Conexión Galois

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, una conexión de Galois es una correspondencia particular (típicamente) entre dos conjuntos parcialmente ordenados (posets). Las conexiones de Galois encuentran aplicaciones en varias teorías matemáticas. Generalizan el teorema fundamental de la teoría de Galois sobre la correspondencia entre subgrupos y subcampos, descubierto por el matemático francés Évariste Galois.

También se puede definir una conexión Galois en conjuntos o clases reservados; este artículo presenta el caso común de posets. La literatura contiene dos nociones estrechamente relacionadas de "conexión de Galois". En este artículo, nos referiremos a ellas como conexiones (monótonas) de Galois y conexiones de antítono de Galois.

Una conexión de Galois es bastante débil en comparación con un isomorfismo de orden entre los conjuntos de poses involucrados, pero cada conexión de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos subconjuntos, como se explicará a continuación. El término correspondencia de Galois se utiliza a veces para referirse a una conexión de Galois biyectiva; esto es simplemente un isomorfismo de orden (o isomorfismo de orden dual, dependiendo de si tomamos conexiones de Galois monótonas o antítonas).

Definiciones

(Monótona) conexión de Galois

Sean (A, ≤) y (B, ≤) ser dos conjuntos parcialmente ordenados. Una conexión monótona de Galois entre estas posets consta de dos funciones monótonas: F: A → B y G: B → A, tal que para todos los a en A y b en B, tenemos

F()a≤ b si a ≤ G()b).

En esta situación, F se denomina junto inferior de G y G se denomina superior adjunto de F. Nemónicamente, la terminología superior/inferior se refiere a dónde aparece la aplicación de la función en relación con ≤. El término "junto" se refiere al hecho de que las conexiones monótonas de Galois son casos especiales de pares de funtores adjuntos en la teoría de categorías, como se analiza más adelante. Otra terminología encontrada aquí es junto izquierdo (resp. junto derecho) para el adjunto inferior (resp. superior).

Una propiedad esencial de una conexión de Galois es que un adjunto superior/inferior de una conexión de Galois únicamente determina a la otra:

F()a) es el elemento menos ~b con a ≤ G()~b), y

G()b) es el elemento más grande ~a con F()~a≤ b.

Una consecuencia de esto es que si F o G es invertible, entonces cada uno es el inverso del otro, es decir, F = G ⁻¹.

Dada una conexión de Galois con adjunto inferior F y adjunto superior G, podemos considerar las composiciones GF: A → A, conocido como el operador de cierre asociado, y FG: B → B, conocido como el operador de kernel asociado. Ambos son monótonos e idempotentes, y tenemos a ≤ GF(a) para todos a en A y FG(b) ≤ b para todos los estilos b en B.

Una inserción de Galois de B en A es una conexión de Galois en la que el operador del kernel FG es la identidad en B, y por lo tanto G es un isomorfismo de orden de B sobre el conjunto de elementos cerrados GF [A] de A.

Conexión Antitone Galois

La definición anterior es común en muchas aplicaciones hoy en día y destaca en la teoría de celosía y dominio. Sin embargo, la noción original en la teoría de Galois es ligeramente diferente. En esta definición alternativa, una conexión de Galois es un par de antitonas, es decir, funciones de inversión de orden F: A → B y G: B → A entre dos posets A y B, tal que

b ≤ F()a) si a ≤ G()b).

La simetría de F y G en esta versión borra la distinción entre superior e inferior, y las dos funciones se denominan polaridades en lugar de adjuntos. Cada polaridad determina de manera única a la otra, ya que

F()a) es el elemento más grande b con a ≤ G()b), y

G()b) es el elemento más grande a con b ≤ F()a).

Las composiciones GF: A → A y FG: B → B son los operadores de cierre asociados; son mapas monótonos idempotentes con la propiedad a ≤ GF(a) para todo a en A y b ≤ FG(b) para todos los b en B.

Las implicaciones de las dos definiciones de conexiones de Galois son muy similares, ya que una conexión de antítono Galois entre A y B es solo una conexión monótona de Galois entre A y el orden dual B^op de B. Todas las declaraciones a continuación sobre conexiones de Galois se pueden convertir fácilmente en declaraciones sobre conexiones de antítono Galois.

