enteros coprime x, Sí., el radical de f()x, Sí.) excede C · max{xSilencio, SilencioSí.Silencio.^n−β.
Como equivalente, la conjetura modificada de Szpiro, que produciría un límite de rad(abc)^1.2+ε.
Dąbrowski (1996) ha demostrado que abc conjetura implica que la ecuación Diofantina n! + A = k2 tiene sólo finitamente muchas soluciones para cualquier entero dado A.
Hay ~c_fN enteros positivos n ≤ N para la cual f()n)/B' es libre de cuadrados, con c_f ■ 0 una constante positiva definida como:
${displaystyle c_{f}=prod _{{text{prime }}p}x_{i}left(1-{frac {omega ,!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}right).}$
La conjetura de la carne, una generalización del último teorema de Fermat proponiendo que si A, B, C, x, Sí., y z son números enteros positivos con A^x + B^Sí. = C^z y x, Sí., z Entonces, A, B, y C tienen un factor principal común. El abc la conjetura implicaría que sólo hay finitamente muchos contraexamples.
La conjetura de Lang, un límite inferior para la altura de un punto racional de no-torsión de una curva elíptica.
Una solución negativa al problema Erdős–Ulam en conjuntos densos de puntos de Euclidean con distancias racionales.
Una versión efectiva del teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas algebraicas.

Resultados teóricos

La conjetura abc implica que c puede estar acotado superiormente por una función casi lineal del radical de abc. Se conocen límites que son exponenciales. En concreto, se han probado los siguientes límites:

<math alttext="{displaystyle cc.exp⁡ ⁡ ()K1rad⁡ ⁡ ()abc)15){displaystyle c madeexp {left (K_{1}operatorname {rad} (abc)^{15}right)}<img alt="c

(Stewart " Tijdeman 1986),

<math alttext="{displaystyle cc.exp⁡ ⁡ ()K2rad⁡ ⁡ ()abc)23+ε ε ){displaystyle c madeexp {left(K_{2}operatorname {rad} (abc)^{frac {2}{3}+varepsilon}right)}}<img alt="c

(Stewart " Yu 1991) y

<math alttext="{displaystyle cc.exp⁡ ⁡ ()K3rad⁡ ⁡ ()abc)13()log⁡ ⁡ ()rad⁡ ⁡ ()abc))3){displaystyle c madeexp {left (K_{3}operatorname {rad} (abc)^{frac {1}{3}left(log(operatorname {rad} (abc)right)}right)}}}<img alt="{displaystyle c

(Stewart & Yu 2001).

En estos límites, K₁ y K₃ son constantes que no dependen de a, b o c, y K₂ es una constante que depende de ε (de una manera efectivamente computable) pero no en a, b o c. Los límites se aplican a cualquier triple para el cual c > 2.

También hay resultados teóricos que proporcionan un límite inferior en la mejor forma posible de la conjetura abc. En particular, Stewart & Tijdeman (1986) mostró que hay infinitos triples (a, b, c) de enteros coprimos con a + b = c y

operatorname {rad} (abc)exp {left(k{sqrt {log c}}/log log cright)}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■rad⁡ ⁡ ()abc)exp⁡ ⁡ ()klog⁡ ⁡ c/log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ c){displaystyle c]operatorname {rad} (abc)exp {left(k{sqrt {log c}/log log cright)}}}operatorname {rad} (abc)exp {left(k{sqrt {log c}}/log log cright)}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214e2faf30c51e5f3c18ece22efbcf2eb8a84aa3" style="vertical-align: -1.171ex; width:36.147ex; height:3.509ex;"/>

para todos los k < 4. La constante k fue mejorada a k = 6.068 por van Frankenhuysen (2000).

Resultados computacionales

En 2006, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, junto con el instituto científico holandés Kennislink, lanzaron el proyecto ABC@Home, un sistema de computación en red, cuyo objetivo es descubrir tripletas adicionales a, b, c con rad(abc) < c. Aunque ningún conjunto finito de ejemplos o contraejemplos puede resolver la conjetura abc, se espera que los patrones en los triples descubiertos por este proyecto conduzcan a conocimientos sobre la conjetura y sobre la teoría de números en general.

Distribución de triples con q ■ 1
q c	q ■ 1	q ■ 1.05	q ■ 1.1	q ■ 1.2	q ■ 1.3	q " 1.4 "
c 10²	6	4	4	2	0	0
c 10³	31	17	14	8	3	1
c 10⁴	120	74	50	22	8	3
c 10⁵	418	240	152	51	13	6
c 10⁶	1.268	667	379	102	29	11
c 10⁷	3.499	1.669	856	210	60	17
c 10⁸	8.987	3,869	1,801	384	98	25
c 10⁹	22.316	8.742	3.693	706	144	34
c 10¹⁰	51,677	18.233	7,035	1.159	218	51
c 10¹¹	116.978	37,612	13,266	1 947	327	64
c 10¹²	252,856	73.714	23.773	3.028	455	74
c 10¹³	528.275	139.762	41.438	4,519	599	84
c 10¹⁴	1.075.319	258,168	70.047	6.665	769	98
c 10¹⁵	2.131.671	463,446	115.041	9.497	998	112
c 10¹⁶	4.119.410	812.499	184,727	13,118	1.232	126
c 10¹⁷	7,801,334	1,396,909	290.965	17.890	1.530	143
c 10¹⁸	14,482,065	2,352,105	449.194	24.013	1.843	160

Hasta mayo de 2014, ABC@Home había encontrado 23,8 millones de triples.

triples de alta calidad
Rank	q	a	b	c	Descubierto
1	1.6299	2	3¹⁰·109	23⁵	Eric Reyssat
2	1.6260	11²	3²·5⁶·7³	2²¹·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·29²·31⁸	2⁸·3²²·5⁴	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	5¹¹·13²	2⁸·3⁸·17³	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·3⁷	5⁴·7	Benne de Weger

Nota: la calidad q(a, b, c) del triple (a, b, c) se define arriba.

