Conexión cartan

En el campo matemático de la geometría diferencial, una conexión de Cartan es una generalización flexible de la noción de conexión afín. También puede considerarse como una especialización del concepto general de conexión principal, en la que la geometría del haz principal está unida a la geometría del colector base mediante una forma de soldadura. Las conexiones de Cartan describen la geometría de variedades modeladas en espacios homogéneos.

La teoría de las conexiones de Cartan fue desarrollada por Élie Cartan, como parte de (y una forma de formular) su método de mover cuadros (repère mobile). La idea principal es desarrollar una noción adecuada de las formas de conexión y la curvatura utilizando marcos móviles adaptados al problema geométrico particular en cuestión. En relatividad o geometría de Riemann, los marcos ortonormales se utilizan para obtener una descripción de la conexión de Levi-Civita como una conexión de Cartan. Para los grupos de Lie, los marcos Maurer-Cartan se utilizan para ver la forma Maurer-Cartan del grupo como una conexión Cartan.

Cartan reformuló la geometría diferencial de la geometría (pseudo) Riemanniana, así como la geometría diferencial de variedades equipadas con alguna estructura no métrica, incluidos grupos de Lie y espacios homogéneos. El término 'conexión Cartan' se refiere con mayor frecuencia a la formulación de Cartan de una conexión (pseudo)riemanniana, afín, proyectiva o conforme. Aunque estas son las conexiones de Cartan más utilizadas, son casos especiales de un concepto más general.

El enfoque de Cartan parece al principio depender de las coordenadas debido a la elección de los marcos que implica. Sin embargo, no lo es, y la noción puede describirse precisamente utilizando el lenguaje de paquetes principales. Las conexiones de Cartan inducen derivadas covariantes y otros operadores diferenciales en ciertos paquetes asociados, de ahí la noción de transporte paralelo. Tienen muchas aplicaciones en geometría y física: consulte el método de marcos móviles, el formalismo de Cartan y la teoría de Einstein-Cartan para ver algunos ejemplos.

Introducción

En esencia, la geometría consiste en una noción de congruencia entre diferentes objetos en un espacio. A finales del siglo XIX, las nociones de congruencia surgían típicamente de la acción de un grupo de Lie en el espacio. Los grupos de Lie generalmente actúan de manera bastante rígida, por lo que una geometría de Cartan es una generalización de esta noción de congruencia para permitir la presencia de curvatura. Las geometrías planas de Cartan (aquellas con curvatura cero) son localmente equivalentes a espacios homogéneos, de ahí geometrías en el sentido de Klein.

Una geometría de Klein consta de un grupo de Lie G junto con un subgrupo de Lie H de G. Juntos G y H determinan un espacio homogéneo G/H, en el que el grupo G i> actúa por traducción a la izquierda. El objetivo de Klein era entonces estudiar objetos que vivían en un espacio homogéneo y que eran congruentes por la acción de G. Una geometría de Cartan amplía la noción de geometría de Klein al adjuntar a cada punto de una variedad una copia de una geometría de Klein y considerar esta copia como tangente a la variedad. Así, la geometría de la variedad es infinitesimalmente idéntica a la de la geometría de Klein, pero globalmente puede ser bastante diferente. En particular, las geometrías de Cartan ya no tienen una acción bien definida de G sobre ellas. Sin embargo, una conexión de Cartan proporciona una forma de conectar los espacios modelo infinitesimales dentro de la variedad mediante transporte paralelo.

Motivación

Considere una superficie lisa S en el espacio euclidiano tridimensional R³. Cerca de cualquier punto, S puede aproximarse por su plano tangente en ese punto, que es un subespacio afín del espacio euclidiano. Los subespacios afines son superficies modelo: son las superficies más simples en R³ y son homogéneas bajo el grupo euclidiano del plano, por lo que son geometrías de Klein en el sentido del programa Erlangen de Felix Klein. Cada superficie lisa S tiene un plano afín tangente a ella en cada punto. La familia de todos esos planos en R³, uno unido a cada punto de S, se llama congruencia. de planos tangentes. Un plano tangente se puede "rodar" a lo largo de S y, al hacerlo, el punto de contacto traza una curva en S. Por el contrario, dada una curva en S, el plano tangente se puede desplazar a lo largo de esa curva. Esto proporciona una manera de identificar los planos tangentes en diferentes puntos a lo largo de la curva mediante transformaciones afines (de hecho, euclidianas) y es un ejemplo de una conexión de Cartan llamada conexión afín.

Otro ejemplo se obtiene reemplazando los planos, como superficies modelo, por esferas, que son homogéneas bajo el grupo de transformaciones conformes de Möbius. Ya no existe una esfera única tangente a una superficie lisa S en cada punto, puesto que el radio de la esfera es indeterminado. Esto se puede solucionar suponiendo que la esfera tiene la misma curvatura media que S en el punto de contacto. Estas esferas pueden nuevamente rodar a lo largo de curvas en S, y esto equipa a S con otro tipo de conexión de Cartan llamada conexión conforme.