Ejemplos

Conexiones monótonas de Galois

Conjunto de energía; implicación y conjunción

Para un ejemplo de orden teórico, deje que U sea un conjunto, y deje que A y B ambos son el conjunto de poder de U, ordenadas por inclusión. Elija un subconjunto fijo L de U. Luego los mapas F y G, donde F(M ) = L ∩ M, y G(N ) = N ∪ (U  L), forman una conexión monótona de Galois, con F siendo el adjunto inferior. Una conexión de Galois similar cuyo adjunto inferior está dado por la operación de encuentro (ínfimo) se puede encontrar en cualquier álgebra de Heyting. Especialmente, está presente en cualquier álgebra booleana, donde las dos asignaciones pueden describirse mediante F(x) = (a ∧ x) y G( y) = (  y ∨ ¬a) = (a ⇒ y). En términos lógicos: "implicación de a" es el adjunto superior de "conjunción con a".

Celosías

Más ejemplos interesantes de conexiones de Galois se describen en el artículo sobre propiedades de completitud. En términos generales, resulta que las funciones habituales ∨ y ∧ son adjuntos inferior y superior del mapa diagonal X → X × X. Los elementos menor y mayor de un orden parcial están dados por los adjuntos inferior y superior de la función única X → {1}. Yendo más allá, incluso completa Las redes se pueden caracterizar por la existencia de adjuntos adecuados. Estas consideraciones dan una idea de la ubicuidad de las conexiones de Galois en la teoría del orden.

Acciones grupales transitivas

Dejemos que G actúe transitivamente sobre X y seleccione algún punto x en X. Considerar

B={}B⊆ ⊆ X:x▪ ▪ B;О О g▪ ▪ G,gB=BorgB∩ ∩ B=∅ ∅ },{displaystyle {fnMithcal {fnh}=\cHFF} Bsubseteq X:xin B;forall gin G,gB=B\mathrm {or} gBcap B=emptyset}}

el conjunto de bloques que contiene x. Más adelante, G{displaystyle {Mathcal {}}} consiste en los subgrupos de G que contiene el estabilizador x.

Entonces, la correspondencia B→ → G{displaystyle {fnMithcal {fnMicrosoft Sans Serif}to} {fnMicrosoft Sans Ser} {fnMitcal {}}:

B↦ ↦ HB={}g▪ ▪ G:gx▪ ▪ B}{displaystyle Bmapsto H_{B}=gin G:gxin B}

es una conexión monótona de Galois de uno a uno. Como corolario, se puede establecer que las acciones doblemente transitivas no tienen más bloques que los triviales (singletons o la totalidad de X): esto se debe a que los estabilizadores son máximos en G en ese caso. Consulte Grupo doblemente transitivo para obtener más información.

Imagen e imagen inversa

Si  f: X → Y es una función, entonces para cualquier subconjunto M de X nosotros puede formar la imagen F(M ) =  f M = { f (m) | m ∈ M} y para cualquier subconjunto N de Y podemos formar la imagen inversa G(N ) =  f ⁻¹N = {x ∈ X | f (x) ∈ N}. Entonces F y G forman una conexión monótona de Galois entre el conjunto de potencia de X y el conjunto de potencia de Y, ambos ordenados por inclusión ⊆. Hay otro par adjunto en esta situación: para un subconjunto M de X, define H(M) = {y ∈ Y | f ⁻¹{y} ⊆ M}. Entonces G y H forman una monótona conexión Galois entre el poder conjunto de Y y el conjunto de potencia de X. En la primera conexión de Galois, G es el adjunto superior, mientras que en la segunda conexión de Galois sirve como adjunto inferior.

En el caso de un mapa de cociente entre objetos algebraicos (como grupos), esta conexión se denomina teorema de la red: subgrupos de G conecta a subgrupos de G/N, y el operador de cierre en subgrupos de G está dada por H = HN.

Lapso y cierre

Elija algún objeto matemático X que tenga un conjunto subyacente, por ejemplo, un grupo, un anillo, un espacio vectorial, etc. Para cualquier subconjunto S de X, sea F(S ) el subobjeto más pequeño de X que contiene S, es decir, el subgrupo, subanillo o subespacio generado por S. Para cualquier subobjeto U de X, sea G(U ) el conjunto subyacente de U. (Incluso podemos tomar X como un espacio topológico, sea F(S ) el cierre de S, y tomar como "subobjetos de X " los subconjuntos cerrados de X.) Ahora F y G forman una conexión Galois monótona entre subconjuntos de X y subobjetos de X, si ambos están ordenados por inclusión. F es el adjunto inferior.

