Conexión Levi-Civita

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Affine la conexión en el paquete tangente de un múltiple

En la geometría riemanniana o pseudoriemanniana (en particular, la geometría lorentziana de la relatividad general), la conexión Levi-Civita es la única conexión afín en el haz tangente de una variedad (es decir, conexión afín) que conserva la (pseudo-) métrica riemanniana y está libre de torsión.

El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que existe una conexión única que satisface estas propiedades.

En la teoría de variedades riemannianas y pseudo-riemannianas, el término derivada covariante se usa a menudo para la conexión Levi-Civita. Los componentes (coeficientes de estructura) de esta conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel.

Historia

La conexión Levi-Civita lleva el nombre de Tullio Levi-Civita, aunque originalmente "descubierta" de Elwin Bruno Christoffel. Levi-Civita, junto con Gregorio Ricci-Curbastro, utilizó los símbolos de Christoffel para definir la noción de transporte paralelo y explorar la relación del transporte paralelo con la curvatura, desarrollando así la noción moderna de holonomía.

En 1869, Christoffel descubrió que las componentes de la derivada intrínseca de un campo vectorial, al cambiar el sistema de coordenadas, se transforman como las componentes de un vector contravariante. Este descubrimiento fue el verdadero comienzo del análisis tensorial.

En 1906, L. E. J. Brouwer fue el primer matemático en considerar el transporte paralelo de un vector para el caso de un espacio de curvatura constante.

En 1917, Levi-Civita señaló su importancia para el caso de una hipersuperficie inmersa en un espacio euclidiano, es decir, para el caso de un manifold Riemanniano incrustado en un espacio ambiente "más grande". Interpretó el derivado intrínseco en el caso de una superficie incrustada como el componente tangencial del derivado habitual en el espacio afinario ambiente. Las nociones de Levi-Civita de desplazamientos derivados intrínsecos y paralelos de un vector a lo largo de una curva tienen sentido en un manifold abstracto de Riemann, aunque la motivación original dependía de un embedding específico ${displaystyle M^{n}subset mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

En 1918, independientemente de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obtuvo resultados análogos. En el mismo año, Hermann Weyl generalizó Resultados de Levi-Civita.

Notación

$() M, g)$ denota un manifold Riemanniano o pseudo-Riemanniano.
$TM$ es el paquete tangente $M$ .
$g$ es la métrica Riemanniana o pseudo-Riemanniana $M$ .
$X, Y, Z$ son campos vectoriales lisos en $M$ , i. e. secciones lisas de $TM$ .
$[X, Y]$ es el soporte de Lie $X$ y $Y$ . Otra vez es un campo vectorial liso.

La métrica $g$ puede tomar hasta dos vectores o campos vectoriales $X, Y$ como argumentos. En el caso anterior la salida es un número, el (pseudo-) producto interno de $X$ y $Y$ . En este último caso, el producto interno de $X p, Y p$ se toma en todos los puntos $p$ en el manifold para que $g () X, Y)$ define una función suave en $M$ . Los campos vectoriales actúan (por definición) como operadores diferenciales en funciones lisas. En coordenadas locales ${displaystyle (x_{1},ldotsx_{n})}$ , la acción dice

{displaystyle X(f)=X^{i}{frac {partial }{partial x^{i}}}f=X^{i}partial _{i}f}

donde se usa la convención de suma de Einstein.

Definición formal

Una conexión afín $\nabla$ se denomina conexión Levi-Civita si

conserva la métrica, es decir, $Silencio g = 0$ .
es libre de torsiónPara cualquier campo vectorial $X$ y $Y$ tenemos $Silencio X Y - Y X = X, Y]$ , donde $[X, Y]$ es el soporte de Lie de los campos vectoriales $X$ y $Y$ .

La condición 1 anterior a veces se denomina compatibilidad con la métrica, y la condición 2 a veces se denomina simetría, cf. Haz el texto de Carmo.

Teorema fundamental de la (pseudo) Geometría de Riemann

Theorem Cada pseudo manifold Riemanniano $(M,g)$ tiene una conexión Levi Civita única $nabla$ .

prueba: Si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única. Para ver esto, desentrañe la definición de la acción de una conexión en tensores para encontrar

{displaystyle X{bigl (}g(Y,Z){bigr)}=(nabla _{X}g)(Y,Z)+g(nabla _{X}Y,Z)+g(Y,nabla _{X}Z).}

Por lo tanto, podemos escribir la condición 1 como

{displaystyle X{bigl (}g(Y,Z){bigr)}=g(nabla _{X}Y,Z)+g(Y,nabla _{X}Z).}

Por la simetría del tensor métrico $g$ entonces encontramos:

{displaystyle X{bigl (}g(Y,Z){bigr)}+Y{bigl (}g(Z,X){bigr)}-Z{bigl (}g(Y,X){bigr)}=g(nabla _{X}Y+nabla _{Y}X,Z)+g(nabla _{X}Z-nabla _{Z}X,Y)+g(nabla _{Y}Z-nabla _{Z}Y,X).}