Los geómetras diferenciales de finales del siglo XIX y principios del XX estaban muy interesados en utilizar familias de modelos como planos o esferas para describir la geometría de las superficies. Una familia de espacios modelo unidos a cada punto de una superficie S se denomina congruencia: en los ejemplos anteriores existe una elección canónica de dicha congruencia. Una conexión de Cartan proporciona una identificación entre los espacios modelo en la congruencia a lo largo de cualquier curva en S. Una característica importante de estas identificaciones es que el punto de contacto del espacio modelo con S siempre se mueve con la curva. Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan.

En el tratamiento moderno de las conexiones afines, el punto de contacto se considera el origen en el plano tangente (que entonces es un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante un traducción, por lo que las conexiones de Cartan no son necesarias. Sin embargo, no existe una forma canónica de hacer esto en general: en particular para la conexión conforme de una congruencia de esfera, no es posible separar el movimiento del punto de contacto del resto del movimiento de forma natural.

En ambos ejemplos, el espacio modelo es un espacio homogéneo G/H.

• En el primer caso, G/H es el avión de afin, con G = Aff(R²) el grupo de ataúdes del avión, y H = GL(2) el grupo lineal general correspondiente.
• En el segundo caso, G/H es la esfera conformal (o celestial), con G O⁺(3,1) el grupo Lorentz (ortónico) y H el estabilizador de una línea nula en R^3,1.

La geometría de Cartan de S consiste en una copia del espacio modelo G/H en cada punto de S (con un punto de contacto marcado) junto con una noción de "transporte paralelo" a lo largo de curvas que identifica estas copias utilizando elementos de G. Esta noción de transporte paralelo es genérica en el sentido intuitivo de que el punto de contacto siempre se mueve a lo largo de la curva.

En general, sea G un grupo con un subgrupo H y M una variedad de la misma dimensión que G. /H. Entonces, en términos generales, una conexión de Cartan en M es una conexión G que es genérica con respecto a una reducción a H.

Conexiones afines

Una conexión afín en un colector M es una conexión en el haz de marcos (haz principal) de M (o equivalentemente, una conexión en el paquete tangente (paquete vectorial) de M). Un aspecto clave del punto de vista de conexión de Cartan es elaborar esta noción en el contexto de los paquetes principales (que podría denominarse la "teoría general o abstracta de los marcos").

Vamos H ser un grupo de Lie, h{displaystyle {fnh} su álgebra Lie. Entonces un principal H- abundante es un paquete de fibra P sobre M con una acción suave de H on P que es libre y transitivo en las fibras. Así P es un colector suave con un mapa suave π: P → M que mira localmente como el paquete trivial M × H → M. El paquete de marco M es un GL principaln) abundante, mientras que si M es un manifold Riemanniano, entonces el paquete de marco ortonormal es un principal O(n.

Vamos R_h denota la acción (derecha) h zioDt P. El derivado de esta acción define un vertical campo vectorial on P para cada elemento . de h{displaystyle {fnh}Si h()t) es un subgrupo de 1 parámetro con h(0)=e (el elemento de identidad) y h "0)=., entonces el campo vectorial vertical correspondiente es

X.. =ddtRh()t)Silenciot=0.{displaystyle X_{xi }={frac {mathrm}{mathrm {d}}R_{h(t)}{biggr Silencio.

A principal H- Conexión on P es un 1-form ⋅ ⋅ :: TP→ → h{displaystyle omega colon TPto {Mathfrak {h}} on P, con valores en el álgebra de Lie h{displaystyle {fnh} de H, tal que

1. Ad()h)()RhAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ )=⋅ ⋅ {displaystyle {hbox{Ad}(h)(R_{h}{*}omega)=omega }
2. para cualquier .. ▪ ▪ h{displaystyle xi in {Mathfrak}}, ⋅()X_.) . (identically on P).

La idea intuitiva es que ⋅()X) proporciona un componente vertical de X, utilizando el isomorfismo de las fibras de π con H para identificar vectores verticales con elementos de h{displaystyle {fnh}.

Los paquetes de marcos tienen una estructura adicional llamada forma de soldadura, que se puede utilizar para extender una conexión principal en P a una trivialización del paquete tangente de P llamado paralelismo absoluto.

En general, supongamos que M tiene dimensión n y H actúa sobre Rⁿ (esto podría ser cualquier espacio vectorial real n-dimensional). Una forma de soldadura en un paquete H principal P sobre M es una R ⁿforma 1 θ con valor: TP → R ⁿ que es horizontal y equivariante de modo que induce un homomorfismo de paquete desde TM al paquete asociado P × _H Rⁿ. Además, se requiere que sea un isomorfismo de paquete. Los paquetes de cuadros tienen una forma de soldadura (canónica o tautológica) que envía un vector tangente X ∈ T_pP a las coordenadas de dπ_p(X) ∈ T_{π (p)}M con respecto al marco p.