Sintaxis y semántica

Un comentario muy general de William Lawvere es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: toma A ser el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones), y B el conjunto potencia del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T ∈ A, sea Mod(T ) sea el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas T ; para un conjunto de estructuras matemáticas S ∈ B, sea Th( S ) sea el mínimo de las axiomatizaciones que aproximan S (en lógica de primer orden, este es el conjunto de oraciones que son verdaderas en todas las estructuras en S). Entonces podemos decir que Mod(T ) es un subconjunto de S si y solo si T implica lógicamente Th(S  ): el "funtor semántico" Mod y el "funtor de sintaxis" Th forman una conexión monótona de Galois, siendo la semántica el adjunto superior.

Conexiones de Antitone Galois

Teoría de Galois

El ejemplo motivador proviene de la teoría de Galois: suponga que L/K es una extensión de campo. Sea A el conjunto de todos los subcampos de L que contienen K, ordenados por inclusión ⊆. Si E es uno de esos subcampos, escriba Gal(L/ E) para el grupo de automorfismos de campo de L que contienen E corregido. Sea B el conjunto de subgrupos de Gal(L/ K), ordenados por inclusión ⊆. Para tal subgrupo G, defina Fix(G) para que sea el campo que consta de todos los elementos de L que se mantienen fijos por todos los elementos de G. Luego los mapas E ↦ Gal(L/E) y G ↦ Fix(G) forman una conexión de antítono Galois.

Topología algebraica: cubrir espacios

De manera análoga, dado un espacio topológico conectado por caminos X, existe una conexión de Galois de antitono entre los subgrupos del grupo fundamental π₁(X) y espacios de cobertura conectados por ruta de X. En particular, si X está semilocalmente conectado simplemente, entonces para cada subgrupo G de π₁(X), hay un espacio de cobertura con G como su grupo fundamental.

Álgebra lineal: aniquiladores y complementos ortogonales

Dado un espacio producto interior V, podemos formar el complemento ortogonal F(X ) de cualquier subespacio X de V. Esto produce una conexión Galois de antitono entre el conjunto de subespacios de V y él mismo, ordenados por inclusión; ambas polaridades son iguales a F.

Dado un espacio vectorial V y un subconjunto X de V podemos definir su aniquilador F (X ), que consta de todos los elementos del espacio dual V ^∗ de V que desaparecen en X. De manera similar, dado un subconjunto Y de V ^∗ , definimos su aniquilador G(Y ) = { x ∈ V | φ(x) = 0 ∀φ ∈ Y }. Esto da una conexión de Galois de antitono entre los subconjuntos de V y los subconjuntos de V ^∗.

Geometría algebraica

En geometría algebraica, la relación entre conjuntos de polinomios y sus conjuntos cero es una conexión de Galois antitono.

Fijar un número natural n y un campo K y sea A el conjunto de todos los subconjuntos del anillo polinomial K[X₁,..., X_n] ordenado por inclusión ⊆, y sea B el conjunto de todos los subconjuntos de Kⁿ ordenados por inclusión ⊆. Si S es un conjunto de polinomios, define la variedad de ceros como

V()S)={}x▪ ▪ Kn:f()x)=0para todosf▪ ▪ S},{displaystyle V(S)={xin K^{n}:f(x)=0{mbox{ for all }fin S}}

el conjunto de ceros comunes de los polinomios en S. Si U es un subconjunto de Kⁿ, define I(U ) como el ideal de polinomios que desaparecen en U, es decir

I()U)={}f▪ ▪ K[X1,...... ,Xn]:f()x)=0para todosx▪ ▪ U}.{displaystyle I(U)={fin K[X_{1},dotsX_{n}]:f(x)=0{mbox{ for all }xin U}

Entonces V y I forman una conexión de Galois de antitono.

El cierre en Kⁿ es el cierre en la topología de Zariski, y si el campo K es algebraicamente cerrado, entonces el cierre del polinomio es el radical del ideal generado por S.

Más generalmente, dado un anillo conmutativo R (no necesariamente un anillo polinomial), hay una conexión de Galois de antítono entre el radical ideales en el anillo y subvariedades de la variedad afín Spec(R).

De manera más general, existe una conexión antítono Galois entre los ideales en el ring y los subesquemas de la variedad afín correspondiente.

