Congruencia (geometría)

Un ejemplo de congruencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercero es similar a ellos. El último triángulo no es congruente ni similar a ninguno de los otros. La congruencia permite alterar algunas propiedades, como localización y orientación, pero deja a otros sin cambios, como distancias y ángulos. Las propiedades no cambiadas se llaman invariantes.

En geometría, dos figuras u objetos son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, o si uno tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular del otro.

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se denominan congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría, es decir, una combinación de movimientos rígidos, es decir, una traslación, una rotación y una reflexión. Esto significa que cualquiera de los objetos se puede reposicionar y reflejar (pero no cambiar de tamaño) para que coincida con precisión con el otro objeto. Por lo tanto, dos figuras planas distintas en una hoja de papel son congruentes si pueden recortarse y luego emparejarse por completo. Está permitido dar la vuelta al papel.

Este diagrama ilustra el principio geométrico de la congruencia triángulo lado-ángulo: triángulo dado ABC y triángulo A'B'C', triángulo ABC es congruente con triángulo A'B'C' si y sólo si: ángulo CAB es congruente con el ángulo C'A'B', y el ángulo ABC es congruente con el ángulo A'B'C', y BC es congruente con B'C'. Las marcas de escotillas de notas se utilizan aquí para mostrar igualdad de ángulo y lado.

En geometría elemental, la palabra congruente se usa a menudo de la siguiente manera. La palabra igual se usa a menudo en lugar de congruente para estos objetos.

• Dos segmentos de línea son congruentes si tienen la misma longitud.
• Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
• Dos círculos son congruentes si tienen el mismo diámetro.

En este sentido, dos figuras planas son congruentes implica que sus características correspondientes son "congruentes" o "igual" incluyendo no solo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.

El concepto relacionado de similitud se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran que la congruencia es una forma de similitud, aunque una minoría requiere que los objetos tengan diferentes tamaños para calificar como similares).

Determinación de congruencia de polígonos

Los cuadriláteros naranja y verde son congruentes; el azul no es congruente con ellos. Los tres tienen el mismo perímetro y área. (El orden de los lados del cuadrilátero azul es "mezclado" que resulta en dos de los ángulos interiores y uno de los diagonales que no son congruentes.)

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener el mismo número de lados (y, por lo tanto, el mismo número, el mismo número, de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el sentido contrario a las agujas del reloj para el otro) lado-ángulo-lado-ángulo-... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, coincida y etiqueta los vértices correspondientes de las dos figuras.
• Segundo, dibujar un vector de uno de los vértices de una de las figuras al vértice correspondiente de la otra figura. Traducir la primera figura de este vector para que estos dos vértices coincidan.
• Tercero, rotación la figura traducida sobre el vértice emparejado hasta que un par de lados correspondientes coincida.
• Cuarto, reflector la figura rotativa sobre este lado emparejado hasta que las cifras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Simbólicamente, escribimos la congruencia e incongruencia de dos triángulos△ABC y △A′ B′C′ de la siguiente manera:

ABC.. A.B.C.{displaystyle ABCcong A'B'C}

ABC≆ ≆ A.B.C.{displaystyle ABCncong A'B'C}

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad de tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

La forma de un triángulo se determina hasta la congruencia especificando dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), dos ángulos y el lado entre ellos (ASA) o dos ángulos y un lado adyacente correspondiente (AAS). Especificar dos lados y un ángulo adyacente (SSA), sin embargo, puede producir dos triángulos diferentes posibles.

Determinación de la congruencia

Se puede demostrar suficiente evidencia de congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano a través de las siguientes comparaciones:

• SAS (la parte del triángulo): Si dos pares de lados de dos triángulos son iguales en longitud, y los ángulos incluidos son iguales en medida, entonces los triángulos son congruentes.
• SSS - ¿Qué? Si tres pares de lados de dos triángulos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.
• ASA (ángulo lado-ángulo): Si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medida, y los lados incluidos son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.

El postulado ASA fue aportado por Tales de Mileto (griego). En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios (SAS, SSS y ASA) se establecen como teoremas. En el sistema de Grupos de Estudio de Matemáticas Escolares SAS se toma como uno (#15) de 22 postulados.

• AAS (ángulo-ángulo-lado): Si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en medición, y un par de los lados no incluidos correspondientes son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes. AAS es equivalente a una condición ASA, por el hecho de que si se dan dos ángulos, así es el tercer ángulo, ya que su suma debe ser de 180°. ASA y AAS a veces se combinan en una sola condición, AAcorrS – cualquier dos ángulos y un lado correspondiente.
• RHS (derecho-ángulo-hipotenusa-side), también conocido como HL (Hipotenuse-leg): Si dos triángulos recto-ángulos tienen sus hipotensiones iguales en longitud, y un par de otros lados son iguales en longitud, entonces los triángulos son congruentes.