El par (⋅, Silencio) (una conexión principal y una forma de soldadura) define un 1-form . on P, con valores en el álgebra de Lie g{displaystyle {Mathfrak {}} del producto semidirecto G de H con Rⁿ, que proporciona un isomorfismo de cada espacio tangente T_pP con g{displaystyle {Mathfrak {}}. Induce una conexión principal α sobre el principal asociado G- abundante P ×_H G. Esta es una conexión de Cartan.

Cartan connections generalized affine connections in two ways.

• La acción de H on Rⁿ no necesita ser eficaz. Esto permite, por ejemplo, la teoría de incluir conexiones de giro, en las cuales H es el grupo de giro Spin(n) en lugar del grupo ortogonal O(n).
• El grupo G no ser un producto semidireccional H con Rⁿ.

Geometrías de Klein como espacios modelo

El programa Erlangen de Klein sugirió que la geometría podría considerarse como un estudio de espacios homogéneos: en particular, es el estudio de las muchas geometrías de interés para los geómetras del siglo XIX (y anteriores). Una geometría de Klein consistía en un espacio, junto con una ley de movimiento dentro del espacio (análoga a las transformaciones euclidianas de la geometría euclidiana clásica) expresada como un grupo de transformaciones de Lie. Estos espacios generalizados resultan ser variedades suaves y homogéneas difeomorfas al espacio cociente de un grupo de Lie por un subgrupo de Lie. La estructura extra diferencial que poseen estos espacios homogéneos permite estudiar y generalizar su geometría mediante el cálculo.

El enfoque general de Cartan es comenzar con tal geometría de Klein, dado por un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H, con asociado Álgebras de mentira g{displaystyle {Mathfrak {}} y h{displaystyle {fnh}, respectivamente. Vamos P ser el principal espacio homogéneo subyacente G. La geometría de Klein es el espacio homogéneo dado por el cociente P/H de P por la acción correcta H. Hay un derecho H-acción en las fibras de la proyección canónica

π: P → P/H

dado por R_hg = gh. Además, cada fibra de π es una copia de H. P tiene la estructura de un paquete H principal sobre P/H.

Un campo vectorial X on P es vertical siπ()X) = 0. . ▪ h{displaystyle {fnh} da lugar a un campo vectorial vertical canónico X_. tomando el derivado de la acción correcta del subgrupo de 1 parámetro H asociado a cero. La forma Maurer-Cartan . de P es g{displaystyle {Mathfrak {}}- valorada una forma sobre P que identifica cada espacio tangente con el álgebra Lie. Tiene las siguientes propiedades:

1. Ad(h) R_h^*. = . para todos h dentro H
2. .()X_.) . para todos . dentro h{displaystyle {fnh}
3. para todos g▪P, . restringe un isomorfismo lineal de T_gP con g{displaystyle {Mathfrak {}} (Es una paralelismo absoluto on P).

Además de estas propiedades, η satisface la ecuación de estructura (o estructural)

d.. +12[.. ,.. ]=0.{displaystyle deta +{2}[etaeta] ]=0.}

A la inversa, se puede demostrar que, dado un conjunto M y un paquete principal H P sobre M, y un η de forma 1 con estas propiedades, entonces P es localmente isomorfo como un paquete H del paquete homogéneo principal G→G/H. La ecuación de estructura es la condición de integrabilidad para la existencia de tal isomorfismo local.

Una geometría de Cartan es una generalización de una geometría suave de Klein, en la que no se asume la ecuación de estructura, sino que se utiliza para definir una noción de curvatura. Por tanto, se dice que las geometrías de Klein son los modelos planos de las geometrías de Cartan.

Pseudogrupos

Las conexiones de Cartan están estrechamente relacionadas con estructuras de pseudogrupos en una variedad. Se piensa que cada uno está modelado en una geometría de Klein G/H, de manera similar a la forma en que la geometría de Riemann se modela en la geometría euclidiana. espacio. En una variedad M, uno imagina adjuntar a cada punto de M una copia del espacio modelo G/H.. Luego, la simetría del espacio modelo se incorpora a la geometría de Cartan o estructura de pseudogrupo al postular que los espacios modelo de puntos cercanos están relacionados mediante una transformación en G. La diferencia fundamental entre una geometría de Cartan y una geometría de pseudogrupo es que la simetría de una geometría de Cartan relaciona puntos cercanos infinitesimalmente mediante una transformación infinitesimal en G (es decir, un elemento del álgebra de Lie de G) y la noción análoga de simetría para una estructura de pseudogrupo se aplica a puntos que están físicamente separados dentro de la variedad.