Formas refinadas, generalizaciones y declaraciones relacionadas

La conjetura abc es un análogo entero del teorema de Mason-Stothers para polinomios.

Un refuerzo, propuesto por Baker (1998), establece que en la conjetura abc uno puede reemplazar rad(abc) por

ε^−⋅ rad(abc),

donde ω es el número total de primos distintos que dividen a, b y c.

Andrew Granville notó que el mínimo de la función ${displaystyle {big (}varepsilon ^{-omega }operatorname {rad} (abc){big)}^{1+varepsilon }}$ sobre $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ ocurre cuando ${displaystyle varepsilon ={frac {omega }{log {big (}operatorname {rad} (abc){big)}}}.}$

Esto inspiró a Baker (2004) a proponer una forma más definida de la conjetura abc, a saber:

<math alttext="{displaystyle cc.κ κ rad⁡ ⁡ ()abc)()log⁡ ⁡ ()rad⁡ ⁡ ()abc)))⋅ ⋅ ⋅ ⋅ !{displaystyle c madekappa operatorname {rad} (abc){frac {{Big}log {big}operatorname {rad} (abc){big)}{Big)}{omega ¡Oh, Dios mío!<img alt="{displaystyle c

con κ una constante absoluta. Después de algunos experimentos computacionales encontró que un valor ${displaystyle 6/5}$ era admisible κ. Esta versión se llama "explicit" abc conjetura".

Baker (1998) también describe conjeturas relacionadas de Andrew Granville que darían cotas superiores en c de la forma

{displaystyle K^{Omega (abc)}operatorname {rad} (abc),}

donde Ω(n) es el número total de factores primos de n, y

{displaystyle O{big (}operatorname {rad} (abc)Theta (abc){big)},}

donde Θ(n) es el número de enteros hasta n divisible solo por números primos que dividen n.

Robert, Stewart & Tenenbaum (2014) propuso una desigualdad más precisa basada en Robert & Tenenbaum (2013). Sea k = rad(abc). Conjeturaron que existe una constante C₁ tal que

<math alttext="{displaystyle cc.kexp⁡ ⁡ ()43log⁡ ⁡ klog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k()1+log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k2log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k+C1log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k)){displaystyle c madekexp left(4{sqrt {frac {3log k}{log log k}}}left(1+{frac {log log k}{2log log log log log ¿Por qué?<img alt="{displaystyle c

se mantiene mientras que hay una constante C₂ tal que

kexp left(4{sqrt {frac {3log k}{log log k}}}left(1+{frac {log log log k}{2log log k}}+{frac {C_{2}}{log log k}}right)right)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■kexp⁡ ⁡ ()43log⁡ ⁡ klog⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k()1+log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k2log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k+C2log⁡ ⁡ log⁡ ⁡ k)){displaystyle c]kexp left(4{sqrt {frac {3log k}{log log k}}}left(1+{frac {log log k}{2log log log log log ¿Por qué?kexp left(4{sqrt {frac {3log k}{log log k}}}left(1+{frac {log log log k}{2log log k}}+{frac {C_{2}}{log log k}}right)right)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b249f791b97a160fe9288ceee6b855c19698066" style="vertical-align: -3.171ex; width:56.729ex; height:7.509ex;"/>

se mantiene infinitamente a menudo.

Browkin & Brzeziński (1994) formuló la conjetura n, una versión de la conjetura abc que implica n > 2 enteros.

Pruebas reclamadas

Lucien Szpiro propuso una solución en 2007, pero poco después se descubrió que era incorrecta.

Desde agosto de 2012, Shinichi Mochizuki ha reclamado una prueba de la conjetura de Szpiro y, por lo tanto, de la conjetura abc. Publicó una serie de cuatro preprints en los que desarrollaba una nueva teoría que denominó teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT), que luego se aplica para probar la conjetura abc. Los artículos no han sido aceptados por la comunidad matemática como prueba de abc. Esto no se debe solo a su extensión y la dificultad de comprenderlos, sino también a que al menos un punto específico del argumento ha sido identificado como vacío por algunos otros expertos. Aunque algunos matemáticos han garantizado la corrección de la prueba y han intentado comunicar su comprensión a través de talleres sobre IUTT, no han logrado convencer a la comunidad de teoría de números en general.

En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron Kioto para conversar con Mochizuki. Si bien no resolvieron las diferencias, las enfocaron más claramente. Scholze y Stix escribieron un informe afirmando y explicando un error en la lógica de la prueba y afirmando que la brecha resultante era "tan grave que... las pequeñas modificaciones no salvarán la estrategia de prueba"; Mochizuki afirmó que malinterpretaron aspectos vitales de la teoría e hicieron simplificaciones inválidas.

El 3 de abril de 2020, dos matemáticos del instituto de investigación de Kioto donde trabaja Mochizuki anunciaron que la supuesta prueba se publicaría en Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, el instituto diario. Mochizuki es editor en jefe de la revista, pero se recusó de la revisión del artículo. El anuncio fue recibido con escepticismo por Kiran Kedlaya y Edward Frenkel, además de ser descrito por Nature como "poco probable que mueva a muchos investigadores al campamento de Mochizuki". En marzo de 2021, la prueba de Mochizuki se publicó en RIMS.

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