Lado-lado-ángulo

La condición SSA (lado-lado-ángulo) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocido como ASS o ángulo-lado-lado) no prueba por sí misma la congruencia. Para mostrar congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:

Si dos triángulos cumplen la condición SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual que la longitud del lado adyacente (SSA, o lado largo-ángulo lateral corto), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto a veces es más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como el postulado de la hipotenusa-cateto (HL) o la condición del lado de la hipotenusa del ángulo recto (RHS), el tercer lado se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras, lo que permite que el postulado SSS sea aplicado.

Si dos triángulos cumplen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente lado), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero más información que los distinga puede conducir a una prueba de congruencia.

Ángulo-ángulo-ángulo

En geometría euclidiana, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180°) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo prueba similitud y no congruencia en el espacio euclidiano.

Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura de superficie dada.

CPCTC

Este acrónimo significa Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes, que es una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes.

Con más detalle, es una forma sucinta de decir que si los triángulos ABC y DEF son congruentes, es decir,

  ABC..   DEF,{displaystyle triangle ABCcong triangle DEF,}

con los correspondientes pares de ángulos en los vértices A y D; B y E; y C y F, y con los correspondientes pares de lados AB y DE; BC y EF; y CA y FD, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas:

AB̄ ̄ .. DĒ ̄ {displaystyle {beline {}cong {overline {}}}

BC̄ ̄ .. EF̄ ̄ {displaystyle {overline {}cong {overline {EF}}

AC̄ ̄ .. DF̄ ̄ {displaystyle {overline {}cong {overline {DF}}

∠ ∠ BAC.. ∠ ∠ EDF{displaystyle angle BACcong angle EDF}

∠ ∠ ABC.. ∠ ∠ DEF{displaystyle angle ABCcong angle DEF}

∠ ∠ BCA.. ∠ ∠ EFD.{displaystyle angle BCAcong angle EFD.}

La declaración se usa a menudo como justificación en pruebas de geometría elemental cuando se necesita una conclusión de la congruencia de las partes de dos triángulos después de que se haya establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes según los criterios SSS y se necesita una declaración de que los ángulos correspondientes son congruentes en una prueba, entonces se puede usar CPCTC como justificación de esta declaración.

Un teorema relacionado es CPCFC, en el que "triángulos" se sustituye por "cifras" por lo que el teorema se aplica a cualquier par de polígonos o poliedros que sean congruentes.

Definición de congruencia en geometría analítica

En un sistema euclidiano, la congruencia es fundamental; es la contrapartida de la igualdad de números. En geometría analítica, la congruencia puede definirse intuitivamente así: dos asignaciones de figuras en un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier dos puntos en la primera asignación, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en el segundo mapeo.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclidiano Rⁿ se llaman congruentes si existe una isometría f: Rⁿ → Rⁿ (un elemento del grupo euclidiano E(n)) con f(A) = B. La congruencia es una relación de equivalencia.

Secciones cónicas congruentes

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, la igualdad de las cuales es suficiente para establecer la similitud, y el segundo parámetro entonces establece el tamaño. Desde dos círculos, parabolas o hiperbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de parabolas, y 2{displaystyle {sqrt {2}} en el caso de hiperbolas rectangulares), dos círculos, parabolas o hiperbolas rectangulares necesitan tener sólo otro valor de parámetro común, estableciendo su tamaño, para que sean congruentes.

Poliedros congruentes

Para dos poliedros con el mismo tipo combinatorio (es decir, el mismo número E de aristas, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes), existe un conjunto de medidas E que pueden establecer si la los poliedros son congruentes. El número es ajustado, lo que significa que las medidas inferiores a E no son suficientes si los poliedros son genéricos entre su tipo combinatorio. Pero menos medidas pueden funcionar para casos especiales. Por ejemplo, los cubos tienen 12 aristas, pero 9 medidas son suficientes para decidir si un poliedro de ese tipo combinatorio es congruente con un cubo regular dado.

Triángulos congruentes en una esfera

Al igual que con los triángulos planos, en una esfera dos triángulos que comparten la misma secuencia de ángulo-lado-ángulo (ASA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). Esto se puede ver de la siguiente manera: uno puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y recorrer el lado con longitud dada hasta el primer meridiano. Conocer ambos ángulos en cada extremo del segmento de longitud fija asegura que los otros dos lados emanan con una trayectoria determinada de manera única y, por lo tanto, se encontrarán en un punto determinado de manera única; por lo tanto, ASA es válido.

Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) también se cumplen en una esfera; además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia idéntica de ángulo-ángulo-ángulo (AAA), son congruentes (a diferencia de los triángulos planos).

El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no se cumple para triángulos esféricos. Al igual que en la geometría plana, el ángulo de lado a lado (SSA) no implica congruencia.

Notación

Un símbolo comúnmente utilizado para la congruencia es un símbolo igual con una tilde encima, ≅, que corresponde al carácter Unicode 'aproximadamente igual a' (U+2245). En el Reino Unido, a veces se usa el signo igual de tres barras ≡ (U+2261).