El proceso de unir espacios a puntos, y las simetrías correspondientes, se pueden realizar concretamente mediante el uso de sistemas de coordenadas especiales. A cada punto p ∈ M, se le da una vecindad U_p de p junto con un mapeo φ_p: U_p → G/H. De esta manera, el espacio modelo se adjunta a cada punto de M realizando M localmente en cada punto como un subconjunto abierto de G/H. Pensamos en esto como una familia de sistemas de coordenadas en M, parametrizados por los puntos de M. Dos de estos sistemas de coordenadas parametrizados φ y φ′ están relacionados con H si hay un elemento h_p ∈ H, parametrizado por p, tal que

φ_p = h_p φ_p.

This freedom corresponds roughly to the physicists n#39; notion of a gauge.

Los puntos cercanos se relacionan uniéndolos con una curva. Supongamos que p y p′ son dos puntos en M unidos por una curva p_t. Entonces p_t proporciona una noción de transporte del espacio modelo a lo largo de la curva. Sea τ_t: G/H → G/H el (localmente definido) mapa compuesto

τ_t =_pt o φ_p0⁻¹.

Intuitivamente, τ_t es el mapa de transporte. Una estructura de pseudogrupo requiere que τ_t sea una simetría del espacio modelo para cada t: τ_t ∈ G. Una conexión de Cartan sólo requiere que la derivada de τ_t sea una simetría del espacio modelo: τ′₀ ∈ g, el álgebra de Lie de G.

Típico de Cartan, una motivación para introducir la noción de conexión de Cartan fue estudiar las propiedades de los pseudogrupos desde un punto de vista infinitesimal. Una conexión de Cartan define un pseudogrupo precisamente cuando la derivada del mapa de transporte τ′ puede integrarse, recuperando así un mapa de transporte verdadero (con valor G) entre los sistemas de coordenadas. Por lo tanto, hay una condición de integrabilidad en juego, y el método de Cartan para realizar las condiciones de integrabilidad fue introducir una forma diferencial.

En este caso, τ′₀ define una forma diferencial en el punto p de la siguiente manera. Para una curva γ(t) = p_t en M comenzando en p, podemos asociar el vector tangente X, así como un mapa de transporte τ_t^γ. Tomar la derivada determina un mapa lineal.

X↦ ↦ ddtτ τ tγ γ Silenciot=0=Silencio Silencio ()X)▪ ▪ g.{displaystyle Xmapsto left. ¿Qué?

Entonces θ define una forma diferencial 1 con valor g en M.

Esta forma, sin embargo, depende de la elección del sistema de coordenadas parametrizado. Si h: U → H es una relación H entre dos sistemas de coordenadas parametrizados φ y φ′, entonces los valores correspondientes de θ también están relacionados por

Silencio Silencio p.. =Ad()hp− − 1)Silencio Silencio p+hpAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ H,{displaystyle theta ¿Qué? }=Ad(h_{p} {-1})theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{H}

donde ω_H es la forma Maurer-Cartan de H.

Definición formal

Una geometría de Cartan modelada en un espacio homogéneo G/H puede verse como una deformación de esta geometría que permite la presencia de curvatura. Por ejemplo:

• a Riemannian manifold se puede ver como una deformación del espacio euclidiano;
• a Lorentzian manifold se puede ver como una deformación del espacio de Minkowski;
• a conformal manifold can be seen as a deformation of the conformal sphere;
• a manifold equipado con una conexión affine se puede ver como una deformación de un espacio de afinidad.

Hay dos enfoques principales de la definición. En ambos enfoques, M es un conjunto suave de la dimensión n, H es un grupo de Lie de dimensión m, con el álgebra de Lie h{displaystyle {fnh}, y G es un grupo de Lie de dimensión n+m, con el álgebra de Lie g{displaystyle {Mathfrak {}}, que contiene H como subgrupo.

Definición mediante transiciones de calibre

A Conexión de Cartan consta de un atlas de coordenadas de conjuntos abiertos U dentro M, junto con un g{displaystyle {Mathfrak {}}- valorado 1-form θ_U definido en cada tabla tal que

1. Silencio_UTU → g{displaystyle {Mathfrak {}}.
2. Silencio_U mod h{displaystyle {fnh}T_uU → g/h{displaystyle {Mathfrak {}/{Mathfrak} {h}} es un isomorfismo lineal para cada u ▪ U.
3. Para cualquier par de gráficos U y V en el atlas, hay una cartografía suave h: U ∩ V → H tales que

Silencio Silencio V=Ad()h− − 1)Silencio Silencio U+hAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ H,{displaystyle theta ¿Qué? ¿Qué?

Donde ω_H es la forma Maurer-Cartan de H.

Por analogía con el caso en el que θ_U proviene de sistemas de coordenadas, la condición 3 significa que φ_U está relacionado con φ_V por h.

