Conjetura

La parte real (rojo) e parte imaginaria (azul) de la función Riemann zeta a lo largo de la línea crítica Re(s) = 1/2. Los primeros ceros no-triviales se pueden ver en Im(s) = ±14.135, ±21.022 y ±25.011. La hipótesis Riemann, una famosa conjetura, dice que todos los ceros no-triviales de la función zeta se encuentran a lo largo de la línea crítica.

En matemáticas, una conjetura es una conclusión o una proposición que se ofrece de manera tentativa sin demostración. Algunas conjeturas, como la hipótesis de Riemann (todavía una conjetura) o el último teorema de Fermat (una conjetura hasta que fue probada en 1995 por Andrew Wiles), han dado forma a gran parte de la historia matemática a medida que se desarrollan nuevas áreas de las matemáticas para probar a ellos.

Ejemplos importantes

El último teorema de Fermat

En teoría de números, el último teorema de Fermat (a veces llamado Conjetura de Fermat, especialmente en textos antiguos) afirma que no hay tres números enteros positivos a{displaystyle a}, b{displaystyle b}, y c{displaystyle c} puede satisfacer la ecuación an+bn=cn{displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n} para cualquier valor entero de n{displaystyle n} más de dos.

Este teorema fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el margen de una copia de Arithmetica, donde afirmó que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. La primera prueba exitosa fue publicada en 1994 por Andrew Wiles y publicada formalmente en 1995, después de 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos. El problema sin resolver estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX. Es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas y, antes de su demostración, figuraba en el Libro Guinness de los récords mundiales por los "problemas matemáticos más difíciles".

Teorema de los cuatro colores

A cuatro colores de un mapa de los estados de los Estados Unidos (ignorando lagos).

En matemáticas, el teorema de los cuatro colores, o el teorema del mapa de cuatro colores, establece que dada cualquier separación de un plano en regiones contiguas, produciendo una figura llamada mapa, no más de cuatro colores son necesario para colorear las regiones del mapa, de modo que no haya dos regiones adyacentes que tengan el mismo color. Dos regiones se denominan adyacentes si comparten un límite común que no es una esquina, donde las esquinas son los puntos compartidos por tres o más regiones. Por ejemplo, en el mapa de los Estados Unidos de América, Utah y Arizona son adyacentes, pero Utah y Nuevo México, que solo comparten un punto que también pertenece a Arizona y Colorado, no lo son.

Möbius mencionó el problema en sus conferencias ya en 1840. La conjetura se propuso por primera vez el 23 de octubre de 1852 cuando Francis Guthrie, mientras intentaba colorear el mapa de los condados de Inglaterra, notó que solo se necesitaban cuatro colores diferentes. El teorema de los cinco colores, que tiene una prueba elemental breve, establece que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y se demostró a fines del siglo XIX; sin embargo, probar que cuatro colores son suficientes resultó ser significativamente más difícil. Han aparecido varias pruebas falsas y contraejemplos falsos desde la primera declaración del teorema de los cuatro colores en 1852.

El teorema de los cuatro colores fue finalmente probado en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Fue el primer teorema importante que se demostró usando una computadora. El enfoque de Appel y Haken comenzó mostrando que hay un conjunto particular de 1936 mapas, cada uno de los cuales no puede ser parte de un contraejemplo de tamaño más pequeño para el teorema de los cuatro colores (es decir, si aparecieran, se podría hacer un contraejemplo más pequeño). Appel y Haken usaron un programa de computadora de propósito especial para confirmar que cada uno de estos mapas tenía esta propiedad. Además, cualquier mapa que pueda ser un contraejemplo debe tener una parte que se parezca a uno de estos 1936 mapas. Mostrando esto con cientos de páginas de análisis manual, Appel y Haken concluyeron que no existe el contraejemplo más pequeño porque cualquiera debe contener, pero no contener, uno de estos 1936 mapas. Esta contradicción significa que no hay ningún contraejemplo y que, por lo tanto, el teorema es verdadero. Inicialmente, los matemáticos no aceptaron su prueba en absoluto porque la prueba asistida por computadora era inviable para que un humano la verificara a mano. Sin embargo, la prueba ha ganado desde entonces una mayor aceptación, aunque aún quedan dudas.

Hauptvermutung

La Hauptvermutung (conjetura principal en alemán) de la topología geométrica es la conjetura de que dos triangulaciones cualesquiera de un espacio triangulable tienen un refinamiento común, una sola triangulación que es una subdivisión de ambas. Fue formulado originalmente en 1908 por Steinitz y Tietze.

Ahora se sabe que esta conjetura es falsa. La versión no múltiple fue refutada por John Milnor en 1961 utilizando la torsión de Reidemeister.