Por la condición 2, el lado derecho es por lo tanto igual a

{displaystyle 2g(nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),}

y encontramos la fórmula de Koszul

{displaystyle g(nabla _{X}Y,Z)={tfrac {1}{2}}{Big {}X{bigl (}g(Y,Z){bigr)}+Y{bigl (}g(Z,X){bigr)}-Z{bigl (}g(X,Y){bigr)}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){Big }}.}

Por lo tanto, si existe una conexión Levi-Civita, debe ser única, porque $Z$ es arbitrario, $g$ no es degenerado, y el lado derecho no depende de $nabla$ .

Para probar la existencia, note que para el campo vectorial dado $X$ y $Y$ , el lado derecho de la expresión Koszul es lineal función en el campo vectorial $Z$ No sólo lineal. Por lo tanto, por la no degeneración $g$ , el lado derecho define singularmente un nuevo campo vectorial que sugerimos denota $nabla _{X}Y$ como en el lado izquierdo. Al sustituir la fórmula Koszul, uno ahora comprueba que para todos los campos vectoriales ${displaystyle X,Y,Z}$ , y todas las funciones $f$

{displaystyle g(nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(nabla _{X}Y_{1},Z)+g(nabla _{X}Y_{2},Z)}

{displaystyle g(nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(nabla _{X}Y,Z)}

{displaystyle g(nabla _{X}Y,Z)+g(nabla _{X}Z,Y)=X{bigl (}g(Y,Z){bigr)}}

{displaystyle g(nabla _{X}Y,Z)-g(nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}

Por lo tanto, la expresión de Koszul, de hecho, define una conexión, y esta conexión es compatible con la métrica y está libre de torsión, es decir, es (por lo tanto, la) conexión Levi-Civita.

Tenga en cuenta que, con variaciones menores, la misma prueba muestra que existe una conexión única que es compatible con la métrica y tiene torsión prescrita.

Símbolos de Christoffel

Vamos $nabla$ ser una conexión afinada en el paquete tangente. Elija coordenadas locales $x^{1},ldotsx^{n}$ con campos vectoriales de base coordinada ${displaystyle partial _{1},ldotspartial _{n}}$ y escribir $nabla _{j}$ para ${displaystyle nabla _{partial _{j}}}$ . Los símbolos de Christoffel ${displaystyle Gamma _{jk}^{l}}$ de $nabla$ con respecto a estas coordenadas se definen como

{displaystyle nabla _{j}partial _{k}=Gamma _{jk}^{l}partial _{l}}

Los símbolos de Christoffel definen la conexión $nabla$ en el barrio de coordenadas porque

{displaystyle {begin{aligned}nabla _{X}Y&=nabla _{X^{j}partial _{j}}(Y^{k}partial _{k})\&=X^{j}nabla _{j}(Y^{k}partial _{k})\&=X^{j}{bigl (}partial _{j}(Y^{k})partial _{k}+Y^{k}nabla _{j}partial _{k}{bigr)}\&=X^{j}{bigl (}partial _{j}(Y^{k})partial _{k}+Y^{k}Gamma _{jk}^{l}partial _{l}{bigr)}\&=X^{j}{bigl (}partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}Gamma _{jk}^{l}{bigr)}partial _{l}end{aligned}}}

es decir,

{displaystyle (nabla _{j}Y)^{l}=partial _{j}Y^{l}+Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}

Una conexión afinada $nabla$ es compatible con un iff métrico

{displaystyle partial _{i}{bigl (}g(partial _{j},partial _{k}){bigr)}=g(nabla _{i}partial _{j},partial _{k})+g(partial _{j},nabla _{i}partial _{k})=g(Gamma _{ij}^{l}partial _{l},partial _{k})+g(partial _{j},Gamma _{ik}^{l}partial _{l})}

es decir, si y solo si

{displaystyle partial _{i}g_{jk}=Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}

Una conexión afín $\nabla$ está libre de torsión iff

{displaystyle nabla _{j}partial _{k}-nabla _{k}partial _{j}=(Gamma _{jk}^{l}-Gamma _{kj}^{l})partial _{l}=[partial _{j},partial _{k}]=0.}

es decir, si y solo si

{displaystyle Gamma _{jk}^{l}=Gamma _{kj}^{l}}

es simétrico en sus dos índices inferiores.

Como un cheque al tomar para $X,Y,Z$ , coordinar campos vectoriales ${displaystyle partial _{j},partial _{k},partial _{l}}$ (o computa directamente), la expresión Koszul de la conexión Levi-Civita derivada arriba es equivalente a una definición de los símbolos Christoffel en términos de la métrica como

{displaystyle Gamma _{jk}^{l}={tfrac {1}{2}}g^{lr}left(partial _{k}g_{rj}+partial _{j}g_{rk}-partial _{r}g_{jk}right)}

como siempre $g^{ij}$ son los coeficientes del doble tensor métrico, es decir, las entradas del inverso de la matriz ${displaystyle g_{kl}}$ .