La curvatura de una conexión de Cartan consiste en un sistema de 2 formas definido en las cartas, dado por

Ω Ω U=dSilencio Silencio U+12[Silencio Silencio U,Silencio Silencio U].{displaystyle Omega _{U}=dtheta ¿Qué? ¿Qué? - Sí.

Ω_U satisface la condición de compatibilidad:

Si las formas θ_U y θ_V están relacionados por una función h: U ∩ V → H, como arriba, luego Ω_V = Ad(h⁻¹Ω_U

La definición se puede independizar de los sistemas de coordenadas formando el espacio cociente

P=()∐ ∐ UU× × H)/♪ ♪ {displaystyle P=(coprod _{Utimes H)/sim }

de la unión disjunta sobre todas las U en el atlas. La relación de equivalencia ~ se define en pares (x,h₁) ∈ U₁ × H y (x, h₂) ∈ U₂ × H, por

()x,h₁~x, h₂Si y sólo si x ▪ U₁ ∩ U₂, θ_U1 está relacionado con θ_U2 por h, y h₂ = h()x)⁻¹ h₁.

Entonces... P es un principal H-bundle on M, y la condición de compatibilidad con los formularios de conexión θ_U implica que se levantan a g{displaystyle {Mathfrak {}}-valorado 1-forma de la vía definida P (véase infra).

Definición mediante paralelismo absoluto

Vamos P ser el principal H paquete M. Entonces un Conexión de Cartan es un g{displaystyle {Mathfrak {}}- valorado 1-forma . on P tales que

1. para todos h dentro H, Ad(h)R_h^*. = .
2. para todos . dentro h{displaystyle {fnh}, .()X_.) .
3. para todos p dentro P, la restricción de . define un isomorfismo lineal del espacio tangente T_pP a g{displaystyle {Mathfrak {}}.

La última condición a veces se llama Estado de la Carta: significa que . define un paralelismo absoluto on P. La segunda condición implica que . ya es inyectable en vectores verticales y que la forma 1 . mod h{displaystyle {fnh}, con valores en g/h{displaystyle {Mathfrak {}/{Mathfrak} {h}}, es horizontal. El espacio vectorial g/h{displaystyle {Mathfrak {}/{Mathfrak} {h}} es una representación de H usando la representación conjunta de H on g{displaystyle {Mathfrak {}}, y la primera condición implica que . mod h{displaystyle {fnh} es equivariante. De ahí que defina un conjunto de homomorfismo de TM al paquete asociado P× × Hg/h{displaystyle ¿Por qué?. La condición de Cartan es equivalente a este conjunto de homomorfismo siendo un isomorfismo, de modo que . mod h{displaystyle {fnh} es una forma de soldadura.

El curvatura de una conexión Cartan es la g{displaystyle {Mathfrak {}}-valorado 2-forma Ω definidas por

Ω Ω =d.. +12[.. ∧ ∧ .. ].{displaystyle Omega =deta +{tfrac {1} {2}[eta wedge eta ].}

Tenga en cuenta que esta definición de una conexión Cartan parece muy similar a la de una conexión principal. Sin embargo, hay varias diferencias importantes. Primero, la vía 1-form toma valores en g{displaystyle {Mathfrak {}}, pero es sólo equivariante bajo la acción de H. De hecho, no puede ser equivariante bajo todo el grupo G porque no G sin paquete y sin G acción. En segundo lugar, el 1-form es un paralelismo absoluto, lo que significa intuitivamente que la pira da información sobre el comportamiento de direcciones adicionales en el paquete principal (en vez de simplemente ser un operador de proyección en el espacio vertical). Concretamente, la existencia de una forma de soldadura une (o soldadura) la conexión Cartan con la topología diferencial subyacente del múltiple.

Una interpretación intuitiva de la conexión de Cartan en esta forma es que determina una fractura del paquete principal tautológico asociado a una geometría de Klein. Por tanto, las geometrías de Cartan son análogas deformadas de las geometrías de Klein. Esta deformación es aproximadamente una prescripción para adjuntar una copia del espacio modelo G/H a cada punto de M y pensar en ese espacio modelo como siendo tangente (y infinitesimalmente idéntico) a la variedad en un punto de contacto. La fibra del haz tautológico G → G/H de la geometría de Klein en el punto de contacto se identifica entonces con la fibra del haz P. Cada una de estas fibras (en G) lleva una forma Maurer-Cartan para G, y la conexión Cartan es una forma de ensamblar estas formas Maurer-Cartan reunidas a partir de los puntos de contacto. en una forma 1 coherente η definida en todo el paquete. El hecho de que sólo los elementos de H contribuyan a la ecuación de Maurer-Cartan Ad(h)R_h</i ^*η = η tiene la interpretación intuitiva de que cualquier otro elemento de G movería el espacio modelo lejos del punto de contacto, por lo que ya no será tangente a la variedad.