La versión múltiple es verdadera en dimensiones m ≤ 3. Los casos m = 2 y 3 fueron probados por Tibor Radó y Edwin E. Moise en las décadas de 1920 y 1950, respectivamente.

Conjeturas de Weil

En matemáticas, las conjeturas de Weil fueron algunas propuestas muy influyentes de André Weil (1949) sobre las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales) derivadas de contar el número de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos.

Una variedad V sobre un campo finito con elementos q tiene un número finito de puntos racionales, así como puntos sobre cada campo finito con q i>^k elementos que contienen ese campo. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números N_k de puntos sobre el campo (esencialmente único) con q ^k elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta deberían ser funciones racionales, deberían satisfacer una forma de ecuación funcional y deberían tener sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes se modelaron conscientemente sobre la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann. La racionalidad fue probada por Dwork (1960), la ecuación funcional por Grothendieck (1965), y el análogo de la hipótesis de Riemann fue probado por Deligne (1974)

Conjetura de Poincaré

En matemáticas, la conjetura de Poincaré es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera, que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en un espacio de cuatro dimensiones. La conjetura establece que:

Cada sencillamente conectado, cerrado 3-manipple es homeomorfo al 3-sphere.

Una forma equivalente de la conjetura involucra una forma más tosca de equivalencia que el homeomorfismo llamada equivalencia de homotopía: si una 3-variedad es equivalente de homotopía a la 3-esfera, entonces es necesariamente homeomorfa a ello.

Originalmente conjeturado por Henri Poincaré en 1904, el teorema se refiere a un espacio que localmente parece un espacio tridimensional ordinario pero está conectado, tiene un tamaño finito y carece de cualquier límite (una variedad tridimensional cerrada). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio se puede apretar continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Un resultado análogo se ha conocido en dimensiones superiores durante algún tiempo.

Después de casi un siglo de esfuerzo de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv. La prueba se basó en el programa de Richard S. Hamilton para usar el flujo de Ricci para intentar resolver el problema. Hamilton introdujo más tarde una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada, pero no pudo demostrar que este método "convergía". 34; en tres dimensiones. Perelman completó esta parte de la prueba. Varios equipos de matemáticos han verificado que la prueba de Perelman es correcta.

La conjetura de Poincaré, antes de ser probada, fue una de las preguntas abiertas más importantes en topología.

Hipótesis de Riemann

En matemáticas, la hipótesis de Riemann, propuesta por Bernhard Riemann (1859), es una conjetura de que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real 1/2. El nombre también se usa para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos.

La hipótesis de Riemann implica resultados sobre la distribución de los números primos. Junto con las generalizaciones adecuadas, algunos matemáticos lo consideran el problema no resuelto más importante de las matemáticas puras. La hipótesis de Riemann, junto con la conjetura de Goldbach, es parte del octavo problema de Hilbert en la lista de 23 problemas sin resolver de David Hilbert; también es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute.

Problema P contra NP

El problema P versus NP es un problema importante sin resolver en informática. Informalmente, pregunta si cada problema cuya solución puede ser verificada rápidamente por una computadora también puede ser resuelta rápidamente por una computadora; se conjetura ampliamente que la respuesta es no. Básicamente, se mencionó por primera vez en una carta de 1956 escrita por Kurt Gödel a John von Neumann. Gödel preguntó si cierto problema NP-completo podría resolverse en tiempo cuadrático o lineal. El enunciado preciso del problema P=NP fue presentado en 1971 por Stephen Cook en su artículo seminal "La complejidad de los procedimientos de prueba de teoremas" y es considerado por muchos como el problema abierto más importante en el campo. Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio seleccionados por el Clay Mathematics Institute para llevar un premio de US $ 1,000,000 para la primera solución correcta.

Otras conjeturas

• Conjetura de Goldbach
• La conjetura principal gemela
• La conjetura de Collatz
• La conjetura de Manin
• La conjetura de Maldacena
• La conjetura Euler, propuesta por Euler en el siglo XVIII pero para la cual se encontraron contraexamples para varios exponentes (comenzando con n=4) a mediados del siglo XX
• Las conjeturas de Hardy-Littlewood son un par de conjeturas relativas a la distribución de números primos, el primero de los cuales se expande sobre la conjetura principal gemela antes mencionada. Ninguno ha sido probado o refutado, pero tiene se ha demostrado que ambos no pueden ser simultáneamente verdaderos (es decir, al menos uno debe ser falso). No se ha probado cuál es falso, pero se cree ampliamente que la primera conjetura es verdadera y la segunda es falsa.
• El programa Langlands es una web de gran alcance de estas ideas de 'unificación de conjeturas' que vincula diferentes subcampos de matemáticas (por ejemplo, entre teoría de números y teoría de la representación de grupos Lie). Desde entonces se han demostrado algunas de estas conjeturas.