Derivada a lo largo de la curva

La conexión Levi-Civita (como cualquier conexión afín) también define una derivada a lo largo de las curvas, a veces denotada por $D$ .

Dada una curva suave $γ$ en $(M, g)$ y un campo vectorial $V$ a lo largo de $γ$ su derivada está definida por

D_{t}V=nabla _{{{dot gamma }(t)}}V.

Formalmente, $D$ es la conexión pullback $γ *\nabla$ en el paquete de retroceso $γ * TM$ .

En particular, ${dot gamma }(t)$ es un campo vectorial a lo largo de la curva $γ$ en sí mismo. Si ${displaystyle nabla _{{dot {gamma }}(t)}{dot {gamma }}(t)}$ desaparece, la curva se llama geodésica del derivado covariante. Formalmente, la condición se puede reposar al desaparecer la conexión de retroceso aplicada a ${dot {gamma }}$ :

{displaystyle left(gamma ^{*}nabla right){dot {gamma }}equiv 0.}

Si la derivada covariante es la conexión Levi-Civita de una determinada métrica, entonces las geodésicas de la conexión son precisamente aquellas geodésicas de la métrica que están parametrizadas proporcionalmente a su longitud de arco.

Transporte paralelo

En general, el transporte paralelo a lo largo de una curva con respecto a una conexión define isomorfismos entre los espacios tangentes en los puntos de la curva. Si la conexión es una conexión Levi-Civita, entonces estos isomorfismos son ortogonales, es decir, conservan los productos internos en los diversos espacios tangentes.

Las imágenes de abajo muestran el transporte paralelo de la conexión Levi-Civita asociada a dos métricas Riemannianas diferentes en el plano, expresadas en coordenadas polares. La métrica de la imagen izquierda corresponde a la métrica Euclideana estándar ${displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}dtheta ^{2}}$ , mientras que la métrica de la derecha tiene forma estándar en coordenadas polares (cuando $r=1$ ), y así preserva el vector ${displaystyle {partial over partial theta }}$ tangente al círculo. Esta segunda métrica tiene una singularidad en el origen, como puede verse al expresarla en coordenadas cartesianas:

{displaystyle dr={frac {xdx+ydy}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}

{displaystyle dtheta ={frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}

{displaystyle dr^{2}+dtheta ^{2}={frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}

Transportes paralelos bajo conexiones Levi-Civita

Este transporte es dado por la métrica

{displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}dtheta ^{2}}

Este transporte es dado por la métrica

{displaystyle ds^{2}=dr^{2}+dtheta ^{2}}

Ejemplo: la esfera unitaria en R3

Vamos $.$ ser el producto de escalar habitual en $R 3$ . Vamos $S 2$ ser la esfera de unidad en $R 3$ . El espacio tangente a $S 2$ en un momento $m$ se identifica naturalmente con el subespacio vectorial $R 3$ que consiste en todos los vectores ortogonales a $m$ . Sigue que un campo vectorial $Y$ on $S 2$ se puede ver como un mapa $Y : S 2 \to R 3$ , que satisfice ${bigl langle }Y(m),m{bigr rangle }=0,qquad forall min mathbf {S} ^{2}.$

Denote como $d m Y (X)$ la derivada covariante del mapa $Y$ en la dirección del vector $X$ . Entonces nosotros tenemos:

Lemma—La fórmula

{displaystyle left(nabla _{X}Yright)(m)=d_{m}Y(X)+langle X(m),Y(m)rangle m}

define una conexión afinada en

S 2

con torsión desaparecida.

Prueba

Es sencillo probar que $Silencio$ satisface la identidad de Leibniz y es $C JUEGO () S 2)$ lineal en la primera variable. También es una computación directa para demostrar que esta conexión es libre de torsión. Así que todo lo que hay que probar aquí es que la fórmula anterior realmente define un campo vectorial. Es decir, necesitamos probar eso para todos $m$ dentro $S 2$

{displaystyle {bigl langle }left(nabla _{X}Yright)(m),m{bigr rangle }=0qquad (1).}

Considerar el mapa

f

que envía cada

m

dentro

S 2

. Y () m), m .

, que es siempre 0. El mapa

f

es constante, por lo tanto su diferencial desaparece. En particular

{displaystyle d_{m}f(X)={bigl langle }d_{m}Y(X),m{bigr rangle }+{bigl langle }Y(m),X(m){bigr rangle }=0.}

La ecuación (1) arriba sigue. Q.E.D.

De hecho, esta conexión es la conexión Levi-Civita para la métrica en $S 2$ heredada de $R 3$ . De hecho, se puede comprobar que esta conexión conserva la métrica.

Contenido relacionado

Más resultados...