Conexiones sobre conjuntos de potencias que surgen de relaciones binarias

Suponga que X y Y son conjuntos arbitrarios y una relación binaria R sobre X y Y. Para cualquier subconjunto M de X, definimos F(M ) = { y ∈ Y | mRy ∀m ∈ M }. De manera similar, para cualquier subconjunto N de Y, defina G (N ) = { x ∈ X | xRn ∀n ∈ N }. Entonces F y G producen una conexión de Galois de antitono entre los conjuntos de potencia de X y Y, ambos ordenados por inclusión ⊆.

Hasta el isomorfismo, todas las conexiones de antítono Galois entre conjuntos de potencia surgen de esta manera. Esto se deduce del "Teorema básico sobre retículas conceptuales". La teoría y las aplicaciones de las conexiones de Galois que surgen de las relaciones binarias se estudian en el análisis de conceptos formales. Ese campo utiliza conexiones de Galois para el análisis de datos matemáticos. Muchos algoritmos para conexiones de Galois se pueden encontrar en la literatura respectiva, por ejemplo, en.

Propiedades

A continuación, consideramos una conexión Galois (monótona)  f = ( f ^∗, f_∗), donde  f ^∗: A → B es el adjunto inferior como se presentó anteriormente. Algunas propiedades básicas útiles e instructivas se pueden obtener de inmediato. Por la propiedad definitoria de las conexiones de Galois,  f ^∗(x) ≤  f ^∗(x) es equivalente a x ≤  f_∗( f ^∗(x)), para todos los x en A. Por un razonamiento similar (o simplemente aplicando el principio de dualidad para la teoría del orden), uno encuentra que  f ^∗( f_∗(y)) ≤ y, para todos y en B. Estas propiedades se pueden describir diciendo el compuesto  f ^∗∘ f_∗ es deflacionario, mientras que  f_∗∘ f ^∗ es inflacionario (o extensivo).

Ahora considere x, y ∈ A tal que x ≤ y. Luego, usando lo anterior se obtiene x ≤  f_∗( f ^∗(y)). Aplicando la propiedad básica de las conexiones de Galois, ahora se puede concluir que  f ^∗(x) ≤  f ^∗(y). Pero esto solo muestra que  f ^∗ conserva el orden de dos elementos, es decir, es monótono. Nuevamente, un razonamiento similar produce monotonicidad de  f_∗. Por lo tanto, la monotonicidad no tiene que incluirse explícitamente en la definición. Sin embargo, mencionar la monotonicidad ayuda a evitar confusiones sobre las dos nociones alternativas de conexiones de Galois.

Otra propiedad básica de las conexiones de Galois es el hecho de que  f_∗( f ^∗ ( f_∗(x))) =  f_∗ (x), para todos los x en B. Claramente encontramos que

f_Alternativa()f^Alternativa()f_Alternativa()x)) ≥f_Alternativa()x).

porque  f_∗∘ f ^∗ es inflacionario como se muestra arriba. Por otro lado, dado que  f ^∗∘ f_∗ es deflacionario, mientras que  f_∗ es monótono, uno encuentra que

f_Alternativa()f^Alternativa()f_Alternativa()x)) ≤f_Alternativa()x).

Esto muestra la igualdad deseada. Además, podemos usar esta propiedad para concluir que

f^Alternativa()f_Alternativa()f^Alternativa()f_Alternativa()x)) =f^Alternativa()f_Alternativa()x)

y

f_Alternativa()f^Alternativa()f_Alternativa()f^Alternativa()x)) =f_Alternativa()f^Alternativa()x)

es decir,  f ^∗∘ f_∗ y  f_∗∘ f ^∗ son idempotentes.

Se puede demostrar (ver Blyth o Erné para pruebas) que una función  f  es un adjunto inferior (resp. superior) si y solo si  f  es una asignación residual (resp. asignación residual). Por lo tanto, la noción de mapeo residual y conexión monótona de Galois son esencialmente las mismas.

Operadores de cierre y conexiones Galois

Los hallazgos anteriores se pueden resumir de la siguiente manera: para una conexión de Galois, el compuesto  f_∗∘ f ^∗ es monótono (siendo el compuesto de funciones monótonas), inflacionario e idempotente. Esto establece que  f_∗∘ f ^∗ está en hecho un operador de cierre en A. Dualmente,  f ^∗∘ f_∗ es monótono, deflacionario e idempotente. Estas asignaciones a veces se denominan operadores del kernel. En el contexto de marcos y locales, el compuesto  f_∗∘ f ^∗ se denomina núcleo inducido por  f . Los núcleos inducen homomorfismos de marco; un subconjunto de un lugar se llama sublocale si está dado por un núcleo.