A partir de la conexión de Cartan, definida en estos términos, se puede recuperar una conexión de Cartan como un sistema de 1 formas en la variedad (como en la definición de calibre) tomando una colección de trivializaciones locales de P dado como secciones s_U: U → P y dejando θ_U = s^*η sean los retrocesos de la conexión de Cartan a lo largo de las secciones.

Como conexiones principales

Otra forma de definir una conexión Cartan es como una conexión principal en un determinado paquete G principal. Desde esta perspectiva, una conexión de Cartan consiste en

• a G- abundante Q sobre M
• a G- Conexión α on Q (la conexión Cartan)
• a H- Subbundeo P de Q (es decir, una reducción del grupo de estructura)

tal que el retroceso η de α a P satisfaga la condición de Cartan.

La conexión principal α en Q se puede recuperar de la forma η tomando Q como la paquete asociado P ×_H G. Por el contrario, la forma η se puede recuperar de α retrocediendo a lo largo de la inclusión P ⊂ Q.

Desde α es una conexión principal, que induce una conexión en cualquier paquete asociado a Q. En particular, el paquete Q ×_G G/H de espacios homogéneos sobre M, cuyas fibras son copias del espacio modelo G/H, tiene una conexión. Reducción del grupo de estructura a H es equivalentemente dado por una sección s de E = Q ×_G G/H. La fibra de P× × Hg/h{displaystyle ¿Por qué? sobre x dentro M puede ser visto como el espacio tangente en s()x) a la fibra de Q ×_G G/H sobre x. Por lo tanto, la condición de Cartan tiene la interpretación intuitiva de que los espacios modelo son tangentes M en la sección s. Puesto que esta identificación de espacios tangentes es inducida por la conexión, los puntos marcados dados por s siempre se mueve bajo transporte paralelo.

Definición mediante una conexión de Ehresmann

Otra forma de definir una conexión de Cartan es con una conexión de Ehresmann en el paquete E = Q ×_G G/H del apartado anterior. Una conexión de Cartan consiste entonces en

• Un paquete de fibra π: E → M con fibra G/H espacio vertical VE ⊂ TE.
• A section s: M → E.
• Una conexión G θ: TE → VE tales que

s^*Silencio_xT_xM → V_s()x)E es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales para todos x ▪ M.

Esta definición hace rigurosas las ideas intuitivas presentadas en la introducción. En primer lugar, se puede considerar que la sección preferida s identifica un punto de contacto entre la variedad y el espacio tangente. La última condición, en particular, significa que el espacio tangente de M en x es isomorfo al espacio tangente del espacio modelo en el punto de contacto. Entonces los espacios modelo son, de esta manera, tangentes a la variedad.

Esta definición también pone de relieve la idea de desarrollo. Si x_t es una curva en M, entonces la conexión de Ehresmann en E proporciona un mapa de transporte paralelo asociado τ _t: E_xt → E_x0 desde la fibra sobre el punto final de la curva hasta la fibra sobre el punto inicial. En particular, dado que E está equipado con una sección preferida s, los puntos s(x_t ) transporta de regreso a la fibra sobre x₀ y traza una curva en E_x0. Esta curva se denomina entonces desarrollo de la curva x_t.

Para demostrar que esta definición es equivalente a las otras anteriores, se debe introducir una noción adecuada de marco móvil para el paquete E. En general, esto es posible para cualquier conexión G en un haz de fibras con el grupo estructural G. Consulte Conexión Ehresmann#Paquetes asociados para obtener más detalles.

Conexiones especiales de Cartan

Conexiones reductivas de Cartan

Vamos P ser el principal H- abundante en M, equipado con una conexión Cartan pira: TP → g{displaystyle {Mathfrak {}}. Si g{displaystyle {Mathfrak {}} es un módulo reductivo para H, significa que g{displaystyle {Mathfrak {}} Admite un anuncioH)-invariante división de espacios vectoriales g=h⊕ ⊕ m{\fnK}\fnh}o {fnh}}o {fnh}} {fn}}}}, entonces el m{displaystyle {m}-componente de pira generaliza el formulario de soldadura para una conexión de afin. En detalle, la vía se divide en h{displaystyle {fnh} y m{displaystyle {m} componentes:

pira = pira_{h{displaystyle {fnh}} + pira_{m{displaystyle {m}}.

Tenga en cuenta que la vía 1-form_{h{displaystyle {fnh}} es un director H-conexión en el paquete original de Cartan P. Además, la vía 1-forme_{m{displaystyle {m}} satisfizo:

._{m{displaystyle {m}}()X) = 0 para cada vector vertical X TP._{m{displaystyle {m}} es horizontal.)

R_h^*._{m{displaystyle {m}} = Ad(h⁻¹)_{m{displaystyle {m}} para todos h ▪ H._{m{displaystyle {m}} es equivariante bajo la derecha H-acción.)

En otras palabras, η es una forma de soldadura para el paquete P.