Resolución de conjeturas

Prueba

Las matemáticas formales se basan en la verdad probable. En matemáticas, cualquier cantidad de casos que respalden una conjetura universalmente cuantificada, sin importar cuán grande sea, es insuficiente para establecer la veracidad de la conjetura, ya que un solo contraejemplo podría derribar inmediatamente la conjetura. Las revistas matemáticas a veces publican los resultados menores de los equipos de investigación que han ampliado la búsqueda de un contraejemplo más allá de lo que se había hecho anteriormente. Por ejemplo, la conjetura de Collatz, que se refiere a si ciertas secuencias de números enteros terminan o no, se ha probado para todos los números enteros hasta 1,2 × 10¹² (más de un billón). Sin embargo, el hecho de no encontrar un contraejemplo después de una búsqueda extensa no constituye una prueba de que la conjetura sea verdadera, porque la conjetura puede ser falsa pero con un contraejemplo mínimo muy grande.

Sin embargo, los matemáticos a menudo consideran que una conjetura está fuertemente respaldada por evidencia, aunque aún no se haya probado. Esa evidencia puede ser de varios tipos, como verificación de consecuencias de la misma o fuertes interconexiones con resultados conocidos.

Una conjetura se considera probada solo cuando se ha demostrado que es lógicamente imposible que sea falsa. Hay varios métodos para hacerlo; ver métodos de prueba matemática para más detalles.

Un método de prueba, aplicable cuando solo hay un número finito de casos que podrían dar lugar a contraejemplos, se conoce como "fuerza bruta": en este enfoque, se consideran todos los casos posibles y se demuestra que no dar contraejemplos. En algunas ocasiones, el número de casos es bastante grande, en cuyo caso una prueba de fuerza bruta puede requerir como cuestión práctica el uso de un algoritmo informático para comprobar todos los casos. Por ejemplo, inicialmente se dudó de la validez de las pruebas de fuerza bruta de 1976 y 1997 del teorema de los cuatro colores por computadora, pero finalmente se confirmó en 2005 mediante un software de prueba de teoremas.

Cuando se ha demostrado una conjetura, ya no es una conjetura sino un teorema. Muchos teoremas importantes alguna vez fueron conjeturas, como el teorema de la geometrización (que resolvió la conjetura de Poincaré), el último teorema de Fermat y otros.

Refutar

Las conjeturas refutadas a través del contraejemplo a veces se denominan conjeturas falsas (cf. la conjetura de Pólya y la conjetura de la suma de potencias de Euler). En el caso de este último, el primer contraejemplo encontrado para el caso n=4 implicaba números de millones, aunque posteriormente se ha encontrado que el contraejemplo mínimo es en realidad más pequeño.

Conjeturas independientes

No todas las conjeturas terminan demostrándose como verdaderas o falsas. Finalmente, se demostró que la hipótesis del continuo, que trata de determinar la cardinalidad relativa de ciertos conjuntos infinitos, es independiente del conjunto generalmente aceptado de axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, es posible adoptar este enunciado, o su negación, como un nuevo axioma de manera consistente (al igual que el postulado de las paralelas de Euclides puede tomarse como verdadero o falso en un sistema axiomático para la geometría).

En este caso, si una prueba usa esta declaración, los investigadores a menudo buscarán una nueva prueba que no requiera la hipótesis (de la misma manera que es deseable que las declaraciones en la geometría euclidiana se demuestre utilizando únicamente los axiomas de la geometría neutra, es decir, sin el postulado de las paralelas). La única gran excepción a esto en la práctica es el axioma de elección, ya que la mayoría de los investigadores generalmente no se preocupan si un resultado lo requiere, a menos que estén estudiando este axioma en particular.

Pruebas condicionales

A veces, una conjetura se denomina hipótesis cuando se usa con frecuencia y repetidamente como suposición en pruebas de otros resultados. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es una conjetura de la teoría de números que, entre otras cosas, hace predicciones sobre la distribución de los números primos. Pocos teóricos de los números dudan de que la hipótesis de Riemann sea cierta. De hecho, en previsión de su prueba final, algunos incluso han procedido a desarrollar pruebas adicionales que dependen de la verdad de esta conjetura. Son las llamadas pruebas condicionales: las conjeturas asumidas aparecen en las hipótesis del teorema, por el momento.

Estas "pruebas", sin embargo, se vendrían abajo si resulta que la hipótesis es falsa, por lo que existe un interés considerable en verificar la verdad o falsedad de conjeturas de este tipo.

En otras ciencias

Karl Popper fue pionero en el uso del término "conjetura" en la filosofía científica. La conjetura está relacionada con la hipótesis, que en ciencia se refiere a una conjetura comprobable.