Por el contrario, cualquier operador de cierre c en algún poset A da lugar a la conexión de Galois con el adjunto inferior  f ^∗ siendo solo la correstricción de c a la imagen de c (es decir, como un mapeo sobreyectivo del sistema de cierre c(A)). El adjunto superior  f_∗ viene dado por la inclusión de c (A) en A, que asigna cada elemento cerrado a en sí mismo, considerado como un elemento de A. De esta forma, los operadores de cierre y las conexiones de Galois parecen estar estrechamente relacionados, cada uno de los cuales especifica una instancia del otro. Conclusiones similares son válidas para los operadores del kernel.

Las consideraciones anteriores también muestran que los elementos cerrados de A (elementos x con  f_∗( f ^∗ (x)) = x) se asignan a elementos dentro del rango del operador del kernel  f ^∗∘ f_∗, y viceversa.

Existencia y singularidad de las conexiones de Galois

Otra propiedad importante de las conexiones de Galois es que los adjuntos inferiores conservan toda la supremacía que existe dentro de su dominio. Dualmente, los adjuntos superiores conservan todos los ínfimos existentes. De estas propiedades, también se puede concluir inmediatamente la monotonicidad de los adjuntos. El teorema del funtor adjunto para la teoría del orden establece que la implicación inversa también es válida en ciertos casos: especialmente, cualquier mapeo entre redes completas que conserva toda suprema es el adjunto inferior de una conexión de Galois.

En esta situación, una característica importante de las conexiones de Galois es que un adjunto determina únicamente al otro. Por lo tanto, uno puede fortalecer la declaración anterior para garantizar que cualquier aplicación que preserve el supremo entre celosías completas sea el adjunto inferior de una única conexión de Galois. La propiedad principal para derivar esta singularidad es la siguiente: Para cada x en A,  f ^∗(x) es el elemento menor y de B tal que x ≤  f_∗(y). Dualmente, para cada y en B,  f_∗(y) es la mejor x en A tal que  f ^∗(x) ≤ y. La existencia de una cierta conexión de Galois ahora implica la existencia de los respectivos elementos mínimos o máximos, sin importar si los posets correspondientes satisfacen alguna propiedad de completitud. Así, cuando se da un adjunto superior de una conexión de Galois, el otro adjunto superior se puede definir a través de esta misma propiedad.

Por otro lado, alguna función monótona  f es un adjunto inferior si y solo si cada conjunto de la forma { x ∈ A | f (x) ≤ b }, para b en B, contiene un elemento mayor. Nuevamente, esto se puede dualizar para el adjunto superior.

Conexiones de Galois como morfismos

Las conexiones de Galois también proporcionan una clase interesante de mapeos entre posets que se pueden usar para obtener categorías de posets. Especialmente, es posible componer conexiones de Galois: dadas las conexiones de Galois ( f ^∗,  f _∗) entre posets A y B y (g^∗, g_∗ ) entre B y C, el compuesto (g^∗ ∘  f ^∗ ,  f_∗ ∘ g_∗) es también una conexión de Galois. Al considerar categorías de celosías completas, esto se puede simplificar para considerar solo mapeos que conservan todos los suprema (o, alternativamente, infima). Mapeando redes completas a sus duales, estas categorías muestran dualidad automática, que es bastante fundamental para obtener otros teoremas de dualidad. Tipos más especiales de morfismos que inducen mapeos adjuntos en la otra dirección son los morfismos generalmente considerados para marcos (o locales).

Conexión con la teoría de categorías

Todo conjunto parcialmente ordenado se puede ver como una categoría de forma natural: hay un único morfismo de x a y si y solo si x ≤ y. Una conexión monótona de Galois no es más que un par de funtores adjuntos entre dos categorías que surgen de conjuntos parcialmente ordenados. En este contexto, el adjunto superior es el adjunto derecho mientras que el adjunto inferior es el adjunto izquierdo. Sin embargo, esta terminología se evita para las conexiones de Galois, ya que hubo un tiempo en que los posets se transformaban en categorías de manera dual, es decir, con morfismos que apuntaban en la dirección opuesta. Esto condujo a una notación complementaria sobre los adjuntos izquierdo y derecho, que hoy es ambigua.

Aplicaciones en la teoría de la programación

Las conexiones de Galois se pueden usar para describir muchas formas de abstracción en la teoría de la interpretación abstracta de los lenguajes de programación.