Por lo tanto, P equipado con la forma pira_{m{displaystyle {m}} define un (primero orden) H-estructura sobre M. La forma pira_{h{displaystyle {fnh}} define una conexión en el H- estructura.

Conexiones de Cartan parabólicas

Si g{displaystyle {Mathfrak {}} es un semisimple Álgebra de Lie con subalgebra parabólica p{displaystyle {Mathfrak}} (es decir, p{displaystyle {Mathfrak}} contiene un subalgebra solvable maximal g{displaystyle {Mathfrak {}}) y G y P se asocian Grupos de mentira, luego una conexión Cartan modelada en (G,P,g{displaystyle {Mathfrak {}},p{displaystyle {Mathfrak}}) se llama un parabólica Geometría de Cartan, o simplemente un geometría parabólica. Una característica distintiva de las geometrías parabólicas es una estructura de álgebra de Lie en sus espacios cotangentes: esto surge porque el subespacial perpendicular p{displaystyle {Mathfrak}}^⊥ de p{displaystyle {Mathfrak}} dentro g{displaystyle {Mathfrak {}} con respecto a la forma de matar g{displaystyle {Mathfrak {}} es un subalgebra de p{displaystyle {Mathfrak}}, y la forma de matar induce una dualidad natural entre p{displaystyle {Mathfrak}}^⊥ y g/p{displaystyle {Mathfrak {}/{Mathfrak} {p}}. Así el paquete asociado a p{displaystyle {Mathfrak}}^⊥ es isomorfo para el paquete cotangente.

Las geometrías parabólicas incluyen muchas de las de interés en la investigación y aplicaciones de las conexiones de Cartan, como los siguientes ejemplos:

• Conexiones: Aquí. G = SO()p+1,q+1), y P es el estabilizador de un rayo nulo Rⁿ⁺².
• Conexiones de proyecto: Aquí. G = PGL(n+1) y P es el estabilizador de un punto en RPⁿ.
• Estructuras CR y conexiones Cartan-Chern-Tanaka: G = PSU()p+1,q+1), P = estabilizador de un punto en la hipercuádrica nula proyectiva.
• Contactos proyectivos: Aquí. G = SP(2n+2) y P es el estabilizador del rayo generado por el primer vector de base estándar en Rⁿ⁺².
• Distribución genérica de la categoría 2 en 5 ejes: Aquí. G = Aut()O_s) es el grupo automorfismo del álgebra O_s of split octonions, a closed subgroup of SO(3,4), y P es la intersección de G con el estabilizador de la línea isotrópica abarcada por el primer vector de base estándar en R⁷ visto como las octoniones puramente imaginarias divididas (complemento ortogonal del elemento unidad en O_s).

Operadores diferenciales asociados

Diferenciación covariante

Supongamos que M es una geometría de Cartan modelada en G/H, y sea (Q,α) sea el paquete principal G con conexión, y (P,η) la reducción correspondiente a H con η igual al retroceso de α. Sea V una representación de G y forme el paquete de vectores V = Q × _G V sobre M. Entonces la conexión principal G α en Q induce una derivada covariante en V, que es una ecuación lineal de primer orden. operador diferencial

Silencio Silencio :: Ω Ω M0()V)→ → Ω Ω M1()V),{displaystyle nabla colon Omega _{M} {0}(mathbf {V})to Omega _{M}^{1}(mathbf {V}),}

Donde Ω Ω Mk()V){displaystyle Omega _{M} {k}(Mathbf {V})} denota el espacio de las formas k en M con valores en V para que Ω Ω M0()V){displaystyle Omega _{M} {0}(Mathbf {V})} es el espacio de secciones de V y Ω Ω M1()V){displaystyle Omega _{M} {1}(Mathbf {V})} es el espacio de secciones de Hom(TM,V). Para cualquier sección v de V, la contracción de la derivada covariante v con un campo vectorial X on M está denotado,_Xv y satisface la siguiente regla de Leibniz:

Silencio Silencio X()fv)=df()X)v+fSilencio Silencio Xv{displaystyle nabla _{X}(fv)=df(X)v+fnabla _{X}v}

para cualquier función suave f en M.

El derivado covariante también se puede construir a partir de la conexión Cartan . on P. De hecho, construirlo de esta manera es un poco más general en eso V no ser una representación totalmente huida de G. Supongamos que en lugar de eso V es ung{displaystyle {Mathfrak {}}, H)-modulo: una representación del grupo H con una representación compatible del álgebra Lie g{displaystyle {Mathfrak {}}. Recordad que una sección v del paquete vector inducido V sobre M puede ser pensado como un H- mapa equivariante P → V. Este es el punto de vista que adoptaremos. Vamos X ser un campo vectorial en M. Elija cualquier ascensor invariable adecuado X̄ ̄ {displaystyle {bar {X}}} al tangente paquete de P. Define

Silencio Silencio Xv=dv()X̄ ̄ )+.. ()X̄ ̄ )⋅ ⋅ v{displaystyle nabla _{X}v=dv({bar {X})+eta ({bar {X})cdot v}.

Para demostrar que ∇v está bien definido, debe:

1. ser independiente del ascensor elegido X̄ ̄ {displaystyle {bar {X}}}
2. ser equivariante, para que descienda a una sección del paquete V.

Para (1), la ambigüedad en la selección de un elevador invariante derecho X es una transformación de la forma X↦ ↦ X+X.. {displaystyle Xmapsto X+X_{xi } Donde X.. {displaystyle X_{xi } es el campo vectorial vertical invariante derecho inducido de .. ▪ ▪ h{displaystyle xi in {Mathfrak}}. Así, calculando el derivado covariante en términos de la nueva elevación X̄ ̄ +X.. {displaystyle {bar {X}+X_{xi }, uno tiene

Silencio Silencio Xv=dv()X̄ ̄ +X.. )+.. ()X̄ ̄ +X.. ))⋅ ⋅ v{displaystyle nabla _{X}v=dv({bar {X}+X_{xi })+eta ({bar {X}+X_{xi })cdot v}

=dv()X̄ ̄ )+dv()X.. )+.. ()X̄ ̄ )⋅ ⋅ v+.. ⋅ ⋅ v{displaystyle =dv({bar {X})+dv(X_{xi })+eta ({bar {X}})cdot v+xi cdot v}

=dv()X̄ ̄ )+.. ()X̄ ̄ )⋅ ⋅ v{displaystyle =dv({bar {X})+eta ({bar {X})cdot v}

desde entonces .. ⋅ ⋅ v+dv()X.. )=0{displaystyle xi cdot v+dv(X_{xi })=0} tomando el diferencial de la propiedad de equivariancia h⋅ ⋅ RhAlternativa Alternativa v=v{displaystyle hcdot R_{h} {}v=v} a h igual al elemento de identidad.

Para (2), observe que desde entonces v es equivariante y X̄ ̄ {displaystyle {bar {X}}} es invariable, dv()X̄ ̄ ){displaystyle dv({bar {X})} es equivariante. Por otro lado, desde . es también equivariante, sigue que .. ()X̄ ̄ )⋅ ⋅ v{displaystyle eta ({bar {X})cdot v} es equivariante también.

La derivada fundamental o universal

Supongamos que V es sólo una representación del subgrupo H y no necesariamente el grupo más grande G. Vamos Ω Ω k()P,V){displaystyle Omega ^{k}(P,V)} ser el espacio de V- diferencial valorado k-formas sobre P. En presencia de una conexión de Cartan, hay un isomorfismo canónico

φ φ :: Ω Ω k()P,V).. Ω Ω 0()P,V⊗ ⊗ ⋀ ⋀ kgAlternativa Alternativa ){displaystyle varphi colon Omega ^{k}(P,V)cong Omega ^{0}(P,Votimes bigwedge nolimits ^{k}{mathfrak {g}{*}) }

dado por φ φ ()β β )().. 1,.. 2,...... ,.. k)=β β ().. − − 1().. 1),...... ,.. − − 1().. k)){displaystyle varphi (beta)(xi _{1},xi _{2},dotsxi _{k})=beta (eta ^{-1}(xi _{1}),dotseta ^{-1}(xi _{k})})}}}} Donde β β ▪ ▪ Ω Ω k()P,V){displaystyle beta in Omega ^{k}(P,V)} y .. j▪ ▪ g{displaystyle xi _{j}in {Mathfrak {g}}.

Para cada k, la derivada exterior es un operador diferencial de primer orden

d:: Ω Ω k()P,V)→ → Ω Ω k+1()P,V){displaystyle dcolon Omega ^{k}(P,V)rightarrow Omega ^{k+1}(P,V),}

y entonces, para k=0, define un operador diferencial

φ φ ∘ ∘ d:: Ω Ω 0()P,V)→ → Ω Ω 0()P,V⊗ ⊗ gAlternativa Alternativa ).{displaystyle varphi circ dcolon Omega ^{0}(P,V)rightarrow Omega ^{0}(P,Votimes {mathfrak {g}{*}},}

Porque... . es equivariante, si v es equivariante, así que Dv:= φdv). De ahí que este compuesto descienda a un operador diferencial de primer orden D de secciones V=P×_HV a secciones del paquete P× × H()V⊗ ⊗ gAlternativa Alternativa ){displaystyle Ptimes _{H}(mathbf {V} otimes {mathfrak {g}^{*}) }. Esto se llama el derivado fundamental o universal, o el operador D fundamental.

Libros

• Kobayashi, Shoshichi (1972), Grupos de transformación en geometría diferencial (Clásicos en Matemáticas 1995 ed.), Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-58659-3.